Gọi $M$ là biến cố "không có $2$ đỉnh nào thuộc cùng một cạnh được tô cùng màu".

Xét các trường hợp sau :

.....

4) Có 1 màu tô cho 3 đỉnh, 1 màu tô cho 1 đỉnh, 2 màu còn lại, mỗi màu tô 2 đỉnh (ký hiệu $3-2-2-1$)

    $n(M_4)=12.8.12=1152$  ;  $n(\Omega _4)=12C_8^3C_5^2C_3^2=20160$.

5) Mỗi màu tô cho 2 đỉnh (ký hiệu $2-2-2-2$)

    $n(M_5)=\frac{96.8}{2}=384$  ;  $n(\Omega _5)=C_8^2C_6^2C_4^2=2520$.

cho em hỏi chỗ này tại sao số cách lại là 96.8/2 vậy ạ?

và cả chỗ này tại sao lại là 12.8.12 vậy ạ?? theo em tính thì là 12.8.18 mới đúng chứ ạ?

Xét hình lập phương $ABCDEFGH$

4) + Chọn bộ màu : $12$ cách.

    + Chọn $3$ điểm cùng màu : $8$ cách.

    + Sắp xếp $5$ điểm còn lại thành 3 nhóm 2/2/1 (các điểm cùng nhóm không cùng 1 cạnh) : $6$ cách

       Ví dụ 3 điểm $A,C,F$ cùng màu, 5 điểm còn lại là $B,D,E,G,H$ có $6$ cách phân nhóm

       ($BE/DG/H$, $BG/ED/H$, $BD/EG/H$, $BH/ED/G$, $BH/EG/D$, $BH/DG/E$)

    + Gán màu cho mỗi nhóm : $2$ cách.

       (Ví dụ chọn bộ màu $3X-2D-2T-1V$ và có 4 nhóm $ACF/BE/DG/H$ thì có $2$ cách gán màu là

       xanh $ACF$, đỏ $BE$, tím $DG$, vàng $H$  hoặc  xanh $ACF$, tím $BE$, đỏ $DG$, vàng $H$)

    $\Rightarrow n(M_4)=12.8.6.2=1152$.

5) + Chọn bộ màu : $1$ cách.

    + Chọn điểm cùng màu với $A$ : $\frac{8}{2}=4$ cách (là điểm $C$, hoặc $F$, hoặc $H$, hoặc $G$)

    + Chia $6$ điểm còn lại thành 3 nhóm 2/2/2 (các điểm cùng nhóm không cùng một cạnh) : $4$ cách

       Ví dụ trường hợp $A$ cùng màu với $C$ có $4$ cách phân nhóm (các điểm cùng nhóm thì cùng màu) :

       ($AC/EG/BD/FH$, $AC/EG/BH/FD$, $AC/EB/DG/FH$, $AC/ED/BG/FH$)

    + Gán màu cho mỗi nhóm : $4!$ cách.

    $\Rightarrow n(M_5)=4.4!.\frac{8}{2}=96.4=384$.

Thế thì nhà toán học nói gì về 2 trường hợp cực đoan sau:
d1) Trong tập $X$ có cậu có tính trăng hoa một lúc yêu 2,3 cô,
d2) và cũng có cậu mặc cảm không dám yêu ai...
N.B.xin cà khịa 1 tí...:-)

Trong những trường hợp thế này thì nhà toán học nói rằng "Đó là những phản ví dụ rất tốt về ÁNH XẠ !"
 

Ta gọi 1 số nguyên dương là đẹp nếu nó thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện :
+) tất cả các chữ số khác 0
+) số đó chia hết cho 11
+)số đó chia hết cho 12 và nếu đổi vị trí các chữ số bất kì thì số mới cũng chia hết cho 12
Tìm số các số 'đẹp' có 10 chữ sôz

Các số cần đếm có dạng $\overline{abcdefghij}$.

Đặt $a+c+e+g+i=L$ ; $b+d+f+h+j=C$

Từ điều kiện $(1)$ và $(3)$ suy ra các chữ số chỉ có thể là $4$ hoặc $8 \Rightarrow 20\leqslant L,C\leqslant 40$

Hơn nữa, số đó chia hết cho $11$ và các chữ số đều chẵn $\Rightarrow L=C=k$

Mặt khác, $k\ \vdots \ 4$ và $L+C=2k\ \vdots \ 3\Rightarrow k\in \left \{ 24,36 \right \}$

$\mathbf{TH1}$ : $k=24$

$\left\{\begin{matrix}a+c+e+g+i=24\\b+d+f+h+j=24\\a,b,c,...,j\in \left \{ 4,8 \right \} \end{matrix}\right.\Rightarrow$ có $(C_5^1)^2=25$ nghiệm $\Rightarrow 25$ số.

