Cho $a,b\in N\ast$ thoả $(\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b})\in N\ast$. Gọi d là ước chung của a và b. CMR : $d\leq \sqrt{a+b}$

Từ $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in \mathbb{N}^*$ suy ra $a+b\vdots ab$, dẫn đến $a+b\geq ab$.

Mặt khác do $d$ là ước chung của $a,b$ nên $ab\geq d^2$.

Do đó: $a+b\geq d^2\Rightarrow \sqrt{a+b}\geq d(\text{đpcm})$

Cho $a,b,c>0$ thoả $a+b+c=1$. Tìm GTNN của $F=14(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Ta có: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+a^2b+ab^2)+(b^3+b^2c+bc^2)+(c^3+c^2a+ca^2)\geq 3a^2b+3b^2c+3c^2a\text{ (}AM-GM)\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$

Do đó:

$$A=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)}=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{3}{2}=[\frac{27(a^2+b^2+c^2)}{2}+\frac{3}{2(a^2+b^2+c^2)}]+\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-\frac{3}{2}\geq 9+\frac{1}{6}-\frac{3}{2}=\frac{23}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}.$

Cho $x,y,z>0$ thoả $xy+yz+zx=1$. CMR : $\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{3}{2}$

Có: $$\sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{xy+yz+zx+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{z+x})=\frac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Chỗ màu đỏ đã sai, phải là căn bậc $4$ mới đúng

Hì! Nhầm! Em sử rồi đó!

Mình cũng đã học đâu,đọc tài liệu thì biết thôi!

Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $xyz=1$

Tìm max $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}$

Ô! Bài này là đề thi GV giỏi trường em! Em làm thế này ko biết đúng không ?

Dễ chứng minh : $x^5+y^5\geq xy(x^3+y^3)$ và $x^3+y^3\geq xy(x+y)$

Áp dụng BĐT trên vào ta được:

$A\leq \sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3)+ab}=\sum \frac{abc}{abc(a^3+b^3)+abc}= \sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum \frac{c}{abc(a+b)+c}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

biết xyzt=1 và x,y,z,t>0. cm: $\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3}$

Áp dụng BĐT schwarz, Cauchy có:

$\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}= \frac{\frac{1}{x^2}}{x(zy+zt+yt)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y(xz+zt+xt)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z(xy+yt+xt)}+\frac{\frac{1}{t^2}}{t(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{(xyz+xzt+xyt+yzt)^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{xyz+xzt+xyt+yzt}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{(xyzt)^3}}{3}=\frac{4}{3}$

$B=xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$

Dấu "=" xảy ra $\left\{\begin{matrix} x=y=z & & \\ x+y+z=3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1$

Chỗ $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$ hình như ngược dấu thì phải!

Tìm min $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}$ biết a,b,c >9

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz, ta có:

 $\sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-9}$

Đặt $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=x\Rightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{b}-3}\geq \frac{x^2}{x-9}$

Đặt $\frac{x^2}{x-9}=A\Rightarrow x^2-Ax+9A=0$. Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$

Vậy $min=36\Leftrightarrow a=b=c=36$

Hoặc tới chỗ đấy không cần đặt A, tách rồi cô si luôn

Cách đấy thế nào vậy?

 

Bài 4:Cho x,y,z là các số thực dương.Cmr:

$\sum \frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}\geq 1$

                  _THE END_

Bài này có một lời giải bằng $Cauchy-schwarz$ rất đẹp:

$$\sum \frac{1+yz+zx}{(1+x+y)^2}=\sum \frac{[1+z(x+y)](1+\frac{x+y}{z})}{(1+x+y)^2(1+\frac{x+y}{z})}\geq \sum \frac{(1+x+y)^2}{(1+x+y)^2.\frac{x+y+z}{z}}=\sum \frac{z}{x+y+z}=1.$$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z=1$.

