$x^{2}+y^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{z^{2}}{x^{2}+1}\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\;\boxed1\\\Leftrightarrow\frac{z^2}{x^2+1}\leq z^2\\\Leftrightarrow x^2+1\geq1\\\Leftrightarrow x^2\geq0\;\boxed2$

Dấu đẳng thức xảy ra ở $\boxed1$ khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra ở $\boxed2\Leftrightarrow x=0$

Anh giải thích rõ giúp em chỗ này với ạ

Bạn biến đổi hơi sai một ít, chỗ $\frac{z^{2}}{x^{2}+1}\leq z^{2}$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} z=0 & \\ x=0 & \end{matrix}\right.$

Khi tử đã bằng $0$ thì đánh giá mẫu như thế nào cũng được

$2)$ Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$$M = \frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}+\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}$$

Chỉ biết chém mỗi câu này 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x= \max\left \{ x,y,z \right \}$

Ta có: 

$M\leq x^{2}+y^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{z^{2}}{x^{2}+1}\\\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\\\leq x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\\=2x^{2}-2x+3+\frac{1}{x^{2}+1}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:   $2x^{2}-2x+3+\frac{1}{x^{2}+1}\leq \frac{7}{2}$         $\left ( * \right )$

Thật vậy, BĐT trên tương đương với:

$4x^{4}-4x^{3}+3x^{2}-4x+1\leq 0\\\Leftrightarrow \left ( 4x^{3}+3x-1 \right )\left ( x-1 \right )\leq 0$

Vì $x= \max\left \{ x,y,z \right \}$ nên $x\in \left [ \frac{1}{3};1 \right ]$, do đó:

$\left\{\begin{matrix} 4x^{3}+3x-1\geq 0 & \\ x-1\leq 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left ( * \right )$ luôn đúng

Vậy $\max M=\frac{7}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=0 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị

Với x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm GTNN của $P=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2}$

Theo $AM-GM$, ta có:

$P\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{1+x^{2}y^{2}}=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}\\=2\sqrt{\left ( xy+\frac{1}{16xy} \right )+\frac{15}{16xy}}\\\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4\left ( x+y \right )^{2}}}\\\geq \sqrt{17}$

Vậy $\min P=\sqrt{17}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Cho $x,y,z\in\left[1;9\right]$ và $x\geq y; x\geq z$

Tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=\frac{y}{10y-x}+\frac{1}{2}(\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z})$

$P=\frac{1}{10-\frac{x}{y}}+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}} \right )\\\geq \frac{1}{10-\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$

Đặt $\sqrt{\frac{x}{y}}=t\Rightarrow t\in \left [ 1;3 \right ]$

Khi đó: $P\geq f\left ( t \right )=\frac{1}{10-t^{2}}+\frac{1}{1+t}$

Đến đây khảo sát hàm $f\left ( t \right )$ là ra

1)Cho $a, b, c >0$. Tìm min $ P=\sum \frac{a}{b^3+ab}-\frac{3}{2}\sqrt{\sum \frac{3}{a}}$

2)Cho $a, b, c >0$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm max $P=\sum \frac{1+a}{1+b}-\frac{(a+b+c)^2}{6}$

Bài 1.

Ta có: $\sum \frac{a}{b^{3}+ab}=\sum \frac{a+b^{2}-b^{2}}{b\left ( a+b^{2} \right )}\\=\sum \frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^{2}}\geq \sum \frac{1}{b}-\frac{b}{2b\sqrt{a}}=\sum \left ( \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}} \right )\\\geq \sum \left [ \frac{1}{b}-\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+1 \right ) \right ]=\frac{3}{4}\sum \frac{1}{a}-\frac{3}{4}$

Vậy: $P\geq \frac{3}{4}\sum \frac{1}{a}-\frac{3}{2}\sqrt{\sum\frac{3}{a}}-\frac{3}{4}$

Đặt $\sqrt{\sum \frac{3}{a}}=t$, ta có:

$P\geq \frac{t^{2}}{4}-\frac{3}{2}t-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\left ( t-3 \right )^{2}-3\geq -3$

Vậy $\min P=-3\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 2.

