147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$

Xét tích : $(2-a)(2-b)(2-c)\leq 0$ <=> $abc-2(ab+ac+bc)\geq -4$

          Lại có : $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=9$

Cộng vế ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 5$

Mà abc $\geq$ 0 -> đpcm

Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!

 

Mình nghĩ là x+y+z = 2 chứ nhỉ?

Thay x+y+z=2 vào ta có:

VT = $\sum \frac{xy}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{xy}{z+x}+\frac{xy}{z+y})(BĐT phụ   ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2})=\frac{1}{2}(x+y+z)=1$ 

Bài 154: Cho a,b,c >0 thỏa mãn : a+b+c=3

Chứng minh: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq 1$

144. Cho x + y = 1. Tìm min $\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$

$\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$ 

= $\left ( 1-\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{x} \right )$$\left ( 1-\frac{1}{y} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )$

= $\left ( 1-\frac{x+y}{x} \right )\left ( 1-\frac{x+y}{y} \right )$$\left ( 1+\frac{x+y}{x} \right )\left ( 1+\frac{x+y}{y} \right )$

=$\left ( -\frac{x}{y} \right )\left ( -\frac{y}{x} \right )$$\left ( \frac{2x+y}{x} \right )\left ( \frac{2y+x}{y} \right )$

=$\frac{5xy+2\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{xy}$

$\geq 5+4$    (vì x²+ y²$\geq$ 2xy theo cô si )

Dẫu bằng xảy ra khi x=y=0.5

3) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b>0 & & \\ a+b\leq 1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=ab+\frac{1}{ab}$

S=16ab+$\frac{1}{ab}$$-$15ab$\geq 2\sqrt{16ab.\frac{1}{ab}}$$-$15$\frac{1}{4}$=4.25
Dấu = xảy ra <=> x=y=1/2

4) Cho $a,b>0$. Tìm Min $S=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}\geq 1$
$\frac{3}{4}$.$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$$\geq \frac{3}{4}.\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$=$\frac{3}{2}$
Cộng vế:=> S$\geq \frac{5}{2}$.Dấu = khi a=b=1
P/s:không biết gộp 2 bài lại.
@Viet Hoang 99: Đã gộp

Em không phải toán thủ MSS.

 

Áp dụng BĐT Svac ta có: E = $\sum \frac{(\frac{1}{x})^{2}}{xy+xz}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}{2(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3}{2}$( Cô si 3 số và xyz =1)

Dấu = xảy ra <=> x=y=z=1

Giải hpt:
118) $\left\{\begin{matrix}xy-3x-2y=-4 & & \\ x^2+y^2-2x-4y=-5 & & \end{matrix}\right.$

 

 

118.

pt (2) <=> $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}$=0 => x=1; y=2

Thay vào (1) không thỏa mãn => VN

159.

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2} =2z-z^{2}& \\ (y-z)^{2}=2x-x^{2}& \\ (z-x)^{2}=2y-y^{2}& \end{matrix}\right.$

P/s: kết luận đủ nghiệm nhá.

HPT $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+z^{2} & = 2z\\ (y-z)^{2}+x^{2}& = 2x\\ (z-x)^{2}+y^{2}& = 2y \end{matrix}\right.$

Suy ra $x,y,z\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z$(1)

$\Rightarrow (x-y)^{2}\leq (x-z)^{2}$

$\Rightarrow 2z-z^{2}\leq 2y-y^{2}\Rightarrow (z-1)^{2}\geq (y-1)^{2}\Rightarrow z-1\geq y-1\Rightarrow z\geq y$(2)

 

(1),(2)$\Rightarrow x=y=z$

Thay vào PT :$2x-x^{2}=0\Rightarrow x=0\vee x=2$

 

Nghiệm: $(0;0;0);(2;2;2)$

Thiếu nghiệm nhiều lắm bạn ơi.(0;1;1) (2;1;1) và các hoán vị.

Không biết còn nữa không?