$\mathbf{TH2}$ : $k=36$ Tương tự, có $25$ số.

Tổng cộng có $50$ số 'đẹp' có $10$ chữ số.
 

Cuối tuần và để nâng cấp cuộc chơi, em xin đề nghị bài toán :
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau của từ TALENTENGINEER, trong đó các chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.

Ta có hàm sinh :

$f(x)=\left [ \frac{x^4}{4!}-\binom{3}{1}\frac{x^3}{3!}+\binom{3}{2}\frac{x^2}{2!}-\frac{x}{1!} \right ]\left [ \frac{x^3}{3!}-\binom{2}{1}\frac{x^2}{2!}+\frac{x}{1!} \right ]\left ( \frac{x^2}{2!}-\frac{x}{1!} \right )x^5=$

   $=\frac{x^{14}}{288}-\frac{5x^{13}}{72}+\frac{25x^{12}}{48}-\frac{15x^{11}}{8}+\frac{41x^{10}}{12}-3x^9+x^8$

Thay $x^k$ bằng $k!$, ta có kết quả là

$302702400-432432000+249480000-74844000+12398400-1088640+40320=56256480$
 

Cuối tuần và để nâng cấp cuộc chơi, em xin đề nghị bài toán :
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau của từ TALENTENGINEER, trong đó các chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.
N.B. Nếu có thể, xin trình bày cách sơ cấp, cách thấp cấp... :-) để tiếp cận bài toán (hoặc một cách nào khác cũng welcome).
Mong các chuẩn kỹ sư tài năng (bao gồm cả những ai suýt là talent engineer...) tham gia, giải trí vui là chính.
Nếu thấy bổ ích, xin thầy (cô), anh (chị) và các bạn like, subscribe, share. Thank for watching...:-) (Sorry, xem mãi rồi lậm...)

Ta có $8$ loại chữ cái : $T,A,L,E,N,G,I,R$

Số lượng mỗi loại là $n_1=2$ ; $n_2=n_3=n_6=n_7=n_8=1$ ; $n_4=4$ ; $n_5=3$

Một hoán vị không hợp lệ khi chứa $2$ chữ cái liên tiếp giống nhau $\rightarrow m_1=m_2=...=m_8=2$

Đa thức cho loại chữ xuất hiện 1 lần : $P_{2,1}(t)=\left [ x^1 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=t$

Đa thức cho loại chữ xh 2 lần : $P_{2,2}(t)=\left [ x^2 \right ]\exp \left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^2}{2}-t$

Đa thức cho loại chữ xh 3 lần $P_{2,3}(t)=\left [ x^3 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^3}{6}-t^2+t$

Đa thức cho loại chữ xh 4 lần $P_{2,4}(t)=\left [ x^4 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}-t$

Số hoán vị thỏa mãn yêu cầu là

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^5\left ( \frac{t^2}{2}-t \right )\left ( \frac{t^3}{6}-t^2+t\right )\left ( \frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}-t \right )dt=56256480$

Có cách nào sơ cấp hơn không?

Mọi người giúp em giải chi tiết bài này ạ (được nhiều cách càng tốt).Em cảm ơn

Có bao nhiêu hoán vị khác nhau từ chữ: TOANHOCTUOITRE, trong đó các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.

Phương pháp đa thức Laguerre :

Ta có $10$ loại chữ cái : $T,O,A,N,H,C,U,I,R,E$

Số lượng mỗi loại là $n_1=n_2=3$ ; $n_3=n_4=n_5=...=n_{10}=1$

Một hoán vị không hợp lệ khi chứa $2$ chữ cái liên tiếp giống nhau $\rightarrow m_1=m_2=...=m_{10}=2$

Đa thức cho mỗi chữ $T$ và $O$ là $P_{2,3}(t)=\left [ x^3 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^3}{6}-t^2+t$

Đa thức cho mỗi chữ còn lại là $P_{2,1}(t)=\left [ x^1 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=t$

Số hoán vị thỏa mãn yêu cầu là

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^3}{6}-t^2+t \right )^2t^8dt=908409600$.
 

