cho tam giác nhọn ABC và M chuyển động trên đường thằng BC.trung trực của MB,MC cắt AB,AC ở P,Q.cmr đường thẳng qua M vuông góc PQ đi qua 1 điểm cố định

Cho (O;R), 2 đường kính AB,CD vuông góc.E trên OC và F trên OD sao cho EF=R,AF cắt (O) tại G.CMR tam giác AGE nhọn.

Tam giác ABC nội tiếp (O) h là trực tâm,I là trung điểm BC ,HI giao (O)={D} ,E,F là chân đường vuông góc từ đỉnh B,C

a.Tứ giác BHCD là hình gì

b.cm OI=1/2AH

c.AO vuông góc EF

d.cho K là trung điểm EF cmr R(bán kính).AK=AI.OI

e.cmR(EF+a+b)=2S(ABC) xđ vị trí điểm A để (EF+a+b) max (a,b mình chép thiếu nên chưa biết là gì,ai cao siêu nghĩ hộ nhé )

Giải:

a,gọi D' là giao của AO với (O).dễ cm CD và BH cùng cuông góc AC nên CD//BH.tương tự BD//CH nên BHCD là hình bình hành suy ra I là trung điểm HD'.mặt khác HI cắt (O) tại D(gt) mà ta cm nó cắt (O) tại D' nên D trùng D'.suy ra BHCD là hình bình hành.

b,sử dụng đường trung bình: OI là đường trung bình của tam giác AHD nên OI=1/2AH
c,cm 2 tam giác AEF và ABC đồng dạng suy ra góc AEF=ABC.kẻ tiếp tuyến Ax của (O)(Ax thuộc nửa mặt phẳng bờ AC ko chứa B ấy).có góc CAx=ABC nên suy ra CAx=AEF mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên EF//Ax,lại có Ax vuông góc OA nên AO vuông góc EF

d,cm 2 tam giác AEF và ABC đồng dạng mà AK và AI là 2 đường trung tuyến tương ứng nên AI/AK=AB/AE=AC/AF(cm 2 tam giác ABE và ACF đồng dạng suy ra AB/AE=AC/AF). (1)
R/OI=OD/OI=AD/AH. (2)  
cm góc ADC=AHF(=ABC).suy ra 2 tam giác AHF và ADC đồng dạng nên AD/AH=AC/AF (3)

từ (1),(2),(3) suy ra AI/AK=R/OI suy ra AK.R=AI.OI
e, thực sự mình chịu

Gọi O là giao của EF và DK. cm OK=OD=OE=OF
xét $\Delta$ EBF vuông tại B suy ra EO=OF=OB suy ra OE=OK=OD suy ra $\Delta$ DBK vuông tại B.hay $\angle$ DBK=90 độ

Cho a,b,c $\geq$ 0 thỏa mãn a+b+c=1
tìm min,max: A=(ab+1)² + (bc+1)² +(ac+1)²


Cho a,b,c thỏa mãn abc=1.
(a-1+$\frac{1}{b}$)(b-1+$\frac{1}{c}$)(c-1+$\frac{1}{a}$)
Mọi người thử dùng điều kiện 3 số dương trước,rồi về sau thử xem nếu ko dương có đc ko,nhg em cần nhất vẫn là cái chỗ 3 số dương.

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a² + b² +c² =3
C/m:
a,$\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}$  +   $\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}$  +     $\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}$ $\geq$ 6
b, $\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}$  +     $\frac{b}{\sqrt{a+c-b}}$   +      $\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}$  $\geq$ 3

Bài này còn cho thêm điều kiện là a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác,nhg em nghĩ ko cần,mọi người nhỉ?

Cho xyz=1.Tìm min:
A=$\frac{x⁹y⁹}{ x⁶+x³y³+y⁶}$    +      $\frac{y⁹z⁹}{y⁶+y³z³+z⁶}$        +             $\frac{x⁹z⁹}{x⁶+x³z³+z⁶}$

Thay $abc=1$ vào biểu thức cần CM .Ta có :

 $A=(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})=(a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)=ab+bc+ac-a^2b-b^2c-c^2a+a+b+c-2$

Ta sẽ CM : $A\leq 1< = > a^2b+b^2c+c^2a+3\geq ab+bc+ac+a+b+c$(1)

Do $abc=1$ nên tồn tại các số thỏa mãn :$a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$(2)

Thay (2) vào (1) .BĐT cần CM $< = > \frac{x^2}{y^2}.\frac{y}{z}+\frac{y^2}{z^2}.\frac{z}{x}+\frac{z^2}{x^2}.\frac{x}{y}+3\geq \frac{x}{y}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}.\frac{z}{x}+\frac{z}{x}.\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}< = > x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$(đúng vì đây là bất đẳng thức Schur bậc 3) 

$= > A$ Max= 1 khi a=b=c=1

Anh ơi,có cách lớp 9 chỉ dùng bđt đơn giản ko ạ?Schur cm ko khó nhg vẫn phải cm lại. :/

Thế thì dùng bdt tam giác là $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

Cái bđt này mà áp dụng,để đc như cái mình cần,thì nhân hết ra ạ?