Ta có: $P=\sum \frac{1+a}{1+b}-\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{6}\\= \frac{3+\left ( a+b+c \right )^{2}+3\left ( a+b+c \right )+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{a+b+c+ab+bc+ca+2}-\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{6}$

Ta sẽ chứng minh bổ đề sau: 

Với $a,b,c> 0$ thỏa mãn $abc=1$ thì: $a+b+c\leq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$. Thật vậy:

Do $abc=1$ nên tồn tại các số thực dương $x,y,z$ sao cho:

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{y}=a & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ \dfrac{y}{z}=b & & & & & \\ & & & & & \\ \dfrac{z}{x}=c & & & & & \end{matrix}\right.$

Vậy bài toán trở về chứng minh: $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

Theo $AM-GM$, ta có:

• $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}\geq \frac{3y}{z}$
• $\frac{yz}{x^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}\geq \frac{3z}{x}$
• $\frac{zx}{y^{2}}+\frac{zx}{y^{2}}+\frac{xy}{z^{2}}\geq \frac{3x}{y}$

Cộng từng vế ba BĐT trên ta có điều phải chứng minh.

Áp dụng bổ đề trên, ta có:

$P\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+2\left ( a+b+c \right )+\sum a^{2}b+\sum ab^{2}+3abc}{a+b+c+ab+bc+ca+2}-\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{6}\\=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+2\left ( a+b+c \right )+\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}{a+b+c+ab+bc+ca+2}-\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{6}\\=a+b+c-\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{6}=-\frac{1}{6}\left ( a+b+c-3 \right )^{2}+\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}$

Vậy $\max P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$

1_Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$M= \frac{1}{2a+1} +\frac{1}{2b+1} +\frac{2}{(2c+1)\sqrt{6c+3}}$

2_Cho ba số thực không âm a,b,c có tổng bằng 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

M= (a-b)(b-c)(c-a)

Lời giải bạn nhờ mình, xin lỗi đã phản hồi hơi lâu ( onl FB nhiều quá ) 

Bài 1:

Ta sẽ chứng minh bài toán phụ sau: Với $abc=1$ thì: $\sum \frac{1}{2a+1}\geq 1$, thật vậy:

Ta có: $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1\\\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$ 

BĐT trên luôn đúng do $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

Vậy:

$M\geq 1-\frac{1}{2c+1}+\frac{2}{\left ( 2c+1 \right )\sqrt{6c+3}}$

Đặt $t=\frac{1}{\sqrt{6c+3}}$, ta có: $M\geq 1-t^{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}.t^{3}$

Ta sẽ chứng minh $\min M=\frac{8}{9}$.

Khi đó ta chỉ cần chứng minh: $\frac{2}{\sqrt{3}}t^{3}-t^{2}+1\geq \frac{8}{9}\\\Leftrightarrow 6t^{3}-3\sqrt{3}t^{2}-5t\sqrt{3}\geq 0\\\Leftrightarrow \left ( 6t+\sqrt{3} \right )\left ( t\sqrt{3}-1 \right )^{2}\geq 0$

BĐT cuối đúng, vậy $\min M=\frac{8}{9}\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 2:

Ta có: $\left | M \right |=\left | \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right ) \right |$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$, ta có: 

$\left | M \right |=\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( a-c \right )\leq ab\left ( a-b \right )\\=\left ( \sqrt{3}-1 \right )a.\left ( \sqrt{3}+1 \right )b.\left ( a-b \right ).\frac{1}{2}\\\leq \frac{1}{54}\left ( a\sqrt{3}+b\sqrt{3} \right )^{3}=\frac{\sqrt{3}}{18}\\\Rightarrow -\frac{\sqrt{3}}{18}\leq M\leq \frac{\sqrt{3}}{18}$

Vậy 

• $\min M=-\frac{\sqrt{3}}{18}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{3+\sqrt{3}}{6} & & \\ b=\frac{3-\sqrt{3}}{6} & & \\ c=0 & & \end{matrix}\right.$ 
• $\max M=\frac{\sqrt{3}}{18}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{3-\sqrt{3}}{6} & & \\ b=\frac{3+\sqrt{3}}{6} & & \\ c=0 & & \end{matrix}\right.$

Tiếp theo:

Bài 31: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$. Tìm GTNN của biểu thức:

$B=\frac{bc}{a(b+2c)}+2[\frac{ac}{b(a+c)}+\frac{ab}{c(2a+b)}]$.

