a.PNG

 

Mình là thằng mặc áo lạnh, người còn lại là tuananh2000 (http://diendantoanho...51-tuananh2000/)

Mấy chú thấy em đẹp trai k?     

 

 1972427_1478427425706213_1253627581_n.jpg

bên trái là mình(NTP),bên phải là NRC

 1900093_273865279442113_1585978746_n.jpg

và trên là A-Q

 

                                                                                      NTP

Những anh thanh niên cứng của năm         

Bài 299 : $\sqrt{(x+2)(2x-1)}-3\sqrt{x+6}=4-\sqrt{(x+6)(2x-1)}+3\sqrt{x+2}$

Bài 300 : $(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3x}{2}-3$

Bài 208 (trích từ bạn minhminh98 ) , mình không nhớ ở topic này có chưa nhưng thấy khá khó :

 

 $\left\{\begin{matrix}x^2y+x^2+1=2x\sqrt{x^2y+2} & \\ y^3(x^6-1)+3y(x^2-2)+3y^2+4=0 & \end{matrix}\right.$

Mình làm thử bài này thì thấy gặp vấn đề là 

1) Ở dữ kiện đầu có cho $x^2y+x^2+1=2x\sqrt{x^2y+2}$ sau khi xét các TH sẽ được $y=\frac{x^{2}\pm 2x-1}{x^{2}}$

2) Ở dữ kiện sau ta có thể phân tích nhân tử  $y^3(x^6-1)+3y(x^2-2)+3y^2+4=0$ thành $(x^2y-y+1) (x^4y^2+x^2y^2-x^2 y+y^2-2 y+4) = 0$ nhưng vì $x^4y^2+x^2y^2-x^2 y+y^2-2 y+4=0$ có nghiệm khá xấu nên mình cũng chưa biết xử lí như thế nào @@!

ĐKXĐ: .....

Ta có pt (1) $\Leftrightarrow (5x^2+\frac{3}{2}x-3)-(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=0$

$\Leftrightarrow 2(2x^2-1)-(3x+1)\sqrt{2x^2-1}+x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

Đặt $\sqrt{2x^2-1}=a (a\geq 0)$ ta có:

$2a^2-(3x+1)a+x^2+\frac{3}{2}x-1=0$

$\Leftrightarrow (a-x+\frac{1}{2})(2a-x-2)=0$

Đến đây dễ rồi 

Từ dòng đỏ trên sao bạn có ý tưởng phân tích thành dòng đỏ dưới được vậy, mình vẫn chưa hiểu rõ cách suy luận của bài toán lắm 

chỗ này bạn biến đổi như thế nào thế???

cái lớn hơn hoặc bằng là bdt dạng cộng mẫu đó , còn ở dưới thì phải là (a+b+c)^2 mà         

Cho a,b,c >0 và a+b+c=3. CMR:

$\sum (a+b^2)\leq 13+abc$

Đề hình như nhầm nếu như vậy thì dễ quá 

$\sum (a+b^{2})=3+\sum a^{2}\leq 3+(\sum a)^{2}=12<13$

Bài 174:

Cho $abc=1$ và $a^3>36$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{3}+b^2+c^2> ab+bc+ca$

$\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca\Leftrightarrow a^{2}-3(ab+ac+bc-b^{2}-c^{2})> 0$ . Thật vậy, ta có $a^{2}-3(ab+ac+bc-b^{2}-c^{2})=\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}+3b^{2}+3c^{2}-3ab-3ac+6bc-9bc=3(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab-ac+2bc)+\frac{a^{2}}{4}-9bc=     3(\frac{a}{2}-b-c)^{2}+\frac{a^{3}-36abc}{4a}> 0(do abc=1 và a^{3}>36)$

Bài 222 : Giải phương trình nghiệm nguyên  $54x^{3}+1=y^{3}$

http://diendantoanho...54x31y3pt-no-z/

Sau bao cảm xúc dồn nén bấy lâu ,tối nay em up ngay hình "Gấu" của em

Spoiler

11219711_1492816341010230_8829147245020173718_n.jpg

Xinh vậy , mình thích điều này   

Bài 151(Romania TST): Cho a,b,c>0. CMR: nếu $a^2+b^2+c^2=3$ thì

$\sum \frac{1}{a^2+b^3+c^2}\leq 1$

 

