202) Ta có: $\prod \left ( a+\frac{1}{a+1} \right )=\prod \left ( \frac{a^{2}}{a+1}+1 \right )=\prod \left (\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{a+1}{4}-\frac{a}{4}+\frac{3}{4} \right )\geq \prod \left( a - \frac{a}{4}+\frac{3}{4}\right )=\frac{27}{64}\prod \left (a+1 \right )\geq \frac{27}{64}\cdot 8\prod \left (\sqrt{a} \right )\geq \frac{27}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

1/Tim min A=$\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}$

2/cho a,b>0 va a+b<1 Tim min B=$\frac{a^2}{1-b}+\frac{b^2}{1-a}+\frac{1}{a+b}+a+b$ 

$\frac{a^{2}}{1-b}+\frac{b^{2}}{1-a}+\frac{1}{a+b}+a+b=(\frac{a^{2}}{1-b}+(1-b)\cdot \frac{1}{4})+(\frac{b^{2}}{1-a}+(1-a)\cdot \frac{1}{4})+\frac{1}{a+b}+\frac{5}{4}\cdot (a+b)-\frac{1}{2}\geq a+b+\frac{5}{4}\cdot (a+b)+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{2}=\frac{9}{4}\cdot (a+b)+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{2}\geq 3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{3}$

Ta có:

$(a-1)(a-2)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}+2\leq 3a\Rightarrow a+\frac{2}{a}\leq 3$

Làm tương tự cho $b,c$

Cộng hết vào ta có:

$\sum a+\sum \frac{2}{a}\leq 9$

Mặt khác: $9^{2}\geq (\sum a+\sum \frac{2}{a})^{2}\geq 4\sum a.\sum \frac{2}{a}\Rightarrow 9^{2}\geq 8\sum a.\sum \frac{1}{a}\Rightarrow \sum a.\sum \frac{1}{a}\leq \frac{81}{8}$

Em xem lại đi!!!!!!

Mình nghĩ bạn mới xem lại vì bạn chưa xét đến dấu "=" xảy ra khi nào mà?

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=a & & \\ \sqrt{1-x^2}=b(b\geq 0) & & \end{matrix}\right.$

Theo hệ ta có

$\left\{\begin{matrix}a^3+b^3=\sqrt{2}ab & & \\ a^2+b^2=1 & & \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đẳng cấp nên có:$a^3+b^3=\sqrt{2}a^2b+\sqrt{2}b^2a$

Đên đây giải được rồi nhé bạn.

Cách bạn giải hình như bị sai thì phải vì nếu như giải theo bạn thì x= 0 hoặc -1 hoặc 1

Thử các x=0;1;-1 trên nhận thấy chúng không phải là nghiệm của PT. Suy ra pt vô nghiệm

Mà theo mình thì nghiệm của PT là $\sqrt{\frac{-1}{2}}$ 

Sao cậu lại suy ra nghiệm như thế.Nó có 3 nhân tử mà bạn bạn xét thiếu trường hợp rồi!Nghiệm lẻ bạn à

Bạn giải rõ ra xem nào vẫn làm theo cách của ban í

Sao Đề bạn ghi 1 đằng Chứng minh ghi 1 nẻo. Vậy cái nào đúng.

210)

$x^{2}+y^{2}\geq 1-xy\geq 1-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\Leftrightarrow \frac{3}{2}\cdot (x^{2}+y^{2})\geq 1\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{2}{3}$

Cho a,b,c dương. CMR:

$(\frac{4a}{c+b}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)> 25$

$2.(\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2})\leq 2.(\frac{x}{2x+1}+\frac{y}{2y+1}+\frac{z}{2z+1})=3-(\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1})\leq 3-\frac{9}{2(x+y+z)+3}\leq 3-\frac{9}{2.3.\sqrt[3]{xzy}+3}=3-\frac{9}{2.3.1+3}=2\Leftrightarrow \frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2}\leq 1$

Cho các số thực dương $a,b,c$ .CMR:

$1) (\sum ab)(\sum \frac{1}{(a+b)^{2}})\geq \frac{9}{4}$

$2) \sum \frac{ab-bc+ca}{b^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

$3)(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab+bc+ca)$

$4)\sum \frac{a(b+c)}{b^{2}+c^{2}}\geq 2+\frac{8a^{2}b^{2}c^{2}}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

$5)(a+b+c)(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2})\geq 4+\frac{4a^{2}b^{2}c^{2}}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$

$6)\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}$

Hiện giờ em đang rất cần gấp toàn tập sách Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán. Mong anh(chị) nào có thì có thể cho hoặc bán lại cho em. Cảm ơn mọi người nhiều.

  BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{6a}{6a+1}\geq \frac{18}{7}$.

 Dùng UCT ta cm được $\frac{6a}{6a+1}\geq \frac{6}{7}+\frac{162}{49}(\frac{1}{2a+1}-\frac{1}{3})\rightarrow \sum \frac{6a}{6a+1}\geq \frac{18}{7}\rightarrow Q.E.D$

   Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$.

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...

Sai rồi nha bạn. Chỗ này bị ngược dấu.

Cho minh hỏi là $\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}=1$ hay aOA+bOB=1.

 

Cách khác:

Do a+b+c=3 nên tồn tại x,y,z dương thỏa mãn: a$a=\frac{3x}{x+y+z},b=\frac{3y}{x+y+z},c=\frac{3z}{x+y+z}$

Khi đó ta có:

VT = $\sum \frac{a}{ab+1}=\sum \frac{3x(x+y+z)}{9xy+(x+y+z)^{2}}$

$=3(x+y+z)\sum \frac{x^{2}}{9x^{2}y+x(x+y+z)^{2}}\geq 3(x+y+z)\frac{(x+y+z)^{2}}{9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(x+y+z)^{3}}$

$=\frac{3(x+y+z)^{3}}{9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)+(x+y+z)^{3}}$

 

Ta sẽ chứng minh

$(x+y+z)^{3}\geq 9(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

 

Thật vậy, do bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa x+y+z=3. Ta sẽ chứng minh $3 \geq (x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

Ta có: 

$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq\frac{xy+y}{2}+\frac{yz+z}{2}+\frac{zx+x}{2}=\frac{xy+yz+zx+3}{2}\leq 3$

 

Vậy ta có đpcm

 

 Chỗ này chứng minh sao vậy ạ?

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$.

Đặt $\left\{\begin{matrix}a-b=x & & \\ b-c=y & & \end{matrix}\right. =>a-c=x+y$

Ta có:$B=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \right ].(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})=2+\left [ (\frac{y}{x})^2+(\frac{y}{x})^2 \right ]+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+1-\frac{xy}{(x+y)^2}\geq 2+2+1-\frac{1}{4}=\frac{27}{4}$ =>đpcm

 

Đây là bài toán thi VMO!

Cho mình hỏi là bạn trình như thế nào vậy mình đọc không hiểu.

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$.

Đặt $\left\{\begin{matrix}a-b=x & & \\ b-c=y & & \end{matrix}\right. =>a-c=x+y$

Ta có:$B=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \right ].(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2})$$=2+\left [ (\frac{y}{x})^2+(\frac{y}{x})^2 \right ]+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+1-\frac{xy}{(x+y)^2}\geq 2+2+1-\frac{1}{4}=\frac{27}{4}$ 

 

Đây là bài toán thi VMO!

Chỗ này bạn biến đổi thế nào vậy?

57) Trên các cạnh AB BC CA của tam giác ABC ta lấy các điểm C1, A1,B1 sao cho AC1/C1B=BA1/A1C=CB1/B1A=k. Trên các đoạn A1B1, B1C1, C1A1, ta lấy lần lượt các điểm C2, A2, B2 sao cho A1C2/C2B1=B1A2/A2C1=C1B2/B2A1=1/k.Chứng minh rằng tồn tại một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A2B2C2.

 

Áp dụng bất đẳng thức:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

Có $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c};\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{a+b+2c};\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{4}{2a+b+c}$.

Ta chứng minh:$\frac{1}{2a+b+c}\geq \frac{2}{2a^2+b^2+c^2+4}\Leftrightarrow 2(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq 0$

$\Rightarrow \frac{1}{2a+b+c}\geq \frac{2}{2a^2+b^2+c^2+4}=\frac{2}{a^2+7}$

Tương tự rồi cộng lại có điều phải CM.Dấu = khi $a=b=c=1$

 

Bài bạn làm đúng rồi mà viết sai nhiều quá.

