Mình cũng góp thêm mấy bài sử dụng Nguyên lí Đirrichle :

 

Bài 40 : Cho 1 đa giác đều 100 cạnh . Tại mỗi đỉnh của đa giác , viết 1 trong các số 1,2,3,...,49 .

            Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh A,B,C,D của đa giác mà AB=CD và a+b=c+d ( kí hiệu a,b,c,d là số được viết tương ứng tại 4 đỉnh A,B,C,D )

 

 

Long đẹp trai đã giải bài này tại http://diendantoanho...-hình-chữ-nhật/:3

Bài 5: Cho $5$ điểm nguyên trên hệ trục tọa độ $Oxy$. Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có $3$ đỉnh là $3$ điểm trong $5$ điểm đã cho có diện tích nguyên

Xét tam giác tạo thành từ 3 trong 5 điểm trên, chẳng hạn tam giác ABC có $S_{ABC}=\frac{1}{2}.|(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})-(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A}|$ (không biết nhớ có đúng k nữa :v)

Có 4 trường hợp (chẵn;lẻ) (chẵn chẵn) (lẻ lẻ) và (lẻ chẵn), do vậy tồn tại 2 điểm cùng tính chẵn lẻ, ví dụ là A,B trên đây luôn, =>đpcm :v

Spoiler

Ở trường, cô giáo vẫn đang dạy những phần đầu của đại số ( căn thức) mà cho mấy bài Dirichlet hại não quá. =)))) Cô hại trò cũng hại. Mình vẫn khao khát có bạn nào đó có thể cho mình một vài bài tương tự như trên (ngồi chế cũng được  )

BÀI 58:  Gỉa sử $A$ là một tập con của tập các số thực $\mathbb{R}$ thỏa: $A\supset \mathbb{Z}$ ; $\sqrt{2}+\sqrt{3}\epsilon A$, nếu $x,y\epsilon A$ thì $x+y$ và $xy$  $\epsilon A$. Chứng minh rằng $\sqrt{2}-\sqrt{3}\epsilon A$.

Ta có$\sqrt{2}+\sqrt{3}\in A=>(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2} \in A =>10-(5+2\sqrt{6}) \in A =>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} \in A =>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \in A (dpcm)$

Chứng minh nếu $2^{n}-1$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố

Do $(2^a-1)(1+2^a+2^2a+a^3a+...+2^{(b-1)a})=2^{ab}-1$

Giả sử $n$ không nguyên tố : $n=ab $ trong đó $1<a,b<n$ thì ta có $2^a-1$ là ước của $2^{ab}-1=2^{n}-1$ ,nên $2^{n}-1$ không nguyên tố ,vô lí .Nên $n$ phải là số nguyên tố

Bạn giải thích rõ phần này cho mình đc k = ))

giống $n^{a}-1=(n-1)(n^{a-1}+n^{a-2}+n^{a-3}+...+n^2+n+1)$ thôi

=)) bạn viết ở phần trên mình tưởng là $2^{2a}$ *nhìn nhầm* =))

Bài toán 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$M=5x^2+2y^2-2xy-4x+2y+3$
Lời giải:
$M=5x^2+2y^2-2xy-4x+2y+3$
$=(x-y)^2+(2x-1)^2+(y+1)^2+1$
$\Rightarrow M_{min} = 1 \Leftrightarrow x=y; x=0,5;y=1 $
______________________________________________________
Bạn xem lời giải đã đúng chưa

điều kiện xảy ra dấu bằng bị sai

Bạn chuyển $-\sqrt{6-x}$ qua vế phải, với $x=0$ thì hiển nhiên vô lý rồi vì $VT<0$ trong khi $VP \geq 0$

Mình không rành món casio này, nhưng hình như là khi bạn gán x thì xác định vị trí nghiệm tốt hơn

Em xin phép làm câu 1
Ta có PT $<=> xy(x+y+2)=1+(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=a$ và $xy=b$

$=>ab+2b=1+a^{2}$

Xét $a=-2=>0=5 (vô lý)$

Xét a khác -2, ta có $b=\frac{a^{2}+1}{a+2}=a+2-4+\frac{5}{a+2}=>a+2$ thuộc ước của 5