Ta có :$A=(ab+1)^2+(bc+1)^2+(ac+1)^2\geq 1^2+1^2+1^2=3$(Do $a,b,c\geq 0= > ab\geq 0,bc\geq 0,ac\geq 0$)

$= > A$ Min = 3 $< = > ab=bc=ac=0<= > a=b=0,c=1$

Max ấy ạ?Có phải khi a=b=c đúng ko ạ?Nhg cách làm ntn ạ?

uhm

Anh có cách ko?em cũng đang nghĩ.

À ko,ý em muốn hỏi áp dụng vào bài ntn ấy?

Theo mình nghĩ đề bài đúng phải là .Tìm Min của :$A=\sum \frac{x^9}{x^6+x^3y^3+y^6}$

Đặt $x^3=a,y^=b,z^3=c= > abc=(xyz)^3=1$

Ta có :$A=\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum (\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-a)=\sum (\frac{-ab(a+b)}{a^2+b^2+ab})\geq \sum (\frac{-ab(a+b)}{3ab})=\sum (\frac{-(a+b)}{3})= > \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \sum (a-\frac{a+b}{3})=\frac{\sum a}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{3.1}{3}=1$

$= > A$ Min=1 khi a=b=c=1 hay x=y=z=1

Dạ.Em cảm ơn anh.Vậy tức là đề của em có nhầm lẫn phải ko ạ?Anh chỉ giúp em 1 giá trị nhầm đc ko?

Ví dụ như $x=1,y=2,z=\sqrt{2}$

nhg có điều kiện xyz=1 mà anh?

Có ĐK là cạnh của tam giác thì các biểu thức trong căn mới tồn tại được.

Ý b mình làm ra VT $\geq \sum \sqrt{a}$(1). Bạn áp dụng ĐK chứng minh tiếp.

$\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\sqrt{b+c-a}\geq 2\sqrt{a}$

cmtt...

=>VT$\geq \sum 2\sqrt{a}-\sum \sqrt{b+c-a}$

Áp dụng bđt: $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2x+2y}$

=>$\sum \sqrt{b+c-a}\leq \sum \sqrt{a}$

=>(1)

Em cảm ơn ạ.Nhg em cần ý b.

à nhầm,em cần ý a anh ơi.

_________

Chiếm đất tý: Ý a,b như nhau mà. Xây dựng BĐT ý B áy

Ta viết lại BĐT của "ảnh" cho dễ thay nhé!

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$. Ta thay: $x=a, y=\frac{1}{b}, z=1$ thì

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\leq \frac{a}{b}$

Chia cả 2 vế cho $\frac{a}{b}$ ta được:

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )b\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\frac{1}{a}\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\frac{1}{a}\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )b\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}-1 \right )\left ( b+ab-1 \right )\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (Do $abc=1$)

Suy ra đpcm nhé

À,bài này ấy ạ,mi=3,max=1 ạ?em thấy sao sao?

giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} ux³+py³=14\\ ux²+py²=5\\ux+py=2 \\u+p=1 \end{matrix}\right.$

ux³+py³=14

ux²+py²=5

ux+py=2

u+p=1

Cho (O) và đường thẳng d đi qua O.vẽ đường thẳng m là 1 tiếp tuyến của (O) sao cho m//d.tìm điểm A trong phần mặt phẳng giới hạn bởi 2 đường m và d(A nằm ngoài (O)) sao cho khi kẻ 2 tiếp tuyến từ A đến(O),2 tiếp tuyến này cắt d ở B và C thì  S_ABC min.

bài 1:tìm nghiệm dương của hệ:

$$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2- \dfrac{2013}{x_1.x_2} &=x_3\\x_2+x_3- \dfrac{2013}{x_2.x_3} &=x_4\\........\\x_{2012}+x_{2013}- \dfrac{2013}{x_{2012}.x_{2013}} &=x_1\\x_{2013}+x_1- \dfrac{2013}{x_{2013}.x_1} &=x_2\end{matrix}\right.$$

bài 2:giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=10\\x^7+y^7+z^7=350\end{matrix}\right.$$

bài 3:giải hệ với $x,y,z,t>0:$

$$\left\{\begin{matrix}x+y+z+t=12\\xy+xz+xt+yz+yt+zt=xyz-27\end{matrix}\right.$$

với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Giải hệ sau với ẩn x,y,z:
$\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=2c(xy+yz+xz) \\ y^{3}+z^{3}=2a(xy+yz+xz) \\ z^{3}+x^{3}=2b(xy+yz+xz) \end{matrix}\right.$

Với a,b,c là 3 cạnh tam giác,giải hệ sau với ẩn x,y,z:

$\left\{\begin{matrix}y^{3}+z^{3}=2a(xy+yz+xz) \\ z^{3}+x^{3}=2b(xy+yz+xz) \\ x^{3}+y^{3}=2c(xy+yz+xz) \end{matrix}\right.$

Em lớp 9,đang cần chút tài liệu về pt nghiệm nguyên,mọi người giúp em với.em có phương trình nghiệm nguyên của vũ hữu bình rồi,muốn cần cái khác.ngoài ra,ai có tài liệu về quyển Phương trình nghiệm nguyên và KINH NGHIỆM GIẢI cũng của vũ hữu bình không ạ,cho em với.