174. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{20y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} & \\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}& \end{matrix}\right.$

Nhân vế theo vế cả 2 pt ta có 

$\sqrt{\frac{20.16.x.y}{5.x.y}}=(x+y)-(x-y)$

$2y=8$

$\Leftrightarrow y=4$

thay lại vào pt đầu tìm được x

Thôi chém bài 105 cho nhanh rồi off
$\left\{\begin{matrix}\frac{2x^2}{x^2+1}=y & & \\ \frac{2y^2}{y^2+1}=z & & \\ \frac{2z^2}{z^2+1}=x \end{matrix}\right.$

Từ pt suy ra x,y,z$\geq$0

Áp dụng bdt cauchy ta có $x^{2}+1\geq 2x$ Suy ra $\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}\leq x$
Suy ra $y\leq x$

Tương tự $z\leq y$

$x\leq z$
Suy ra x=y=z=1(Dấu bằng cauchy)

165) $\left\{\begin{matrix}x+y+z=1 & & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{2} & & \\ \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2 \end{matrix}\right.$

Ta có

$\begin{matrix}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2 \\ \Leftrightarrow (x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)=2(x+1)(y+1)(z+1) \\ \Leftrightarrow xy+yz+zx+2(x+y+z)+3=2xyz+2(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+2 \\ \Leftrightarrow 3=2xyz+xy+yz+zx \\ \Leftrightarrow xyz=\frac{5}{4} \end{matrix}$

Đến đây tương tự bài 164

p/s dạo này máy load Latex hơi lâu làm 1 thể như thế này cho nhanh

Đề đúng đó bạn ạ
96
Đặt $\sqrt[3]{7x+8}$=a  $\sqrt{\frac{7-2x}{6}}$=b
ta có hệ pt
$\left\{\begin{matrix}a+b=x \\ a^{3}-8=7x \\ 6b^{2}+2x^{2}=7 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=x-a \\ a^{3}-8=7.x \\ 6b^{2}+2x^{2}=7 \end{matrix}\right.$

Thay 7 ở pt thứ 3 vào pt thứ 2 thay b=x-a ta được hpt mới

$\left\{\begin{matrix}b=x-a \\ x.[2x^{2}+6(x-a)^{2}]=a^{3}-8 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-a=b \\ 8x^{3}-12x^{2}a+6a^{2}x-a^{3}=-8 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x-a)^{3}=-8 \\ x-a=b \end{matrix}\right.$
Từ đó suy ra 2x-a=-2
suy ra $2x+2=\sqrt[3]{7x+8}$

chào mọi người đây là bài tập tớ tổng hợp được từ topic.Tuy nhiên do thời gian có hạn nên chưa có lời giải và nhận xét của các anh,chị .Đây cũng là lần đầu tiên tớ làm cái này nên còn cần nhiều chỉnh sửa.Mong mọi người góp ý.

Dễ thấy nếu a không phải là số chính phương thì  $\sqrt{a}$ vô tỉ

Ta có sqrt{m^{2}+m+23}$ hữu tỉ

nên

$m^{2}+m+23=k^{2}(k\epsilon Z )$

$\Leftrightarrow 4m^{2}+4m+1+91=(2k)^{2}$

$\Leftrightarrow (2m+1)^{2}-(2k)^{2}=-91$

$\Leftrightarrow (2m-2k+1)(2m+2k+1)=-91$

Đến đây để rồi giải pt nghiệm nguyên

42.

c) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}=1  &  & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1  &  &  \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{y}=\sqrt{y+1}+\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$

$\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Dễ thấy
$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y}+1}< \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$
Suy ra x=y
Thay lại vào pt ban đầu dễ dàng tìm ra x,y

44) Tam giác $ABC$ có $\widehat{B}=60^o$; $BC=8cm$; $AB+AC=12cm$. Tính $AB$

kẻ đường cao AH ta có

$AB=2BH(\widehat{B}=60^{\circ})$

Dat BH =x suy ra AB=2x
CH=8-x

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có

$AB^{2}-BH^{2}=AH^{2}=CH^{2}-AC^{2}$
$\Leftrightarrow 4x^{2}-x^{2}=(12-2x)^{2}-(8-x)^{2}$

Đến đây giải phương trình bậc 2 ẩn x rồi nhân 2 tìm ra AB

 

38) Một xe máy đi từ $A$ đến $B$ trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm $14km/h$ thì đến sớm $2h$, nếu vận tốc giảm $4km/h$ thì đến muộn $1h$. Tính vận tốc và thời gian dự định.

