Họ tên : Hoàng Thế Sơn

Nick trên diễn đàn ( nếu có ) : Hoangtheson2611

Năm sinh : 2001

Hòm thư : [email protected]

Dự thi cấp : THCS

1.  (n⁴-1)(n⁴+15n²+1) chia hết cho 35 với mọi n thuộc N và n không chia hết cho 35.

 2.   27ⁿ⁺¹-26n-27 chia hết cho 125 với n thuộc N  

Câu 2 sai với n=1

Tìm số tự nhiên n để n^{6}-4n^{3}-21 là số nguyên tố

$n^{6}-4n^{3}-21=(n^{3}-7)(n^{3}+3)$=> $n^{3}-7=1$ hoặc $n^{3}+3$=1=>  n=2

Cho em hỏi bài này đưa ra mọi người cùng thảo luận
Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không thể là số nguyên tố

Gọi 3 số nguyên tố lớn hơn 3 mà đề bài cho là : a;b;c
Do a;b;c >3 => a;b;c$\equiv 1;2(mod3)$
=>$a^{2};b^{2};c^{2}\equiv 1 (mod3) => a^{2}+b^{2}+c^{2} \vdots 3$
Mà a^{2}+b^{2}+c^{2} > 3 => không thể là số nguyên tố
=> đpcm

giải giúp mik bài này với:
Tìm giá trị tự nhiên của n để $n^{3}-n^{2}-7n+1$ là số nguyên tố

n=6

pq+11 là số nguyên tố lớn hơn 11 thì pq là số chẵn => p hoặc q là số chẵn hay p hoặc q = 2

Nếu p=2 thì 14 + q và 2q + 11 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q chia 3 dư khác 1 do 14 + q không chia hết cho 3 ; chia 3 dư khác 2 do 2q + 11 không chia hết cho 3 => q chia hết cho 3 => q=3

Tương tự với q=2 ta cũng có p=3

Vậy ( p ; q ) = ( 2 ; 3 ) ; ( 3 ; 2 )

Tìm số nguyên tố có 3 chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là số lập phương của một số tự nhiên.

Gọi số đó là $\overline{abc}$ ( a;b;c là các chữ số tự nhiên với a khác 0 )

Do $\overline{cba}$ là lập phương của 1 số tự nhiên và có 3 chữ số nên $\overline{cba}$ = 125;216;343;512;729

Thử ta thấy chỉ có 125 thỏa mãn số ngược lại là 521 là số nguyên tố nên số cần tìm là 521

Bài 1 : Cho a,b,c>0 ; a+b+c=1 . Tìm Max của $\sum \frac{a-bc}{a+bc}$

Bài 2 : Cho a,b,c>0 ; $\sum a^{2}+abc=4$ . CMR : $\sum \frac{bc}{a}\geqslant \sum a^{2}$

Tìm số tự nhiên n để $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{1}{2n(2n+2)}=\frac{14651}{19800}$

n=49 ạ

Câu 19 phần IV : 

 A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1= $(n^{2}+3n)(n^{2}+3n+2)+1 = (n^{2}+3n+1)^{2}$

=>đpcm

IV. CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ LẬP PHƯƠNG
 

$\fbox{31}.$ 1) Chứng minh rằng $19^{2n}+5^{n}+ 2000$ $( n \in N^*)$ không là số chính phương.

2) Chứng minh rằng số $n^7+34n+5$ $( n \in N^*)$ không là số chính phương.

 

1)Đặt  A=$19^{2n}+5^{n}+2000 = 361^{n}+5^{n}+2000\equiv 1+1+0 \equiv 2 (mod4)$

Vậy A không là số chính phương với mọi n là số tự nhiên khác 0

Bài 33: Số $2^{100}$ có bao nhiêu chữ số ? Tìm chữ số đầu tiên biên trái của số đó

Có 31 chữ số ; chữ số đầu tiên bên trái là 1

Câu 13 : 

1 số nguyên tố chia 12 chỉ dư 1;5;7;11 mà p và q là 2 số nguyên tố với p-q=2

=> Có 2 trường hợp :

         p chia 12 dư 7 ; q chia 12 dư 5

         p chia 12 dư 1 ; q chia 12 dư 11

=> p+q chia hết cho 12

Câu 20 :

   $a^{2}+5a = b^{2}=> 4a^{2}+20a= (2b)^{2}

   4a^{2}+20a+25=(2a+5)^{2} =>25=(b+2a+5)(b-(2a+5))$

Câu 9 : ( Phần số nguyên tố hợp số ) 

 Ta thấy x phải là số chẵn vì nếu x lẻ thì z chẵn => z=2 => x=y=1 ( loại )

