Cho $a,b,c$ dương thõa mãn : $abc=1$ . Chứng minh 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+2$

P/s : Chém thoải mái , không biết được mấy cách đây 

Bạn nói ở sách nâng cao hay cơ bản vậy ? Mình lấy sách nâng cao tìm thì không có....hay bạn có nhầm bài không ???

Sách Đại Số 11 cơ bản nhé bạn .

2/ Cho a,b,c: $\sum a^2=2;\sum ab=1.$. Tìm Max, min của a,b,c

Ta có : $4=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow a+b+c=\pm 2$

Xét $\left\{\begin{matrix} a+b+c=2 \\ ab+ac+bc=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2-b-c \\ a(b+c)=1-bc \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2-(b+c) \\ a(b+c)=1-bc \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4a(2-a)\leq 4-(2-a^2)\Leftrightarrow 0\leq a(4-3a)\Rightarrow 0\leq a\leq \frac{4}{3}$

Tương tự $0\leq b,c\leq \frac{4}{3}$

TH còn lại tự làm nhé 

Cho mình hỏi : Bạn lấy ở bài toán nào trong sgk 11 vậy ? Mình rất thích cách đặt vấn đề của bạn..

Bài toán gốc : Bài 6 trang 74 :

Đề : Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau . Tính xác suất sao cho :

Nam nữ ngồi đối diện nhau 

Bài toán có thể mở rộng lên thành

n bạn nam và n bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào 2n ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau . Tính xác suất đề nam nữ ngồi đối diện

Cách giải cho bài toán tổng quát thì mình cũng tìm được 3 cách rồi 

Cách $2$ giải sai rồi.Giải đúng là như thế này :

TH 1 : Nam hàng $1$, nữ hàng $2$ : $3!.3!=36$ cách.

TH 2 : Nam hàng $2$, nữ hàng $1$ : $3!.3!=36$ cách.

TH 3 : Hàng $1$ có $2$ nam, hàng $2$ có $1$ nam :

        + Chọn $3$ ghế cho các "bậc mày râu" : $C_{3}^{2}=3$ cách

        + Xếp $3$ "đấng trượng phu" ngồi vào $3$ ghế vừa chọn : $3!=6$ cách.

        + Xếp $3$ "người đẹp" vào $3$ chỗ còn lại : $3!=6$ cách.

       $\Rightarrow$ TH 3 có $3.6.6=108$ cách

 

TH 4 : Hàng $1$ có $1$ nam, hàng $2$ có $2$ nam :

        + Chọn $3$ ghế cho các "bậc mày râu" : $C_{3}^{1}=3$ cách

        + Xếp $3$ "đấng trượng phu" ngồi vào $3$ ghế vừa chọn : $3!=6$ cách.

        + Xếp $3$ "người đẹp" vào $3$ chỗ còn lại : $3!=6$ cách.

       $\Rightarrow$ TH 4 có $3.6.6=108$ cách

Xác suất cần tính là $P=\frac{36+36+108+108}{6!}=\frac{2}{5}$.

Chỗ này lời dẫn bị sai . Đáng ra là chọn 2 ghế trong 3 ghế ở hàng 1 cho 2 nam

Dưới tương tự ..

Bạn xem thử ở Cách 1 và cách 3 thì cách nào đúng , cách nào sai ... Hình như 2 cách này mâu thuẫn nhau ở bước đầu tiên

Đề bài : Có $6$ học sinh, $3$ nam và $3$ nữ được xếp vào $6$ ghế , $2$ hàng đối diện , được đánh số từ $1$ đến $6 $. Tính xác xuất để nam nữ ngồi đối diện .

Không gian mẫu $n_{\omega }=6!$

Cách $1$ :

Có $6$ cách để xếp một bạn nam vào $1$ ghế trong $6$ ghế

Nên có $3$ cách chọn một bạn nữ ngồi đối diện với bạn nam trên

Xếp tiếp $1$ bạn nam vào $4$ ghế còn lại : có $4$ cách

Nên có $2$ cách xếp $1$ bạn nữ ngồi đối diện với bạn nam trên

Còn lại $1$ nam và $1$ nữ xếp vào $2$ ghế còn lại có $2$ cách .

Vậy tổng cộng có $6.3.4.2.2=288$ cách

Xác xuất để nam nữ ngồi đối diện là $P=\frac{288}{6!}=\frac{2}{5}$

 

Cách $2$ :

TH$1$ : Nam hàng $1$ nữ hàng $2$ có : 3!.3! cách

             Nam hàng $2$ nữ hàng $1$ có : 3!.3! cách

TH$2$ : Hàng $1$ có $2$ nam , hàng $2$ có $1$ nam

Số cách xếp : $A_3^2.A_1^1.3!=36$

Tương tự hàng $1$ có $1$ nam , hàng $2$ có $2$ nam

Số cách xếp : $A_3^2.A_1^1.3!=36$

Vậy Sẽ có $144$ cách xếp

Xác xuất $P=\frac{1}{5}$

 

Cách $3$ :

TH$1$ : $3$ nam ngồi cùng hàng, $3$ nữ ngồi cùng hàng ( vậy nam nữ luôn đối diện)

Có $2.3!.3!$ cách

TH$2$ : (Hình kèm dưới )

             Chọn $1$ nam ngồi vào $1$ ô của hàng $1$ có $3.3=9$ cách

             Chọn $2$ nam còn lại ngồi vào $2$ ô của hàng $2$ có $2$ cách

             Chọn $3$ nữ ngồi vào 3 ô còn lại có $3!$ cách

Suy ra có $9.3!.2.2$ cách

Vậy $P=\frac{2.3!.3!+9.2.2.3!}{6!}=\frac{2}{5}$

 

Cách làm nào mới đúng , hay là sai hết ???