Bài 32: Cho $3$ số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $3xy+yz+2zx=6$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{1}{x^2+1}+\frac{4}{y^2+4}+\frac{3z}{9+z^2}$

Bài 31:

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2a=x & & \\ b=y & & \\ 2c=z & & \end{matrix}\right.$, giả thiết trở thành: 

$\frac{2x}{y}\left (1+\frac{z}{y} \right )+\frac{2y}{x}\left ( 1+\frac{z}{x} \right )=6\\\Rightarrow 3x^{2}y^{2}= x^{3}y+xy^{3}+z\left ( x^{3}+y^{3} \right )\geq 2x^{2}y^{2}+xy\left ( x+y \right )z\\\Rightarrow xy\geq z\left ( x+y \right )$

Khi đó:

$B=\frac{xz}{y\left ( x+z \right )}+\frac{yz}{x\left ( y+z \right )}+\frac{2xy}{z\left ( x+y \right )}\\\geq z.\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{xy\left ( x+y+2z \right )}+\frac{2}{3}.\frac{xy}{z\left ( x+y \right )}+\frac{4}{3}.\frac{xy}{z\left ( x+y \right )}\\\geq 2\sqrt{\frac{2}{3}.\frac{x+y}{x+y+2z}}+\frac{4}{3}.\frac{z\left ( x+y \right )}{z\left ( x+y \right )}\\=2\sqrt{\frac{2}{3}.\frac{1}{1+2.\frac{z}{x+y}}}+\frac{4}{3}$

Vì $xy\geq z\left ( x+y \right )\Rightarrow z\left ( x+y \right )\leq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}\Rightarrow \frac{x+y}{z}\geq 4$

Vậy:

$B\geq 2\sqrt{\frac{2}{3}.\frac{1}{1+2.\frac{z}{x+y}}}+\frac{4}{3}\geq \frac{8}{3}$

Bài 32:

Từ giả thiết, ta có: $x.\frac{y}{2}+\frac{y}{2}.\frac{z}{3}+\frac{z}{3}.x=1$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\tan\frac{A}{2} & & \\ \frac{y}{2}=\tan\frac{B}{2} & & \\ \frac{z}{3}=\tan\frac{C}{2} & & \end{matrix}\right.$ với $A,B,C$ là ba góc của một tam giác. Ta có:

$P=\frac{1}{1+\tan^{2}\frac{A}{2}}+\frac{4}{4+4\tan^{2}\frac{B}{2}}+\frac{9\tan^{2}\frac{C}{2}}{9+9\tan^{2}\frac{C}{2}}\\=\cos^{2}\frac{A}{2}+\cos^{2}\frac{B}{2}+\sin^{2}\frac{C}{2}\\=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left ( \cos A+\cos B-\cos C \right )\\=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left [ 2\cos\left ( \frac{A+B}{2} \right ).\cos \left ( \frac{A-B}{2} \right )-\cos C \right ]\\\leq \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left ( 2\cos \frac{A+B}{2}-\cos C \right )\\=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left ( 2\cos \frac{C}{2}-2\cos^{2}\frac{C}{2}+1 \right )\leq \frac{9}{4}$

Vậy $\max P=\frac{9}{4}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^2(b+1)}{b(a^2+ab+b^2)}\ge \frac{6}{a+b+c}$

Ta có:

$VT=\sum \left ( 1+\frac{1}{b} \right )\left [ 1-\frac{b\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}} \right ]\\\geq \sum \left ( 1+\frac{1}{b} \right )\left [ 1-\frac{4}{3}.\frac{b}{a+b} \right ]\\=3-\frac{4}{3}\sum \frac{b}{a+b}-\frac{4}{3}\sum \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\geq \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}+\frac{4}{3}\sum \frac{a}{a+b}-1\\\geq \frac{4}{3}\sum \frac{a}{a+b}\\\geq \frac{4}{\sqrt[3]{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}}\geq \frac{6}{a+b+c}=VP\rightarrow Q.E.D$

Bài toán được chứng minh $\blacksquare$

Cho ba số dương a, b, c. CMR:
$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\geq 3\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Theo BĐT $AM-GM$, ta có:

$VT=\sum \frac{2a}{\sqrt{2a\left ( a+b \right )}}\geq \sum \frac{4a}{3a+b}\geq \frac{4\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )+ab+bc+ca}\\= \frac{4\left [ 1+\dfrac{2\left ( ab+bc+ca \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right ]}{3+\dfrac{\left ( ab+bc+ca \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Đặt $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=t$, ta cần chứng minh:

$\frac{4\left ( 1+2t^{2} \right )}{3+t^{2}}\geq 3t$ với $t\in \left ( 0;1 \right ]$

Thật vậy, BĐT tương đương với: $\left ( t-1 \right )\left ( 3t^{2}-5t+4 \right )\leq 0$

BĐT trên luôn đúng do $\left\{\begin{matrix} t\leq 1 & \\ 3t^{2}-5t+4> 0 & \end{matrix}\right.$

Bài toán được chứng minh $\blacksquare$

Bài 24: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $bc\le a^2$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}+\sqrt{\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}}$.

