Báo đã ra rồi ai có làm ơn post đề lên đi ạ. Cám ơn nhiều!

Mình làm thử nhé ^^

$x=0:f(y+f(y))=2y$ Suy ra $f$ là song ánh

 

Từ điều kiện ấy mới chỉ suy ra f là toàn ánh thôi bạn ạ> 

Nếu bạn chứng minh được f là đơn ánh thì bạn có thẻ chứng minh cụ thể ra được không? Mình đang bí chỗ này.

Hoặc là có  thể chứng minh 2x+f(x) nhận giá trị trên toàn $\mathbb{R}$ cũng được.

ta có$\left\{\begin{matrix} a+2b=c\\ a^{3}+8b^{3}=c^{2} \end{matrix}\right.$

           <=>$\left\{\begin{matrix} a+2b=c\\ \left ( a+2b \right )\left ( a^{2}-2ab+4b^{2} \right )=c^{2} \end{matrix}\right.$

               vì c>0  nên ta được         $a^{2}-2ab+4b^{2} =c$

                                              <=>   $a^{2}-2ab+4b^{2} =a+2b$

                      <=>$\left ( a-2b \right )^{2}+\left ( a-1 \right )^{2}+\left ( 2b-1 \right )^{2}=2=0^{2}+1^{2}+1^{2}$

                   khi đó  a=2  b=1    c=4

Còn nghiệm a=b=1; c=3 mà bạn.

Chứng minh $3\leq c\leq 4$ là tìm được.

 

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 

BÌNH ĐỊNH- NĂM 2013-2014

________________________________

 

Bài 4: Đường tròn nội tiếp $\Delta ABC (AB\ne AC)$, tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $FE$ cắt cạnh $AB$ tại $X$, giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và $ABC$ là $T$. Chứng minh rằng: $TX\perp TF$

 

Bạn có thể xem lại giúp mình đề bài hình không? Mình vẽ mà thấy TX chẳng vuông góc với TF. Cảm ơn.

Bài hình:

Câu a dễ thấy ngay theo cực và đối cực.

Câu b ta cũng có thể chứng minh  như sau:

Gọi R, S là trung điểm của AP, AQ thì RS là trục đẳng phương của (O) và đường tròn điểm (A,0).

Lại có $CA^{2}=CD.CB$ (tam giác đồng dạng) nên C thuộc RS

Cũng có I thuộc RS nên CI vuông góc với AO.

Bài hình V1: Thực ra d luôn đi qua điểm K đối xứng với trung điểm M của BC qua phân giác góc A. Bài này chính là mở rộng của bài toán chứng minh KD vuông góc với OI  (O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, D là tiếp điểm của (I) với BC)

Thực sự mình rất ấn tượng với 2 bài hình này.

Bài 1 có thể sử dụng định lý Pascal hoặc chỉ cần dùng tứ giác nội tiếp

Bạn có thể giới thiệu cách sử dụng định lí pascal được không? Thanks

Tiếp tục cho $x_1=x_2=...=x_n=x$ vào điều kiện 2 suy ra :

$$nf(x)\geq f(nx)\,\,\,\forall x\in [0;2013]\,\,\,n\in \mathbb{N}^{*}$$

$$\Rightarrow \frac{f(x)}{x}\geq \frac{f(xn)}{xn}$$

Cho $n=\left[\frac{2013}{x}\right]$ ta có $\frac{f(x)}{x}\geq \dfrac{f(2013)}{x.\left[\frac{2013}{x}\right]}$ ( Do $f$ không giảm và $x.\left[\frac{2013}{x}\right]\leq 2013$).

Cách làm của Đạt rất hay. Mình chỉ xin góp ý là Với mỗi $x\in (0;2013]$ xét $n= \left [ \frac{2013}{x} \right ]$ rồi mới cho $x_{1}= x_{2}= ...= x_{n}=x$ thay vào điều kiện (2) để đảm bảo $\sum_{i=1}^{n}x_{i}\leq 2013$

Ta tô màu các ô của hình chữ nhật 9 x 11 bằng hai màu đen và trắng sao cho trong một hình chữ nhật 2 x 3 (hoặc 3 x 2) bất kỳ đều chứa đúng hai ô được tô màu đen. Chứng minh rằng đó đúng 33 ô được tô đen.