@chanhquocnghiem Thử vài giá trị n=1,2,3 em thấy kết quả hình như chưa ổn lắm...
Tdụ : n=3:
$\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor}C_{n-k+1}^k=\sum_{k=0}^{2}C_{4-k}^k=C_4^0+C_3^1+C_2^2=1+3+1=5$

Đúng là có $5$ tập con không chứa 2 số liên tiếp mà, đó là các tập :

$\left \{ 1 \right \},\left \{ 2 \right \},\left \{ 3 \right \},\left \{ 1,3 \right \}$ và tập rỗng.
 

2/ Từ tập $ \left \{ 1,2,...,n \right \} $ tính số cách chọn 2 tập con rời nhau và khác trống.

Xét 2 tập con rời nhau (không giao nhau) $A$ và $B$.

Mỗi phần tử có $3$ khả năng : hoặc thuộc $A$, hoặc thuộc $B$, hoặc không thuộc $A\cup B$

$\Rightarrow$ có tất cả $3^n$ cách chọn 2 tập con $A$ và $B$ rời nhau. Trong đó :

+ Có $2^n$ cách mà trong đó tập $A$ rỗng.

+ Có $2^n$ cách mà trong đó tập $B$ rỗng.

+ Có $1$ cách mà trong đó cả $A$ và $B$ đều rỗng.

Vậy số cách chọn 2 tập con rời nhau, không phân biệt thứ tự và khác rỗng là $\frac{3^n-2.2^n+1}{2}$.
 

1/ Tính số tập con của $ \left \{ 1,2,...,n \right \} $ không chứa 2 số liên tiếp.

Trước hết, ta tính số tập con của $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ có đúng $k$ số và không chứa 2 số liên tiếp.

Giả sử $k$ số đó là $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{k}$ thỏa mãn $1\leqslant x_{1}< x_{2}< x_{3}<...< x_{k}\leqslant n$

với $\left | x_i-x_j \right |\geqslant 2$

Đặt $a_{i}=x_{i}-(i-1)$ suy ra $1\leqslant a_1< a_2< a_3<...< a_k\leqslant n-k+1$

Số cách chọn $k$ số từ tập đã cho chính là số cách chọn $k$ số $a_{i}$ và bằng $C_{n-k+1}^{k}$

Vậy số tập con có đúng $k$ số và không chứa 2 số liên tiếp là $C_{n-k+1}^{k}$.

$\Rightarrow$ số tập con không chứa 2 số liên tiếp là $\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor}C_{n-k+1}^k$

2/ Tính hệ số của $z^3$ trong khai triển của $(6+z+z^2)^7$

$(6+z+z^2)^7=C_7^k.(z^2+6)^k.z^{7-k}$

+ $k=4\rightarrow C_7^4.6^4.z^3=35.6^4\  z^3$

+ $k=6\rightarrow C_7^6.C_6^5z^2.6^5.z=7.6^6\ z^3$

Vậy đáp án là $35.6^4+7.6^6=287.6^4=371952$.
 

1/ Tính số nghiệm nguyên của phương trình
$$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=30$$biết rằng các $z_i>1$, có 2 nghiệm là số lẻ và 3 nghiệm là số tự nhiên chẵn.

Đặt $y_i=z_i-2$.

Đáp án cần tìm cũng chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của pt $y_1+y_2+...+y_5=20$ thỏa mãn có đúng 2 nghiệm lẻ

Gọi 2 nghiệm lẻ đó là $y_j$ và $y_k$.

Chọn $j$ và $k$ : $C_5^2$ cách.

Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2} \right )^2\left ( \frac{1}{1-x^2} \right )^3=\frac{x^2}{(1-x^2)^5}=x^2\sum_{t=0}^{\infty}C_{t+4}^4x^{2t}$

Vậy đáp án là $C_5^2.\left [ x^{20} \right ]f(x)=C_5^2.C_{9+4}^4=7150$.
 

2/ Bằng cách a) không dùng hàm sinh và b) dùng hàm sinh để tính số xâu tam phân kích thước 10 biết rằng chữ số 1 xuất hiện ít nhất 1 lần và chữ số 2 xuất hiện số chẵn lần.