Bài 24 hình như có vấn đề rồi anh ơi.

Vì $bc\leq a^{2}$ nên ta có thể lấy $a$ lớn tùy ý. Khi cho $a\rightarrow +\infty$ thì 

$\frac{b^{2}}{ac}\rightarrow 0;\frac{c^{2}}{ab}\rightarrow 0;\frac{b}{c+a}\rightarrow 0;\frac{c}{a+b}\rightarrow 0\\\Rightarrow P\rightarrow 0$ tức là lấy $a$ càng lớn $b,c$ giữ nguyên thì $P$ càng nhỏ và dần đến $0$.

Chẳng hạn, lấy $a=10^{9};b=1;c=1$ thì ta có: $P= 0,000044723\approx 0$

Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=\frac{2a-b}{a\left ( 2a+b \right )}+\frac{2b-c}{b\left ( 2b+c \right )}+\frac{2c-a}{c\left ( 2c+a \right )}-2abc-2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$$

Bài tự chế

và không dễ 

Tiếp theo:

Bài 21: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c\ge 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$S=\frac{a^3}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}+\frac{b^3}{\sqrt{bc}+2\sqrt{1+a\sqrt{a}}}+\frac{c^3}{\sqrt{ca}+2\sqrt{1+b\sqrt{b}}}$.

Theo BĐT $AM-GM$, ta có:

• $2\sqrt{1+c\sqrt{c}}=2\sqrt{\left ( \sqrt{c}+1 \right )\left ( c-\sqrt{c}+1 \right )}\leq c+2$
• $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$

Vậy:

$\sum \frac{a^{3}}{\sqrt{ab}+2\sqrt{1+c\sqrt{c}}}\geq \sum \frac{a^{3}}{\frac{a+b}{2}+c+2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{6\left ( a+b+c+3 \right )}$

Đặt $a+b+c=t$, khảo sát hàm số $f\left ( t \right )=\frac{t^{3}}{6\left ( t+3 \right )}$ trên $\left [12;+\infty \right )$ ta được:

$S\geq f\left ( t \right )\geq f\left ( 12 \right )=\frac{96}{5}$

Vậy $\min S=\frac{96}{5}\Leftrightarrow a=b=c=4$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng:

$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^2+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^2+ab}}\leqslant \frac{3}{abc}$$

 

Bài này hay!! 

Em xin chém một tí.

Theo BĐT $Buniakovsky$, ta có:

$\left ( a^{2}+bc \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\geq \left ( a+b \right )^{2}\\\Rightarrow a^{2}+bc\geq \frac{c\left ( a+b \right )^{2}}{b+c}\\\Rightarrow \sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}\leq \sum a\sqrt{\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{c\left ( a+b \right )^{2}}}=\sum \frac{a}{\sqrt{c}}.\frac{b+c}{a+b}\leq \sum \frac{ab+ac}{2\sqrt{abc}}\\=\frac{3}{\sqrt{abc}}=\frac{3\sqrt{abc}}{abc}\leq \frac{3}{abc}$

Topic phát triển khá nhanh, cảm ơn sợ ủng hộ của các bạn 

Bài 6:

Cho $8,64$ $gam$ $Mg$ vào dung dịch hỗn hợp $X$ gồm $NaNO_{3}$ và $H_{2}SO_{4}$, đun nhẹ đến khi các phản ứng xảy ra hoàn toàn thu được dung dịch $A$; $1,792$ lít hỗn hợp khí $B$ có khối lượng $1,84$ $gam$ gồm $2$ chất khí không màu trong đó có một khí hóa nâu ngoài không khí, còn lại $4,08$ $gam$ chất rắn không tan. Cô cạn cẩn thận dung dịch $A$ thu được $m$ gam muối khan. Tìm $m$ ?.