Góp vui một câu  :

Cho $a;b;c$ là số đo ba cạnh của một tam gác có chu vi là $2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2+c^2+2abc$

Áp dụng BĐT $abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$, ta có:

$$abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)=-8abc+8(ab+bc+ca)-8(a+b+c)+8\Rightarrow 2abc\geq \frac{16(ab+bc+ca)-16(a+b+c)+16}{9}=\frac{16}{9}(ab+bc+ca)-\frac{16}{9}$$

Do đó:

$$a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ca)-\frac{16}{9}=(a+b+c)^2-\frac{2(ab+bc+ca)}{9}-\frac{16}{9}\geq (a+b+c)^2-\frac{2(a+b+c)^2}{27}-\frac{16}{9}=\frac{52}{27}$$

Tìm min của: $\frac{a^{2}+b^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Với a$\neq$b ,a,b>0

http://diendantoanho...b2fracabfracba/

Để PT có nghiệm thì $\Delta =A^2-36A\geq 0\Leftrightarrow A(A-36)\geq 0\Leftrightarrow A\geq 36$ 

A=0 thì pt vx có nghiệm kép nên chưa thể suy ra A>=36 đc

$x,y,z>9$ thì $A$ luôn $>0$ mà!

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTLN $B=xy+yz+xz$

có ai bit về phương pháp u.c.t  trong cm bất đẳng thức k ?  bày vs

Tài liệu này cũng khá hay:

 Phương pháp UCT- CM BĐT.zip   537.51K   254 Số lần tải

ý tưởng xuất phát từ đâu vậy ban?

A = x² + y² + $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ + 4

2A   = 2(  x² + y² ) +  $\frac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2}.y^{2}}$ + 8 

 x + y = 1 => 2(  x² + y² ) $\geq$ 1

                và 1/4  $\geq$  xy => $\frac{2(x^{2} + y^{2})}{x^{2}.y^{2}}$  $\geq$ 16 => 2A  $\geq$  25 => A  $\geq$  12,5

  Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x = y = 1/2

phải là $2A\geq 1+16+8=25\Rightarrow A\geq \frac{25}{2}$ chứ?

Cho x,y thỏa mãn $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4$ (x khác 0)

Tìm min xy.

Áp dụng AM-GM ta có:

$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$

=$\frac{\left [(x+y)+(\frac{x+y}{xy})\right]^{2}}{2}$

Mà $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 4\Rightarrow \frac{x+y}{xy}\geq 4$(vì x+y=1)

Do đó A=$(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}\leq \frac{\left [ (x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y}) \right ]^{2}}{2}$=$\frac{(1+4)^{2}}{4}$=$\frac{25}{2}$

Vậy MinA=$\frac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

bạn nhầm dấu rồi, phải là $\geq$ chứ!

bạn có thể xem tại http://diendantoanho...1y2geq-frac252/

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR b+c$\geq$ 16abc

Ta có:

VT=$\sum \frac{\frac{1}{x^2}}{x(y+z)}\geq \frac{(\sum \frac{1}{x})^2}{2\sum xy}=\frac{\sum \frac{1}{x}}{2}\geq \frac{3\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}{2}=\frac{3}{2}(dpcm)$

$(a^3+b^3)(a+b)=(a^5+b^5)(a+b)$\geq \left ( a^{3} \right+b^{3} )^{2}\Rightarrow a+b\geq a^{3}+b^{3}\Rightarrow 1\geq a^{2}-ab+b^{2}\Rightarrow 1+ab\geq a^{2}+b^{2}$  (đpcm)

Cho a,b là các số dương thỏa mãn: $a^3+b^3=a^5+b^5$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2\leq 1+ab$

Biết x,y dương và  $x+y+z =4$ chứng minh $x+y \geq xyz$

Áp dụng bđt $(a+b)^2\geq 4ab$

$16(x+y)=(x+y+z)^2(x+y)\geq 4(x+y)z(x+y)=4z(x+y)^2\geq 16xyz\Rightarrow x+y\geq xyz$ (đpcm)

$xyz=1\Rightarrow x+y+y^{3}z=x+y+\frac{y^{2}}{x}=\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x+y+y^{3}z}=\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$

Dễ có $(x+y+z)^{2}\geq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\Rightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}\geq \frac{x+y+z}{3}$

          $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$(do xyz=1)                

Khi đó bđt cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}$$\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}\geq \frac{x+y+z}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{3}=1$

Vậy ta có đpcm

Chỗ màu xanh nhầm dấu anh ơi!

cmr 1/5+1/15+1/25+...+1/1985<9/20