Ta có hàm sinh :

$f(x)=\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^9}{9!} \right )\left ( x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^9}{9!}+\frac{x^{10}}{10!} \right )\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...+\frac{x^8}{8!} \right )$

Số xâu thỏa mãn yêu cầu là $10!.\left [ x^{10} \right ]f(x)=29013.$
 

1/ Có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình :
$z_2+z_3+z_4+z_5=26$
biết rằng $i\nmid z_i$.

Ta có hàm sinh :

$f(x)=(x+x^3+x^5+...+x^{23})\left [ (x+x^2+x^3+...+x^{23})-(x^3+x^6+...+x^{21}) \right ]\times$

$\times\left [ (x+x^2+x^3+...+x^{23})-(x^4+x^8+...+x^{20}) \right ]\left [ (x+x^2+x^3+...+x^{23})-(x^5+x^{10}+...+x^{20}) \right ]$

$=\frac{x-x^{25}}{1-x^2}\left (\frac{x-x^{24}}{1-x}-\frac{x^3-x^{24}}{1-x^3} \right )\left (\frac{x-x^{24}}{1-x}-\frac{x^4-x^{24}}{1-x^4} \right )\left (\frac{x-x^{24}}{1-x}-\frac{x^5-x^{25}}{1-x^5} \right )$

Số bộ nghiệm nguyên dương cần tìm là $\left [ x^{26} \right ]f(x)=525$.

Có bao nhiêu bộ thứ tự 3 số nguyên $a,b,c\in \left \{1,2,..., 15\right \}$ sao cho tích $a\cdot b\cdot c $ chia hết cho 15.

(Mình giải bài này với điều kiện $a,b,c$ không nhất thiết là 3 số phân biệt)

Gọi $A=\left \{ 3,6,9,12 \right \}$

       $B=\left \{ 5,10 \right \}$

       $C=\left \{ 15 \right \}$

       $D=\left \{ 1,2,4,7,8,11,13,14 \right \}$

Nếu KHÔNG tính đến thứ tự thì :

a) Số bộ có $3$ số bằng nhau là $M=1$ (đó là bộ $15,15,15$)

b) Số bộ có đúng $2$ số bằng nhau là $N$ :

   Hai số bằng nhau thuộc $A$ : $4.3=12$ bộ (có $4$ cách chọn 2 số bằng nhau, có $3$ cách chọn số còn lại thuộc $B$ hoặc $C$)

   Hai số bằng nhau thuộc $B$ : $2.5=10$ bộ (có $2$ cách chọn 2 số bằng nhau, có $5$ cách chọn số còn lại thuộc $A$ hoặc $C$)

   Hai số bằng nhau thuộc $C$ : $1.14=14$ bộ (có $1$ cách chọn 2 số bằng nhau, có $14$ cách chọn số còn lại)

   Hai số bằng nhau thuộc $D$ : $8.1=8$ bộ (có $8$ cách chọn 2 số bằng nhau, có $1$ cách chọn số còn lại)

   $\Rightarrow N=12+10+14+8=44$

c) Số bộ có $3$ số phân biệt là $P$ :

   Số bộ có số $15$ : $C_{14}^2=91$

   Số bộ không có số $15$ :

   + Có $2$ số thuộc $A$ : $C_4^2.C_2^1=12$ bộ.

   + Có $1$ số thuộc $A$, $2$ số thuộc $B$ : $C_4^1.C_2^2=4$ bộ.

   + Có $1$ số thuộc $A$, $1$ số thuộc $B$ : $C_4^1.C_2^1.C_8^1=64$ bộ.

   $\Rightarrow P=91+12+4+64=171$.

Nếu CÓ tính đến thứ tự thì số bộ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $M+\frac{N.3!}{2!}+P.3!=1+44.3+171.6=1159$ bộ.

------------------------------------------------------------------

Nếu hiểu rằng $a,b,c$ phân biệt thì đáp án là $171.6=1026$ bộ.

Có bao nhiêu số nguyên N với $1\leq N\leq 10^m,\, (m\geq 1)$ có tổng các chữ số  $\leq k$.