 

 

107) $\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{y^2+2y+1}+\frac{y^2}{x^2+2x+1}=\frac{1}{2} & & \\ 3xy-x-y=1 & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

 

107.

từ pt (2) => $x= \frac{y+1}{3y-1}$ thế vào pt (1) rồi tìm y.

trước khi thế ta biến đổi pt (1) = $\left ( \frac{x}{y+1} \right )^{2}+\left ( \frac{y}{x+1} \right )^{2}=\frac{1}{2}$

 

 

109) $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-x-2y=19 & & \\ xy(x-1)(y-2)=-20 & & \end{matrix}\right.$

 

 

109.

pt (1) <=> $x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-2 \right )=19$

Áp dụng ĐL Vi-ét đảo cho 2 số $x\left ( x-1 \right )$ và $y\left ( y-2 \right )$

Đến đây được rồi nhỉ?

 

P/s: viết hpt kiểu gì ?

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

$a^{2}+1\geq 2a$

$b^{2}+1\geq 2b$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+a+b$

thánh soi. :v

cho em vào xin 1 vé nào.      

hôm qua trên đường đi học về nhặt được 20 vé:

Ai mua không mình bán cho

20k/vé           

cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  M = a^3 + b^3

a=1$-$b thay vào M biến đổi thành :M=3(a-\frac{1}{2}$)²+$\frac{1}{4}$

To be continute...

Cho 2 đường thẳng y=2x+3$-$m và y=3x+5$-$m.

a)Tìm m để 2 đt cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung Oy

b)Viết phương trình đường thảng y=ax+b biết nó // y=$-\frac{1}{2}$x và cắt trục tung tại 10.

 

P/s:Làm nhanh nhá đang cần gấp.

Câu 1 (6,0 điểm):

 

c)     Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \end{matrix}\right.$ 

 

Trừ vế và thu được x=y.

Thay vào 1 trong 2 phương trình là ra.

P/s: Làm hơi tắt đi ăn cơm

Bài 1:

a)     OD // CA

        AC vuông AB

       => OD vuông CB.Mà COB cân => OD phân giác COB

b) $\bigtriangleup$COD = $\bigtriangleup$BOD(c.g.c)

=> CD vuông CO => dpcm

Bài 2:

a)  CE=CA (t/c)

     DE=DB(t/c)

=> dpcm

b) góc COE =góc COA ( 2 tam giác = nhau)

    góc EOD = góc BOD ( 2 tam giác = nhau)

mà có 4 góc tổng = 180⁰

Cộng vế => COD = 90⁰

Từ PT 1 ta có : $\Delta = (3y+1)^{2}\rightarrow x=\frac{y-1-(3y+1)}{2}=-y-1$

                                                                    $x=\frac{y-1+3y+1}{2}=2y$ 
Rồi thay vào PT (2) giải.Ok!

 chỉnh đi chỉnh lại mất 30p vcc

Dùng từ cấm '' vcc '' . Nhờ MOD nào nhắc nhở cái !!! 

thôi tự sửa@@

Chỉnh lại đoạn này đi

đến đoạn đó ai chả làm được

Vẽ hình : Qua I song song với BC cắt AB  AC tại G , K     ( IMG=a     IPK=b    IQN = c)

              ..............................AB cắt AC  BC tại P , Q 

              ..............................AC cắt AB  BC tại M , N

                        MIG \sim ABC

                  = > $\frac{\sqrt{SA}}{\sqrt{SABC}} = \frac{GI}{BC}$   (1)

       Tương tự : $\frac{\sqrt{Sb}}{\sqrt{SABC}} = \frac{IK}{BC}$    (2)

                        $\frac{\sqrt{Sc}}{\sqrt{SABC}} = \frac{QN}{BC}$   (3)

      Cộng vế    : $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}= \sqrt{SABC}$  ( vì GI+IK+QN=BQ+QN+NC=BC)

                                  => S_{ABC =}($\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})²

hình như anh nhầm rùi@@

$a^2-b^2=1$ mới đúng chứ.

ông này cũng nhầm còn nói ai

a²-b² =3