Ta xét $\frac{1}{a^{2}+b^{3}+c^{2}}=\frac{1}{b^{3}-b^{2}+3}$

Ta cm$\frac{1}{b^{3}-b^{2}+3}\leq \frac{1}{3}+\frac{b^{2}-1}{18}$ hay $(b-1)^{2}\left [ \frac{b(6-b^{2})+3-b^{2})}{18(b^{3}+3-b^{2})} \right ]$

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì $b>0$ và $b^{2}\leq 3$

TT rồi cộng theo vế được $ĐPCM$

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c=1$

 

 

Bài 147 (Làm mạnh bài USAMO 2003). Cho ba số $a,\,b,\,c$ dương. Chứng minh rằng

\[\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \leqslant 9..\]
 

Chuẩn hóa $\sum a=3$

Ta có $\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{3a^{2}}{(\sum a)^{2}}=\frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}+\frac{3a^{2}}{9}$

Ta cm $\frac{(a+3)^{2}}{3a^{2}-6a+9}+\frac{3a^{2}}{9}\leq 3+2(a-1)$ hay $(a-1)^{2}(a-6)a\leq 0$ ( luôn đúng với $0\leq a\leq 3$)

Cộng các vế với nhau ta đc $ĐPCM$

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c>0$

Bài 165 (Mediterranean Mathematical Competition 2009).Chứng minh rằng với mọi  $a,b,c $ dương ta luôn có:

$$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}\leq \frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+c}+\frac{c}{2c+a}$$

Đặt $(a;b;c)=(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$ , đưa bđt cần cm thành

$\sum \frac{x^{2}}{x^{3}+x^{2}+1}\leq\sum \frac{x}{2x+1}$

Hay $\sum(x-1)^{2}(x+1)x\geq 0$  (đúng)

Vậy bất đẳng thức đc cm

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ 

Thế thì $abc=1$ à

Mình cũng chẳng biết @@

Bài 145(China TST): Cho a,b,c >0. CMR: nếu a+b+c=3

$\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\leq 1$

Ta xét $\frac{1}{a^{2}+b+c}=\frac{1}{a^{2}-a+3}$

Ta cm$\frac{1}{a^{2}-a+3}\leq \frac{1}{3}+\frac{a-1}{9}$ hay $\frac{(a-1)^{2}(a-3)}{a^{2}-a+3}\leq 0$ ( luôn đúng với $0\leq a\leq 3$)

TT với các hạng tử còn lại rồi cộng theo vế có $ĐPCM$

Dấu $'='$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 1.Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta đều có 

$A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)\vdots 91$

Bài  2.Tìm tất cả các cặp số nguyên p,q thỏa mãn phương trình sau:

 $5^{2p}+1997=5^{2p^2}+q^2$

Bài 1:$A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)=25^{n}+5^{n}-18^{n}-12^{n}=(25^{n}-18^{n})-(12^{n}-5^{n})$$=B(7)-B(7)$chia hết $7$.Lại có $A=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)=25^{n}+5^{n}-18^{n}-12^{n}=(25^{n}-12^{n})-(18^{n}-5^{n})$$=B(13)-B(13)$ chia hết $13$. Do $(13;7)=1$ nên có $A$ chia hết cho $13.7=91$

 

xác định hệ số

 

Xác định a, b, c, d biết P(1) = -2011; P(2) = -2084; P(3) = -2385; P(-1) = -2045. 

Cho mình hỏi có cách nào tính nhanh bài này ko

 

 

Theo mình bạn tính $a$ theo $P(1)+P(-1)$ rồi thay vào $P(2)$ và $P(3)$ nhé , có được $P(2)$ ; $P(3)$ và $P(1)$ là các phương trình 3 ẩn vào Casio giải bình thường nhé  

giải hệ ra ta được (a;b;c)=(0;0;1) và các giao hoán của nó => p=1

Bạn nêu rõ cách làm được không?   

thì a,b,c luôn $\leq$1 mà nếu 1 cái lớn hơn thì sẽ ko có pt 2

Bạn c/m điều đó thử nào ?  