Gọi số số nguyên từ $1$ đến $10^m$ thỏa mãn là $M_k$. Xét các trường hợp :

 a) $k=0$ : Không có số nào (từ $1$ đến $10^m$) thỏa mãn yêu cầu ($M_0=0$)

 b) $k\geqslant 1$ :

     Hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{1-x^{10}}{1-x} \right )^m=\left ( 1-C_m^1x^{10}+C_m^2x^{20}-C_m^3x^{30}+... \right )\sum_{i=0}^{\infty}C_{i+m-1}^{m-1}x^i$

   $M_k=\sum_{i=0}^{k}\left [ x^i \right ]f(x)=\binom{m}{0}\binom{k+m}{m}-\binom{m}{1}\binom{k+m-10}{m}+\binom{m}{2}\binom{k+m-20}{m}-...=$

            $=\sum_{j=0}^{\left \lfloor \frac{k}{10} \right \rfloor}(-1)^j\binom{m}{j}\binom{k+m-10j}{m}$.
 

 Nếu chọn hệ Mặt Trời làm hệ quy chiếu (tức là xem như Mặt Trời đứng yên) thì Trái Đất và các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo các quỹ đạo ellipse. Quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời gọi là đường hoàng đạo. Đó là một ellipse có tâm sai xấp xỉ $0,0167$ và bán trục lớn khoảng $149,6$ triệu km mà Mặt Trời nằm ở một trong hai tiêu điểm.

 Trên quỹ đạo ellipse, điểm gần Mặt Trời nhất gọi là điểm cận nhật (ký hiệu $P$), điểm xa Mặt Trời nhất là điểm viễn nhật (ký hiệu $A$). Hàng năm, Trái Đất đến điểm cận nhật khoảng ngày 2/1 đến 5/1 và đến điểm viễn nhật khoảng 3/7 đến 6/7. Ngày $4/1/2023$ Trái Đất sẽ đến điểm cận nhật lần tiếp theo, khi đó vận tốc của nó khoảng $30,287$ km/s.

 Trục Trái Đất nghiêng một góc khoảng $66^o34'$ so với mặt phẳng hoàng đạo (mặt phẳng chứa quỹ đạo Trái Đất). Trục đó không đổi phương suốt quá trình chuyển động. Nếu gọi tâm Trái Đất là $E$, cực Bắc Trái Đất là $N$, tâm Mặt Trời là $S$ thì góc $\widehat{NES}$ biến thiên liên tục. Góc đó bằng $90^o$ khi Trái Đất đến điểm Xuân phân ($X$) hoặc Thu phân ($T$), lần lượt đạt GTNN và GTLN khi Trái Đất đến điểm Hạ chí và điểm Đông chí.

 Biết rằng $\widehat{PSX}=77^o$ và vận tốc Trái Đất trên quỹ đạo tỷ lệ nghịch với khoảng cách $SE$, bạn nào thử tính xem vận tốc Trái Đất tại điểm Xuân phân $X$ là bao nhiêu ?

Gọi bán trục lớn và tâm sai của quỹ đạo Trái Đất lần lượt là $a$ và $e$.

Tại điểm cận nhật :

$SE=SP=a(1-e)=149,6.10^6(1-0,0167)\approx 147,1.10^6$ (km)

Tại điểm Xuân phân :

$SE=SX=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos 77^o}=\frac{149,6.10^6(1-0,0167^2)}{1+0,0167\cos 77^o}\approx 149.10^6$ (km)

$\Rightarrow$ Vận tốc Trái Đất tại điểm Xuân phân là $\frac{30,287.147,1.10^6}{149.10^6}\approx 29,9$ (km/s).

Nước Bạch Nga (nguồn: https://vi.wikipedia.../wiki/Bạch_Nga)

nước Đằng-chư hầu nhà Chu (nguồn:https://vi.wikipedia...iki/Đằng_(nước)

Chỉ tính những nước hiện đang tồn tại thôi, trong quá khứ thì không tính.

Nước Bạch Nga thì vẫn đang tồn tại, nhưng không thể gọi nó là nước... Bạch được, khó hiểu lắm !

Em cứ tưởng là sông Thái Bình(thái lan+Bình Nhưỡng-thủ đô triều tiên) với Bạch Đằng luôn 

Tên nước nhé, không phải tên thủ đô.
 

Đó là sông "Mê hi cô + Hồng Công"= sông Mê Công :-)

- Sông này chảy hoàn toàn trên đất Việt Nam.

