$\bigtriangleup ABC$ đều (AB=a), đường thẳng d không cắt tam giác ABC. $A',B',C'$ là hình chiếu của $A,B,C$ trên d.

chứng minh: $A'B'^2+B'C'^2+C'A'^2=const \forall  d$

 

1. Cho tứ giác ABCD. 2 đường chéo cắt nhau tại O. H;K lần lượt là trực tâm của tam giác OAB; ACD

a) CMR:$\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{AB}{CD}$
b) CMR: HK vuông góc với đường thẳng nối trực tâm của tam giác OAD; ABC

1. (O) cắt các cạnh BC, CA,AB của tam giác ABC tại $A_1,A_2;B_1,B_2;C_1,C_2$ trong đó $A_1$ nằm giữa C & $A_2$; $B_1$ nằm giữa A&$B_2$; $C_1$ nằm giữa A & $C_2$.

cm: nếu các đường thẳng vuông góc vs các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$ thì các đt vuông góc với BC, CA, AB lần lượt tại $A_2,B_2,C_2$ cùng đồng quy.

Cho $\left\{\begin{matrix} \Sigma a_1=0 & \\ \Sigma a_1^2=1 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh: trong 5 số tồn tại 2 số có tích $\leq \frac{-1}{5}$

$\bigtriangleup ABC$ đều ngt (O). tiếp điểm trên AB, AC là D,E. M $\in$ cung DE nhỏ. H,I,K là hình chiếu của M trên BC,CA, AB.

cm: $\sqrt{MH}=\sqrt{MI}+\sqrt{MK}$

GPT:

$\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$

$\fbox{1}$. $(O;\frac{AB}{2})$, dây CD không cắt AB. Tiếp tuyến tại C, D cắt nhau tại M. AC\cap BD=I.

CM: $MI\perp AB$

Bài 1, bài 3 ở link dưới.

http://diendantoanho...eif-thẳng-hàng/

$\fbox{2}$.

 Cho $\angle{xOy}$. Điểm A cố định trên Ox. Xét tất cả các đường tròn tiếp xúc với Ox tại A và cắt Oy tại B,C.

CM: Tâm các đường tròn nt các $\bigtriangleup ABC$ nằm trên 1 đt.

$\Delta _x=(2y-1)^2-24(10y^2-28y+18) \ge 0$

Bấm máy tính ra:

$0,99.. \le y \le 1,83.. \rightarrow y=1$

Cho phương trình $(\sqrt{2+\sqrt{3}})^{|x|}+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^{|x|}=4m$, m là tham số.

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

6.Cho x,y tm $\left\{\begin{matrix} x,y \epsilon \mathbb{R} & & \\ 0\leq x,y\leq \frac{1}{2}& & \end{matrix}\right.$.CMR:$\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

 

Câu 7. HSG 9 Thái Bình 2011-2012

Tam giác ABC cân tại A nt (O), M di động trên BC ( M khác B,C, trung điểm BC). MP//AC, MQ//AB ( $P\in AB, Q \in AC$), dây AK//PQ.

chứng minh: KM luôn đi qua điểm cố định.

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh:
$\frac{b^2+c^2}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}} \geq 2 \sqrt{\frac{abc}{a+b+c}}$

cho $a,b,c \in [0;2]$. Tìm Min: $\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại A. $E, F \in BC$ sao cho $BE=BA, CF=CA$. Chứng minh $\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}\geq 1+\sqrt{2}$

Chứng minh: 

$\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3...+\sqrt{3}}}}} < \frac{1}{4}$

(Tử có 2015 dấu căn, mẫu có 2014 dấu căn)

Làm giúp mình nhé, mai mình kt rùi

Đặt căn thức ở tử là a. ($a>1,73$)

$\rightarrow $ căn thức ở mẫu bằng $a^2-3$

$\rightarrow BT=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{1}{a+3}$

Xét: $\frac{1}{a+3}-\frac{1}{4}=\frac{1-a}{4(a+3)}<0\rightarrow dpcm$

Cho tứ giác lồi ABCD. CMR: $S_{ABCD} \leqslant \frac{1}{2}(ac+bd)$ (với a,b,c,d lần lượt là độ dài AB,BC,CD,DA)

Gọi giao điểm của 2 đường chéo là O.

Ta có: 

$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}\leq \frac{1}{2}(AO.OB+OB.OC+OC.OD+OD.OA)=\frac{1}{2}AC.BD$

Mà theo BDT Ptoleme: $AC.BD\leq ac+bd\rightarrow Q.E.D$

Giải PT:
$(1-x)(x+1)^2+2x\sqrt{2x+1}+2\sqrt{1+2\sqrt{2x+1}}=0$

dTa có: $PT\Leftrightarrow 4^{x^2-2x}+2^{x^2-2x+1}=m\Leftrightarrow t^2+2t-m=0 \Delta =0\Leftrightarrow m=-1\rightarrow \boldsymbol{False}$ddd

đặt $t=2^(x^2-2x)$ (đk t>0) nên có hai trường hợp đối với t:

th1 nghiệm t kép

th2 2 nghiệm phân biệt t<0 và t>0. bạn mới chỉ xét th1

Đây chính là định lí Ce-va. Sử dụng diện tích để chứng minh. Không thì bạn lên Google search là có cách giải.

Cho $4^{x^2-2x}+2^{(x-1)^2}=m (1)$, với m là tham số.

Tìm m để pt (1) có nghiệm duy nhất.

 

Cho mình xin cái hình với.

Mình vẽ thì nó ra thế này.

 

 

Cho dãy số nguyên dương $a_1,..,a_n,..$ xác định: $a_1=b, a_2=b+1,..,a_{n+1}=(a_n-1)a_n+2; n \ge 2$.

chứng minh: $A_n=(a_1^2+1).. .(a_n^2+1)-1$ là số chính phương.

Phân tích: $5^{2015}-1$ thành 3 thừa số nguyên mà mỗi thừa số đều lớn hơn $5^{400}$

1. Cho $f(x)=ax^2+bx+c (a,b,c \in Q)$ biết $f(x)\vdots 2, \forall x \in Z$.

Hỏi $a,b,c$ có nhất thiết phải $\in Z$ không?

2. Tìm $f(x)$ biết $f(x+1)=f(x)+2x+1$

 

$\fbox{1}$

chứng minh: trong 1 tứ giác ngoại (nội) tiếp, giao điểm 2 đường phân giác trong của góc tạo bởi 2 cặp cạnh đối diện kéo dài nằm trên đường thẳng nối trung điểm 2 đường chéo.

$\fbox{2}$

$\bigtriangleup ABC$ ngt $(I)$. D là tiếp điểm trên BC. M,N là trung điểm BC,AD

CM: M,I,N thẳng hàng.

$\fbox{3}$

$\bigtriangleup ABC nt (O)$, ngt (I). (J) tiếp xúc với $[AB];[AC]$ tại E,F và tiếp xúc với (O) tại M.

CM: $E,I,F$ thẳng hàng.