Với $a+2=5=>a=x+y=3;xy=b=2=>(x;y)=(1;2);(2;1)$

Với $a+2=1=>a=-1=x+y;b=xy=2=>vô nghiệm$

Với $a+2=-5=>a=-7=x+y;b=-10=xy=>vô nghiệm$

Với $a+2=-1=>a=-3=x+y;b=-10=xy=>(x;y)=(-5;2);(2;-5)$

$(a1^{2}+a2^{2}+...+an^{2})(b1^{2}+b2^{2}+...+bn^{2}) \geq (a1b1+a2b2+...+anbn)^{2}$ 

Bài 1)Tính chính xác 

$16594^{4}$

Bài 2)Tìm 2 chữ số tận cùng

$2^{70}$

Bài 3)Tìm số dư

a)$3^{2^{1992}}$ chia cho 11

b)$17^{17}$ khi chia cho $2003$

ta có $2^{20} \equiv 76 (mod 100)$

$=>2^{40} \equiv 76^{2} \equiv 76 (mod 100)$

$=>2^{60} \equiv 76.76 \equiv 76 (mod 100)$

ta có $2^{10} \equiv 24 (mod 100)$

$=>2^{70} \equiv 76.24 \equiv 24 (mod 100)$

Vậy 2 chữ số cần tìm là $24$

bài 1 kết quả:7575050702961

Em bấm bằng máy tính nó quy tròn đấy, nhận thấy số 4 tận cùng nên ắt kết quả có tận cùng phải là số chẵn = )
Bài này nửa sử dụng casio, nửa sử dụng giấy, dùng máy bấm sao cho không phải quy tròn, sau đó nhân tay = )

Có cách nào không cần nhân tay không vậy bạn

Không bạn à = ))
Hồi mình lớp 9 chém mấy cái bài dạng này bằng tay sau khi bấm máy tính ra thôi = ))
Nguyên do là máy nó làm tròn á bạn = ))

Bài 3:b/ Ta có $17^{5}\equiv1733 (mod2003)$

$17^{10} \equiv 1733.1733 \equiv 792 (mod 2003)$

$17^{7} \equiv 87 (mod 2003)$

$=>17^{17} \equiv 792.87 \equiv 802 (mod 2003)$

góc QAB=60 độ thì sao tam giác OAN đều được khi đó góc AON= 30 độ mà

QAB=30 bạn, chị trên gõ lộn á

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TS VÀO LỚP 10 THPT
ĐĂK LẮK NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi :TOÁN CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150p,không kể thời gian giao đề

Bài 1.(3 điểm)
1)Giải phương trình$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} +\sqrt{x-1}=3$
2)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} -\frac{8}{x^2y}=2& \\ \frac{y}{x}-\frac{8}{xy^2}=2& \end{matrix}\right.$
Bài 2.(2,0 điểm)
1) Tìm giá trị của m dương để phương trình $x^{3}-(m+1)x^2+(m+2)x-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ sao cho$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=3$
2) cho x,y là số thực tùy ý.Chứng minh rằng
$x^4+y^4+4x^2y^2\geq 3(x^3y+xy^3)$
Bài 3.(2,0 điểm)
1) Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Chứng minh rằng ước số chung lớn nhất của a và b không lớn hơn$\sqrt{a+b}$
2) Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $4^x +17=y^2$
Bài 4.(2,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O.Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn (O') đường kính AO.Trên (O') lấy điểm M ( khác A và O),tia OM cắt (O) tại N,gọi P là giao điểm thứ hai của AN với (O').
1) Chứng minh tam giác APM câm.
2) Đường thẳng AM cắt OP tại H.Đường tròn ngoại tiếp tam giác NOH căt (O) tại điểm thứ hai là Q.Chứng minh A,M,Q thẳng hàng.
3) Cho $\widehat{QAB}=60^0$. Chứng minh AQ=6HM
Bài 5.(1,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và $\widehat{A}=36^0$. Chứng minh$\frac{AB}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Chứng minh H là trực tâm và cũng là trọng tâm của tam giác OAN đều