- Nếu nói nước Mê, nước Công mà ai cũng biết thì OK.

sông Bạch Đằng đúng không anh

Nước Bạch ? Nước Đằng ở đâu vậy ?

Giải trí cuối tuần nha. Xin mời các bạn !

------------------------------------------------

Lần này lại là một câu đố "dị" (dễ hay lạ ?) :

Sông nào chảy trên đất Việt Nam, có tên hai chữ ghép từ tên hai quốc gia ?

Cho tập hợp A ={1,2,3,...,100}.  Hỏi có bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử của A mà tổng bằng 90?

P/s: Mình tính ra đáp án được 631 nhưng cách giải chưa hay lắm! Muốn tham khảo thêm các cách giải khác.

Số bộ nghiệm nguyên dương của phương trình $x+y+z=90$ là $C_{89}^2=3916$

Trong đó :

Số bộ nghiệm có $x=y=z$ là $1$.

Số bộ nghiệm có $x=y\neq z$ hoặc $y=z\neq x$ hoặc $x=z\neq y$ là $3\left ( \left \lfloor \frac{90-1}{2}-1 \right \rfloor \right )=129$

Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\frac{3916-1-129}{3!}=631$.
 

Có bao nhiêu cách đổi 1 tờ tiền mệnh giá  n đồng thành các tờ tiền mệnh giá  1, 2, hoặc 3 đồng.

Gọi số cách cần tìm là $s(n)$.

$s(n)$ cũng chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+2y+3z=n$.

Trong không gian $Oxyz$ lấy các điểm $A\left ( 0,\frac{n}{2},0 \right ),B\left ( 0,0,\frac{n}{3} \right ),C(n,0,0)$.

Hình chiếu của $\Delta ABC$ trên $Oyz$ là $\Delta ABO$. Và $s(n)$ chính là số điểm nguyên của $\Delta ABO$ này

$(AB):y=\frac{n-3z}{2}\Rightarrow s(n)=\sum_{z=0}^{\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor}\left \lfloor \frac{n-3z}{2}+1 \right \rfloor$

Đặt $n=6m+p\ (0\leqslant p\leqslant 5)$.

$\textbf{TH1}$ : $(0\leqslant p\leqslant 2)$

$s(n)=\sum_{z=0}^{2m}\left \lfloor 3m+1-2z+\frac{z+p}{2} \right \rfloor=(3m+1)(2m+1)-2m(2m+1)+\sum_{z=0}^{2m}\left \lfloor \frac{z+p}{2} \right \rfloor=$

   $=2m^2+3m+1+m^2+pm+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor=3m^2+(p+3)m+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor+1$

$\textbf{TH2}$ : $(3\leqslant p\leqslant 5)$

$s(n)=\sum_{z=0}^{2m+1}\left \lfloor 3m+1-2z+\frac{z+p}{2} \right \rfloor=(3m+1)(2m+2)-2(m+1)(2m+1)+\sum_{z=0}^{2m+1}\left \lfloor \frac{z+p}{2} \right \rfloor=$

   $=2m^2+2m+m^2+(p+1)m+p=3m^2+(p+3)m+p$

Thống nhất kết quả trong cả $2$ trường hợp, ta có :

$s(n)=3\left \lfloor \frac{n}{6} \right \rfloor^2+(p+3)\left \lfloor \frac{n}{6} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor+\sum_{k=1}^{2}\left \lfloor \frac{p}{2k+1} \right \rfloor+1$

(trong đó $p=n-6\left \lfloor \frac{n}{6} \right \rfloor$)

Ta có:$13^{4}\equiv 19 \pmod {90}\Rightarrow 13^{25}=\left ( 13^{4} \right )^{6}.13\equiv 19^{6}.13\equiv 13 \pmod {90}$

$13^{4}\equiv 31 \pmod {90}\Rightarrow 13^{25}=\left ( 13^{4} \right )^{6}.13\equiv 31^{6}.13\equiv 13 \pmod {90}$

Hoặc là :

$13^{5}\equiv 43 \pmod {90}\Rightarrow 13^{25}=\left ( 13^{5} \right )^{5}\equiv 43^{5}\equiv 13 \pmod {90}$

Hoặc :

$13^{6}\equiv 19 \pmod {90}\Rightarrow 13^{25}=\left ( 13^{6} \right )^{4}.13\equiv 19^4.13\equiv 13 \pmod {90}$