Ta có:$\sqrt{2014+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sqrt{2.a.(a+b+c)+\frac{b^2-bc+c^2}{2}}=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2-2bc+c^2}{2}}=\sqrt{\frac{(2a+b+c)^2}{2}-$$2bc$}$\leq \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}$

Tương tự có:$A\leq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{2}}\leq 2.1007.\sqrt{2}=2014\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=\frac{1007}{3}$

Chỗ này nè đáng lẽ ra phải có 1 số = 0 nhưng vô lí nên vì vậy ta thay dấu "$\leq $" thành dấu "$<$".

Lời giải :

Bài 2 : Điều kiện :$x,y,z >0$

Ta có :

$(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}) \geq 9\\$

$\Rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz} \geq 1 $

Rất quen thuộc $x+y+z \geq  \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$.Từ phương trình thư nhất suy ra $x=y=z=\frac{1}{3}$

Thay vào phương trình thứ ba thấy thỏa mãn.

Vậy $(x;y;z)=(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$

Bài 4: Chuẩn hóa $a+b+c=3$ khi đó :

$(*)\Leftrightarrow \frac{(3-2c)^{2}}{(3-c)^{2}+c^{2}}+\frac{(3-2b)^{2}}{(3-b)^{2}+b^{2}}+\frac{(3-2a)^{2}}{(3-a)^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5} (1)$

Trước hết chứng minh BĐT sau đây là đúng :

$\frac{(3-2x)^{2}}{(3-x)^{2}+x^{2}}\geq \frac{-18}{25}x+\frac{23}{25}\\$

$\Leftrightarrow \frac{36x^{3}-54x^{2}+18}{2x^{2}-6x+9}\geq 0 (*;*)$

ta có :$2x^{2}-6x+9=2(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{2} >0$

Xét $g(x)=36x^{3}-54x^{2}+18;g'(x)=108x^{2}-108;g'(x)=0\Leftrightarrow x=0 ;x=1$

Từ đó dễ dàng suy ra $g(x) \geq g(1)=0$

Suy ra $(*;*)$ đúng .

Áp dụng bất đẳng phụ trên, ta có :

$VT_{(1)}\geq \frac{-18}{25}(a+b+c)+3.\frac{23}{25}=\frac{3}{5}=VP_{(1)}$

Suy ra dpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

------------------------------------------

Anh tohoproirac chắc làm hết nhỉ....

Cho mình hỏi chỗ này suy ra như thế nào vậy?

Giải pt bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20\Leftrightarrow \sqrt{2x+15}=8(2x+15)^2-224(2x+15)+1540$

Sau đó ta đặt $t=\sqrt{2x+15} (t\geq 0)$.Từ đó giải phương trình bậc 4.

Hàm $f\left ( x \right )=36x^3-54x^2+18,x\in \left ( 0;3 \right )$

.Bạn nói rõ hơn được không mình vẫn chưa hiểu rõ lắm.

Bài 1: Tìm số nguyên $x$ lớn nhất sao cho $A= 4^{27}+4^{100}+ 4^x$ là số chính phương

Bài 2: Tìm các số nguyên tố $a,b,c$ thỏa mãn $a^4 + b^4 =c$

Bài 3: tìm các bộ số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn: $\frac{x+\sqrt[2013]{y}}{y+\sqrt[2013]{x}}$ thuộc Q đồng thời $x^2 + y^2 + z^2$ là số nguyên tố

Bài 4:CMR nếu a,b thuộc Z; $a^2 + b^2$ chia hết cho $P$; $P=4k + 3$; $k$ thuộc $N$ thì $a$ chia hết cho $P$, $b$ chia hết cho $P$

Bài 5: Có hay không số tự nhiên chia cho $a$ và $b$ mà $a.b=2015^{2016}$ còn tổng $a+b$ chia hết cho 2016

Bài 6: Tìm các số nguyên tố $n$ để $a=n^{2014} + 1$ là số chính phương

Bài 7: Tìm số nguyên tố $p, q$ sao cho $(2^p + 2^q)$ chia hết cho $p.q$

$S=\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{(1-a)a}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{(1-b)b}}\geq \frac{2a\sqrt{a}}{1-a+a}+\frac{2b\sqrt{b}}{1-b+b}=2(\frac{a^{2}}{\sqrt{a}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{b}})\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}=\sqrt{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$.

$\frac{2(a+b)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \frac{2(a+b)^2}{\sqrt{2(a+b)}}$  mình muốn hỏi lại phần này

Bạn sử dụng BĐT này: $2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2$.