Gọi vân tốc ban đầu của xe máy là x km/h (x>4)

Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường AB là y (h) (y>2)

Nên chiều dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu tăng vt thêm 14 km thì đến sớm 2h

Giảm vt đi 4 km thì đến muôn 1 h ta có hpt

$\left\{\begin{matrix}(x+14)(y-2)=xy & & \\ (x-4)(y+1)=xy & & \end{matrix}\right.$

Nhân ra ta triệt tiêu được xy giải hpt ta tìm đuợc x

45) Tìm $x$ biết $x^2+\frac{4x^2}{(x+2)^2}=5$

Ta có 
$x^{2}+\frac{4x^{2}}{(x+2)^{2}}=5$

$\Leftrightarrow (x-\frac{2x}{x+2})^{2}+2\frac{2x^{2}}{(x+2)^{2}}=5$

$\Leftrightarrow (\frac{2x^{2}}{x+2})^{2}-2\frac{2x^{2}}{x+2}=5$

Đặt $\frac{2x^{2}}{x+2}=a$

Thay lại giải pt bậc 2 rồi tìm ra x

Giải thích giúp mình ở phép nhân 7 với 13, đồng dư cũng nhân đc?

 

đoạn này mình làm tắt (mặc dù vẫn sai vì ) 7*13=91

$P_{13}=1(mod7)\Rightarrow P=7m+1$\

$P_{13}\equiv 1(mod13)\Rightarrow P_{13}=13n+1$

Nên 7m+1=13n+1

suy ra , chia hết 13

nên m=13k

Nên $P_{13}=91k+1$ (đoạn này bị lạc đề) 

vậy để mình chém thay cho

Đặt x-1=y

Đề bài chuyển hướng thành tìm m để pt có ít nhất 1 nghiệm không âm

mặt khác x-1=y nên x=y+1

Thay vào pt ta có

$(m+1)(y+1)^{2}-2(m+2)(y+1)+2(m+1)=0$

Phá ra thì đây đã là bài toán quen thuộc

14)
Làm tiếp

$(m+1)(y+1)^{2}-2(m+2)(y+1)+2(m+1)=0$

$\Leftrightarrow (m+1)y^2-2y+m-1=0$

Có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 0 thì tính sao. 

Chả có nhẽ $\Delta$ 4 trường hợp.

Chia làm 2 TH

TH1 Pt 1 có 2 nghiệm dương

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta _{y}\geq 0 & & \\ S\geq 0 & & \\ P\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2\geq m^{2} & & \\ 2> 0 & & \\ m^{2}-1\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{2}\geq m\geq 1 & & \\ \ -\sqrt{2}\leq m\leq -1 & & \end{matrix}\right.$

TH2 có 1 nghiệm âm 1 nghiệm dương

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta > 0 & & \\ m^{2}-1\leq 0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$

 

Bài tập:

$4/$ Cho tam giác $ABC$ cạnh $a;b;c$. $M\in AB; N\in AC$

Cmr:

a) $S_{ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}acsinB$

b) $\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}=\frac{AB.AC}{AM.AN}$

a,Kẻ đường cao BH ta có sin$\widehat{A}$=$\frac{BH}{AB}$

Mặt khác ta có S$\Delta$ABC=$\frac{BH.AC}{2}=\frac{HB}{AB}.\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}Sin\widehat{A}.bc$
tương tự ta có $S\Delta ABC=\frac{1}{2}Sin\widehat{A}.bc=\frac{1}{2}Sin\widehat{B}.ac=\frac{1}{2}Sin\widehat{C}.ab$

b,Áp dụng câu a ta có

$\frac{S\Delta ABC}{S\Delta AMN}=\frac{\frac{1}{2}Sin\widehat{A}.AB.AC}{\frac{1}{2}Sin\widehat{A}.AM.AN}=\frac{AB.AC}{AM.AN}$
(dpcm)

Bài tập:

$1/$ Cho hình thang $ABCD$ có $BC//AD$; $BC<AD$, kéo dài $AC$ về phía $C$ và lấy $P$ tùy ý. Gọi $K;L$ là trung điểm $BC;AD$. $PK\cap AB\equiv M$; $PL\cap CD\equiv N$

Cmr: $MN//BC$

 

 

Áp dụng định lý Menelauyt cho 2 tam giác CAD và tam giác ABC (có 2 cát tuyến PKM và PNL) ta có

$\frac{NC}{ND}\frac{LD}{LA}\frac{AP}{PC}=1$ (1)

và

$\frac{MB}{MA}\frac{AP}{PC}\frac{KC}{BK}=1$  (2)

K là trung điểm BC

L là trung điểm AD

$\frac{BK}{KC}=\frac{AL}{LD}=1$

Nên từ 1 và 2 ta có

$\frac{NC}{ND}\frac{AP}{PC}=1=\frac{MB}{MA}\frac{AP}{PC}\Rightarrow \frac{NC}{ND}=\frac{MB}{MA}$

nên ta có MN song song BC (dpcm)

p/s vẽ hình mệt thế

ok nhưng có thể sẽ khá lâu

Bài $2$: Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x^3(y^2+3y+3)=3y^2\\ y^3(z^2+3z+3)=3z^2\\ z^3(x^2+3x+3)=3x^2 \end{matrix}\right.$