 

Mình có một vài thắc mắc như sau:

1. Hình như số ô 2x3 và 3x2 của bảng phải là $10.7+9.8=142$

2. Nếu có tỉ lệ thức trên thì con số này (của bạn là 95) không có ý nghĩa. Tức là ta có ngay

    $\frac{a}{99}=\frac{2x}{6x}=\frac{1}{3}$(x là số ô 2x3 và 3x2)

    Tuy nhiên như vậy ta công nhận số lần lặp của các ô trong bảng băng số lần lặp của các ô đen ??? Mình tháy cứ mơ hồ thế nào ấy.

Mong bạn giải thích giúp mình. Thanks!

Ai có tài liệu hình học tổ hợp (cả tài liệu bằng tiếng Anh) chỉ cho mình với. Mình thấy tài liêu phần này không nhiều lắm. Cảm ơn.

Cảm ơn bạn. Nhưng mình muốn biết cách làm cho các dãy S(n,k)  cũng thuộc kiểu này. Mình nghĩ chắc phải có dạng chung.

Còn bài 2, $F_{n}$ là dãy Fibonaci.

"Bài toán1: k,n là các số nguyên dương thỏa mãn: S(1,k)=1; S(n,k)=S(n,k-1)+S(n-1,k). Chứng minh S(n,k)=$_{n+k-1}^{n-1}\textrm{C}$"

Mình muốn hỏi là nếu không dùng quy nạp thì từ cái hệ thức trên (giấu cái đpcm đi) có thể suy ra S(n,k) không? Cái này là ở bài toán chia kẹo Euler Trong nhiều bài tổ hợp khác giải theo truy hồi có mấy dạng kiểu này mà minh không biết sao ra CTTQ.

"Bài toán 2: Dãy $\left ( a_{n} \right )$ xác định bởi:$a_{1}= 0; a_{2}= 1; a_{n+2}= a_{n+1}+a_{n}+F_{n+1}$

Tìm CTTQ của $\left ( a_{n}\right )$."

Kết quả ra là $a_{n}=\frac{2nF_{n+1}-\left ( n+1 \right )F_{n}}{5}$ và cũng chứng minh quy nạp (TLGK chuyên toán 11-T270). Nhưng mình thắc mắc không bêt lấy đâu ra cái kết quả ấy mà chứng minh nhỉ?

Rất mong được giải đáp. Xin chân thành cẳm ơn.

Theo bạn WhjteShadow:

Sáng ngồi từ 6h30 đến 7h nghĩ ra bài 1 rồi mà phải đi học không kịp gõ H mới được về trình bày.
Bài 1.

+) Cm Nếu đề bài đúng với bộ $(k;n)$ thì cũng đúng với $(k+1;2n+1)$ :


\[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). \]
$$\Leftrightarrow 1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}-\frac{n+2^{k}-1}{n(2n+1)}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)$$

$$\Leftrightarrow 1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)+\frac{n+2^{k}-1}{n(2n+1)}$$
Mà :
$$\frac{n+2^{k}-1}{n(2n+1)}=\frac{1}{2n+1}.\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)$$
Suy ra :
$$1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)+\frac{1}{2n+1}.\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)$$
$$=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)$$
Chọn $m_{k+1}=2n+1$ ta cũng có ngay đpcm.
Vậy lời giải được hoàn tất (the0 nguyên lý quy nạp).

Cho mình hỏi phần tô đỏ: Hình như phải là:$\Leftrightarrow 1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}-\frac{2^{k}-1-n}{n\left ( 2n+1 \right )}=...$ mới đúng.
Nếu như vậy thì $m_{k+1}=2n+1$ không đúng.
Mình thấy:$(1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}):(1+\frac{2^{k}-1}{n})= \frac{2^{k+1}n+2n^{2}}{2^{k+1}n+2n^{2}+2^{k}-n-1}$ chưa chắc lớn hơn 1 nên khó có thể viết được $1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}=(1+\frac{2^{k}-1}{n})(1+\frac{1}{m_{k}})$ như thế.
Mong bạn xem lại hộ mình. Nếu mình sai sót, mong các bạn thông cảm.

Cho tam giác $ABC$. $O, J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp $\angle A$. $AD, BE, CF$ lần lượt là các đường phân giác. Chứng minh $OJ$ vuông góc với $EF$

Phương trình Markov mình mới thấy ở tài liệu của thầy Nam Dũng (phương pháp gen). Các bạn có thể cho mình xin thêm tài lệu về phần này được không? Mình tra google nhưng không thấy có. Cám ơn nhiều!

Bạn có thể giới thiệu qua các dạng phương trình này cho mình được không, hay là cho mình tên bài báo đó. Cảm ơn bạn nhiều!