=>$HM=\frac{1}{3}AM$

Ta có $\widehat{QOB}=60^0$

=>Tam giác QOB đều

=>$\widehat{QBO}=60^0=\widehat{NOA}$ (do ON và QB song song do cùng vuông góc với AQ)

=>$\widehat{NOA}=\widehat{NOQ}=60^0$

Xét tam giác QOA có phân giác ON cũng là trung tuyến

=>$AM=AQ$

Lại có $3HM=AM$

=>$AQ=6HM$

Câu 1. (3 điểm)

1. Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức:$$A=\left ( 5x^{5}-15x^{4}+14x^{3}-12x^{2}-3x+2 \right )^{2}+2014$$

2. Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2. (4 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $6x^{2}+5y^{2}+z^{2}+2yz-4xz-34=0$.

2. Cho $2014$ số tự nhiên đôi một khác nhau sao và nhỏ hơn $4026$. Chứng minh tồn tại ba số trong $2014$ số đó mà một số bằng tổng hai số kia.

3. Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$A=\dfrac{\left ( b+c-a \right )^{3}}{2a}+\dfrac{\left ( c+a-b \right )^{3}}{2b}+\dfrac{\left ( a+b-c \right )^{3}}{2c}$$

 

Câu 3. (1,5 điểm)

Cho hình vuông $MNPQ$ và điểm $A$ nằm trong tam giác $MNP$ sao cho $AM^{2}=AP^{2}+2AN^{2}$. Tính $\widehat{PAN}$.

 

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho đưòng tròn $\left ( O \right )$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Từ điểm $D$ trên cung $AB$ không chứa $C$ ($D$ khác $A$ và $B$) hạ các đuờng vuông góc đến các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{DM}=\dfrac{BC}{DN}+\dfrac{CA}{DP}$.

Đặt b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z

=>x+y+z=3
Ta có A=$\frac{b+c-a}{2a}+\frac{c+a-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}$

= $\frac{x^{4}}{xy+xz}+\frac{y^{4}}{xy+yz}+\frac{z^{4}}{xz+yz}$

$\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(xy+yz+xz)}$

Ta có $2(xy+yz+xz) \leq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

=>$A\geq \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Mà ta có $3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geq (x+y+z)^{2}=9$
=>$A\geq\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$
Vậy GTNN của $A=\frac{3}{2}$ <=>a=b=c=1

Tổng quát: Với tập hợp X gồm n phần tử:
Giả sử $A_{1},A_{2}$ là 2 tập hợp thỏa mãn đề bài

Nhận thấy mối phần tử x của X có 3 khả năng, 1 thuộc $A_{1}$, 2 là thuộc $A_{2}$ và 3 là không thuộc tập nào cả;ứng với 3 khả năng đó thì có 3 cách sắp phần tử thứ 2 của X...như vậy thì phần tử thứ n cũng có 3 khả năng như vậy để được $3^{n}$ cặp thỏa mãn, tuy nhiên các cắp trên đếm lặp 2 lần và có 1 tập rỗng, do vậy ta có công thức tổng quát giải quyết bài toán trên là $\frac{3^{n}-1}{2}+1=\frac{3^{n}+1}{2}$

Bạn xem lại phần này được ko

Hình như kết quả bài toán chỉ có 511 cách thôi bạn à 

Bạn có lời giải dẫn ra đáp số đó không post lên giúp mình với = )

Bài toán trên trừ đi 1 tập rỗng và A có 10 phần tử, vậy theo công thức => có 29524 cách

BĐT cần CM $$<=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
 

BĐT trên đúng khi ta chứng minh được $12abc+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Đến đây phân tách ra dễ thấy $đpcm$

http://diendan.hocma...ad.php?t=534485ở đây em ơi :v

http://diendan.hocma...ad.php?t=409081:v

Uây các bạn chém gió xuyên màn đêm luôn à :v

Chứng minh công thức tính số tập con có k phần tử của tập hợp có n phần tử $(1\leq k\leq n)$

http://voer.edu.vn/c...a0fb4b/1aed9371tổng hợp cách chứng minh tổ hợp và chỉnh hợp nè bạn = )