áp dụng cái này có cần cm ko bạn ? mik thấy thầy hay bắt mik cm cái này

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9$ Cái này quá quen r`

mình nghĩ là thế này: trừ 2 vế ta được 

$a^{2012}(a^{2}-a)+b^{2012}(b^{2}-b)+c^{2012}(c^{2}-c)$=0

=>$\inline \left\{\begin{matrix} a^{2}-a=0\\ b^{2}-b=0\\ c^{2}-c=0 \end{matrix}\right.$

rồi => thôi

Lỡ $a^{2}-a< 0$ còn $b^{2}-b> 0$ thì sao bạn . Vẫn xảy ra trường hợp này mà

theo diricle ta có 2 cặp cùng dấu giả sử 2 cặp đầu cùng dấu

=> a^2-a và b^2-b cùng dấu

giả sử a^2-a>0=> a>1 hoặc a<0 th a>1 loại vì ko tm pt 2

tương tự ta có b<0

từ c^2-c<0=> 0<c<1 

=> a^2013 +b^2013+c^2013<1

p/s mình lười latex quá các bạn cứ biến < thành$\leq$là có thể tìm nghiệm của hệ luôn

Sao lại vậy nhỉ ?

Bài 7 : Xét rằng $A+B+C=\pi$ $\rightarrow A+B=\pi -C \Leftrightarrow tg(A+B)=tg(\pi -C)\Leftrightarrow \frac{tgA+tgB}{1-tgA.tgB}=-tgC \rightarrow$ $tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC$ ($ĐPCM$)

P/s: Bài trên áp dụng $tg(\pi -\alpha )=-tg\alpha$   

Bài 5: 

a) Gọi $CP\cap (O)=\left \{ F \right \}; NB \cap (O)=\left \{ G \right \}$

Ta có:$\widehat{GCA}=\widehat{GBA}$ (2 góc này nội tiếp và cùng chắn cung $AM$)

$\widehat{ACP}=\widehat{ABN}$ ( cặp góc có canh t/ ứ vuông góc)

Do đó , $\widehat{GCA}=\widehat{ACF}\rightarrow$ Cung $AG$ =Cung $AF$ nên $AK$ vuông góc $GF$

Xét $\bigtriangleup BMH$ ($H$ là trực tâm) có $CN$ vừa là đường cao vừa là phân giác nên là tam giác cân đỉnh $C$ . Từ đó có $N$ là trung điểm $GH$ . Cmtt thì $D$ là trung điểm của $HF$

$\rightarrow DN$ là đường trung bình của $\bigtriangleup GHF$ $\rightarrow NP$ song song với $GF$

Ta có $AK$ vuông góc với $GF$ mà $GF$ lại song song với $NP$ nên $AK$ cũng vuông góc $NP$ $(đpcm)

P/s : câu b) thì mình vẫn chưa nghĩ ra    , mấy bạn tự vẽ hình nhá   

4/

PT $\bar{abc}=(a+b)^2.c\Leftrightarrow \frac{10\bar{ab}}{(a+b)^2-1}=c$

Do đó: $\begin{bmatrix} a+b=1\\ a+b=9\\ a+b=11 \end{bmatrix}$

*) TH1: $a+b=1$ $\rightarrow a=1;b=0$ (kg thỏa mãn)

*) TH2: $a+b=9$.$VT=\frac{\bar{ab}}{8}\in N\Rightarrow \frac{a+1}{8}\in N\rightarrow a=7;b=2;c=9$

*) TH3: $a+b=11$. 

$VT=\frac{\bar{ab}}{12}\in N\rightarrow\frac{9a-1}{12}$ (Loại)

Vậy 729 là số cần tìm.

Cái phần trên đâu thỏa đkxd đâu mà xét nhỉ