=>x=2 do y là số nguyên tố nên z>3

Nếu y =2 => z=5 => chọn

Nếu y >2 => 2$^{y}$ chia 3 dư 2 => 2$^{y}+1\vdots 3$ => loại

Vậy (x;y;z)=(2;2;5)

Câu 2b : 

 $P=\sum \frac{x^{2}-4}{x}-\frac{4\sqrt{x-1}.x}{x}+\frac{4x}{x}=0 => P=\sum \frac{(x-2\sqrt{x-1})^{2}}{x}=0$

Từ đó suy ra được x=y=2

Câu 1a :

PT$\Leftrightarrow (\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5})(\sqrt{x-1}-2)=0$

=>x-4=x+5( vô nghiệm ) hoặc $\sqrt{x-1}$=2 => x-1=4=>x=5

Câu 8:

AB.AC=2

Giả sử : $\sqrt{2}(AB+AC)\geqslant BC+2 \Leftrightarrow 2(AB^{2}+AC^{2}+2.AB.AC)\geqslant BC^{2}+4.BC+4\Leftrightarrow BC^{2} + 4\geqslant 4.BC \Leftrightarrow (BC-2)^{2}\geqslant 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi BC=2 ; AB=AC=$\sqrt{2}$

Câu 1 : A=$\frac{2}{a-1}$

Câu 1c : 

$\sqrt{2(1+x)}+\sqrt{2(1+y)}=4=>\frac{2+1+x+2+1+y}{2}\geqslant 4 => x+y \geqslant 2 => x+y-2(\sqrt{x}+\sqrt{y})+2\geqslant 2-2.2+2=0=>(\sqrt{x}-1)^{2}+(\sqrt{y}-1)^{2}\geqslant 0$

Từ đó tìm được x=y=1

Câu 1a :

$S=\frac{\sqrt{3}-1}{(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}+...+\frac{\sqrt{9}-\sqrt{7}}{(\sqrt{9}+\sqrt{7})(\sqrt{9}-\sqrt{7})}=\frac{\sqrt{9}-1}{2}=1$

Câu 5 :

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a+3b $\geqslant 2\sqrt{3ab}=> 1\geqslant 2\sqrt{3ab}; 1\geqslant 12ab => ab\leqslant \frac{1}{12}$

=> Max P = $\frac{1}{12} \Leftrightarrow a=\frac{1}{2} ; b=\frac{1}{6}$

Có thấy điều kiện gì đâu bạn. bài đó cm với mọi n mà.

Bài 3:

Ta có: $4^{2n}-3^{2n}-7=16^{n}-9^{n}-7$

vì $9\equiv 1 (mod 8)\Leftrightarrow 9^{n}\equiv 1 (mod 8) \Leftrightarrow 9^{n}+7\equiv 0 (mod 8)\Leftrightarrow 16^{n}-9^{n}-7\equiv 0 (mod 8)$

$hay 4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 8$ (1)

mà $4^{2n}\equiv 1(mod 3)\Leftrightarrow 4^{2n}-7\equiv 0(mod 3)\Leftrightarrow 4^{2n}-3^{2n}-7\equiv 0(mod 3)
 hay 4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 3$ (2)

mặt khác $4^{2n}-3^{2n}\vdots (4+3)=7 \Leftrightarrow 4^{2n}-3^{2n}-7\vdots 7$ (3)

Từ (1),(2) và (3), kết hợp với (3;8;7)=1, suy ra $4^{2n}-3^{2n}-7\vdots (3.7.8)=168$ chỗ 

 chỗ 4^2n - 3^2n  để thành 16^n-9^n chia hết cho (16-9) có đúng không vì mình không hiểu chỗ 4^2n-3^2n chia hết cho (4+3) cho lắm

Bài 6 :

 Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

   Theo đề bài  $\overline{abc}$ chia hết cho 11 => $\overline{abc}$ chia hết cho 121 mà $\overline{abc}$ là số chính phương 

=> $\overline{abc}$ = 121 ; 484 nhưng 121 : 11 = 11 ; $1^{2}+1^{2}+2^{2}=6$ ; 484 : 11 = 44 ; $4^{2}+8^{2}+4^{2} \neq 44$

=> Không tìm được  $\overline{abc}$ thỏa mãn

Bài 5: số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn đề bài là 6

phải là 2 chứ

Câu 3b

19$x^{2}$ lẻ => $x^{2}$ lẻ =>  $x^{2}$  chia 4 dư 1 =>19$x^{2}$ chia 4 dư 3 =>$19x^{2}+28y^{2}$ chia 4 dư 3 hay 729 chia 4 dư 3 ( vô lý )

=> Không tìm được x;y