A. $29,8$ $gam$               B. $36,54$ $gam$                C. $29,72$ $gam$               D. $27,08$ $gam$

Bài 7:

Hòa tan hết $18,38$ $gam$ hỗn hợp $X$ gồm $Ba,BaO,Na,Na_{2}O$ vào nước thu được dung dịch $Y$ và $0,896$ lít khí $H_{2}$. Hấp thụ hoàn toàn $4,48$ lít $CO_{2}$ vào dung dịch $Y$, tạo thành dung dịch $Z$ và $m$ $gam$ kết tủa. Đun nóng để cô cạn dung dịch $Z$ thu được $a$ $gam$ rắn khan. Mặt khác, cho $Y$ vào dung dịch $Al_{2}\left ( SO_{4} \right )_{3}$ dư tạo thành $31,62$ $gam$ kết tủa. Tổng giá trị $\left ( m+a \right )$ gần nhất với giá trị nào sau đây:

A. $27$ $gam$                   B. $26$ $gam$                   C. $30$ $gam$                  D. $28$ $gam$ 

Tiếp theo: 

Bài 4: Cho $3,76$ gam hônc hợp $X$ gồm $Mg$ và $MgO$ có tỉ lệ mol tương ứng $14:1$ tác dụng với dung dịch $HNO_3$ thì thu được $0,448l$ một khí duy nhất (đo ở dktc) và dung dịch $Y$. Cô cạn cẩn thận dung dịch $Y$ thu được $23$ gam chất rắn khan $T$. Xác định số mol $HNO_3$ đã phản ứng:
$A.0,28$                          $B.0,34$                          $C.0,32$                          $D.0,36$

Bài 4:

Đặt $\left\{\begin{matrix} n_{Mg}=a & \\ n_{MgO}=b & \end{matrix}\right.$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} 24a+40b=3,76 & \\ a-14b=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0,14 & \\ b=0,01 & \end{matrix}\right.$

Dung dịch sau phản ứng gồm: $Mg\left ( NO_{3} \right )_{2}$ và $NH_{4}NO_{3}$. Ta có:

$m_{_{NH_{4}NO_{3}}}=23-m_{Mg\left ( NO_{3} \right )_{2}}=0,8\\\Rightarrow n_{NH_{4}NO_{3}}=0,01$

Giả sử Nitơ trong khí nhận $n$ $electron$ , ta có:

$0,02.n+0,01.8=0,14.2\Leftrightarrow n=10$

Vậy khí đó là $N_{2}$. 

Số $mol$ $HNO_{3}$ phản ứng là:

$n_{HNO_{3}}=0,04+0,15.2+0,01.2=0,36$

$\Rightarrow$ Đáp án đúng là $D$

Chứng minh đẳng thức sau:

$$\left ( C^{1}_{2016} \right )^{2}-\left ( C^{2}_{2016} \right )^{2}+\left ( C^{3}_{2016} \right )^{2}-...+\left ( C^{2016}_{2016} \right )^{2}=C^{1008}_{2016}$$

Khử m gam hỗn hợp X chứa Fe3O4, Fe2O3 (có số mol bằng nhau) bằng CO trong một thời gian thu được 25,6 gam hỗn hợp rắn Y. Cho một nửa của hh Y tác dụng hết với dd HNO3 thu được SP khử chỉ có 0,1 mol NO và 0,1 mol NO2. Giá trị của m là:

A. 15,68

B. 28,22

C. 31,36

D. 37,12

Lâu lâu mới có bài hóa để chém 

Nửa khối lượng của $Y$ là: $12,8$ $gam$. Giả sử trong $Y$ gồm $x$ $mol$ $Fe$ và $y$ $mol$ $O$. Ta có hệ:

 $\left\{\begin{matrix} 56x+16y=12,8 & \\ 3x-2y=0,1.3+0,1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0,2 & \\ y=0,1 & \end{matrix}\right.$

Vậy trong $Y$ có: $0,4$ $mol$ $Fe$ và $0,2$ $mol$ $O$

Trong $X$ có: 

$\left\{\begin{matrix} n_{Fe_{3}O_{4}}=n_{Fe_{2}O_{3}} & \\ 3n_{Fe_{3}O_{4}}+2n_{Fe_{2}O_{3}}=0,4 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n_{Fe_{3}O_{4}}=0,08 & \\ n_{Fe_{2}O_{3}}=0,08 & \end{matrix}\right.\Rightarrow m=31,36\left ( g \right )$

Bài 1:

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\sum \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}$

Bài 1:

Ta tìm cách đánh giá đại lượng $\sum \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}$ về dạng hàm số đối với ẩn $ab+bc+ca$

Ta có:

$\frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}=\frac{x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\sqrt{\left ( x^{4}+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )}}\\=\frac{x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\sqrt{\left ( x^{3}+y^{2}z+yz^{2} \right )\left ( xyz+x^{2}y+zx^{2} \right )}} \\\geq \frac{2\left ( x^{4} +x \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\left ( x^{3}+y^{2}z+yz^{2}+xyz+x^{2}y+x^{2}z \right )}\\=\frac{2x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\left ( x^{2}+yz \right )\left ( x+y+z \right )}\\=\frac{2x}{x+y+z}\sqrt{xy+yz+zx}$

Vậy:

$P=\sum \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}\geq 2\sqrt{xy+yz+zx}-8+\frac{8}{xy+yz+zx+1}$

Đặt $\sqrt{xy+yz+zx}=t$, khi đó:

$P \geq f(t)=2t+\frac{8}{t^{2}+1}-8$

Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ \sqrt{3};+\infty \right )$ ta được $\min P=-6+2\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$

Cho a,b,c là ba số thực không âm không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \frac{1}{2}$

$\sum \frac{a^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}+2a^{2}}\geq \frac{1}{2}$

BĐT trên luôn đúng do:

$\sum \frac{a^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}+2a^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}= \frac{1}{2}\\\rightarrow Q.E.D$

Cho $a,b,c \in \left[\frac{1}{2};1 \right]$ và $a+b+c=2$. Tìm GTLN của 

$P=\dfrac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}+\dfrac{1}{a+c}\sqrt{ac[(a+c)^2-b^2]}+\dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab[(a+b)^2-c^2]}$

cho a,b,c thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ac),abc \neq 0$ chứng minh rằng:

$\frac{\left | a-b \right |}{\sqrt{2ab + c^{2}}}+\frac{\left | b-c \right |}{\sqrt{2bc + a^{2}}}+\frac{\left | c-a \right |}{\sqrt{2ca + b^{2}}}\geq 2$

Theo AM- GM ta có:

$VT=\sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{\sqrt{\left ( a-b \right )^{2}\left ( 2ab+c^{2} \right )}}\\ \geq \sum \frac{2\left ( a-b \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{4\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-4\left ( ab+bc+ca \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=2$

chứng minh rằng với mọi x,y,z thực ta có:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$

Theo AM- GM:

$\sqrt{2}\left ( xy+yz \right )=y\sqrt{2}\left ( x+z \right )\leq y^{2}+\frac{\left ( x+z \right )^{2}}{2}\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\rightarrow Q.E.D$

Chứng minh với mọi a, b, c là các số thực dương ta có:

$\frac{a}{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}\geq \sqrt{3}$

Đặt $A=\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}\\B=\sum a\left ( 2b^{2}+2c^{2}-a^{2} \right )$

Theo BĐT Holder, ta có:

$A^{2}B \geq \left ( a+b+c \right )^{3}\\\Rightarrow A^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{\sum a\left ( 2b^{2}+2c^{2}-a^{2} \right )}\\=\frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{-\left ( a+b+c \right )^{3}+5\sum ab\left ( a+b \right )+6abc}$

Ta sẽ chứng minh $A^{2}\geq 3$ thật vậy:

$A^{2}\geq 3\\\Leftrightarrow 4\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )+6abc\geq 3\sum ab\left ( a+b \right ) \quad \left ( 1 \right )$       

$\left ( 1 \right )$ luôn đúng do:

• $2\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )+6abc\geq 2\sum ab\left ( a+b \right )$
• $2\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\geq \sum ab\left ( a+b \right )$

Cộng từng vế 2 BĐT trên ta có ĐPCM

cho a,b,c là các số thực dương .chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c-a)^{2}}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+(c+a-b)^{2}}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+(a+b-c)^{2}}\leq 1$

Đặt $\left\{\begin{matrix} b+c-a=x & & \\ c+a-b=y & & \\ a+b-c=z & & \end{matrix}\right.$

Ta cần chứng minh 

$\sum \frac{\left ( y+z \right )^{2}}{\left ( y+z \right )^{2}+2x^{2}}\leq 2\\\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{\left ( y+z \right )^{2}+2x^{2}}\geq \frac{1}{2}$

BĐT trên luôn đúng do:

$\sum \frac{x^{2}}{\left ( y+z \right )^{2}+2x^{2}}\geq \sum \frac{x^{2}}{2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )}= \frac{1}{2}\\\rightarrow Q.E.D$

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3 .Chứng minh rằng :$(a+b)(b+c)(c+a)\geq (ab+c)(bc+a)(ac+b)$

Đã giải ở đây