TH1 $x=y=z=0$

TH2 $x,y,z\neq0$ 

Chia các pt lần lượt cho $x^{3}y^{2},y^{3}z^{2},z^{3}x^{2}$ ta được

$\left\{\begin{matrix}3(\frac{1}{x})^{3}=3(\frac{1}{y})^{3}+3(\frac{1}{y})+1 &  & \\ 3(\frac{1}{y})^{3}=3(\frac{1}{z})^{3}+3(\frac{1}{z})+1 &  & \\ 3(\frac{1}{z})^{3}=3(\frac{1}{x})^{3}+3(\frac{1}{x})+1 &  & \end{matrix}\right.$

Vậy $u=v=t=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt[3]{4}-1$

Bài $1$:

                      $1.$ Rút gọn biểu thức:

                                        $A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}$

 

Bài $1$

$(1)$ Rút gọn biểu thức:

                                        $A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}$

Ta có :

$\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}=\sqrt[6]{12-16\sqrt{6}+32}=\sqrt[6]{(2\sqrt{3}+4\sqrt{2})^{2}}=\sqrt[3]{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}$

Vậy $A=\sqrt[3]{(2\sqrt{3}-4\sqrt{2})(2\sqrt{3}+4\sqrt{2})}=\sqrt[3]{12-32}=-\sqrt[3]{20}$

---------------------------------------------------------

Spoiler

Lần sau làm nhớ trích lại đề cho dễ nhìn nhé  

9.(chưa đọc xong chuyên đề nhưng thôi thấy bài nào làm được thì làm )

$\sqrt{x^{2}-x+19}\doteq \sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+18\frac{3}{4}}$$\geq 18\frac{3}{4}$

$7x^{2}+8x+13=(2x-1)^{2}+3(x+2)^{2}\geq 3(x+2)^{2}$

$13x^{2}+17x+7= \frac{(2x-1)^{2}}{4}+\frac{3(4x+3)^{2}}{4}\geq 3\frac{(4x+3^{2})}{4}$

​Thay vào pt ban đầu ta có VP$\geq$ VT nen VT=VP $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Sorry làm sai nhé :v dạo này ngu quá

Quên mất bài này năm ngoái học rồi =((

tại sao để pt có nghiệm thì điều đó phải xảy ra ạ?

tại sao lại đạt t=$\frac{x}{y}$ vậy ạ

Em đọc thêm phần pt bậc 2 delta nhé 
Còn việc đặt như thế là 1 kĩ năng, để làm gọn lại thôi mà

 

 

Câu 1 (5,0 điểm)

       Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$$

Nhìn đề em thấy mỗi bài 1 quen quen chắc còn phải cố gắng nhiều     
C3:
Xét số
$\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{3-a^2}$
Ta cần chứng minh
$\frac{a}{3-a^{2}}\geq\frac{a^{2}}{2}$
Thật vậy ta có
$\frac{a}{3-a^2}\geq \frac{a^2}{2}\Leftrightarrow a^4+2a\geq 3a^2$ (đúng theo bđt AM-GM cho 3 bộ $a^4;a;a$)
Tương tự ta có đpcm

Bài 1

1,CMR

$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2014}}< 2\sqrt{2014}$
2,Tìm tất cả các số nghuyên x,y thoả mãn

$x^{3}-xy+2x+2y+1=0$

Bài 2

1,GPT
$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=3x-3+2\sqrt{2x^{2}-x}$

2,Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz$

Tìm $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$

Bài 3

Cho điểm A thuộc nửa đường tròn đường kính BC, H là hình chiếu của A lên BC.Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiệp ABH và ACH. Đườg thẳng IJ cắt AB AC tại E và F

1,CMR AEF là tam giác cân

2,CMR BIJC nội tiếp

3,Tìm vị trí điểm A để CV HIJ Max

Bài 4

Cho m,n là 2 số tự nhiên thoả mãn $3m^{2}+m=4n^{2}+n$
CMR $m-n$ và $4m+4n+1$ là SCP

Bài 5 (dễ nhất bài)
cho 3 số dương x,y,z.CMR

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$

Đề này làm full nhưng không kiểm tra bài kĩ sai béng rut gọn     

cho mình hỏi câu 3 bài hình làm kiểu gì bạn

Kéo dài đường kính AD nối DH rồi bạn cm I là trung điểm DH.vậy DHI thẳng hàng rồi lại CM DHK thẳng hàng từ đó có dpcm