Ta giải tổng quát với $p_A, p_B$ lần lượt là xác suất $A,B$ tung ra mặt ngửa.

Gọi $X_n$ là biến cố "trò chơi dừng lại ở lượt tung xu thứ $n$". Ta sẽ tính $P(X_n)$.

TH1: Nếu $n$ lẻ (tức là A thắng). Đặt $n=2k+1$ thì để đạt trạng thái này, $A,B$ phải thay phiên nhau tung ra mặt sấp $k$ lần, và lần $2k+1$ A tung ra mặt ngửa. Vì thế

\[P(X_{2k+1}) = {p_A}{\left( {1 - {p_A}} \right)^k}{\left( {1 - {p_B}} \right)^k}\]

TH2: Nếu $n$ chẵn (tức là B thắng). Đặt $n=2k$. Trạng thái này chỉ xảy ra khi $A,B$ thay phiên nhau tung ra mặt sắp $k-1$ lần, rồi $A$ tung mặt sấp và cuối cùng $B$ tung mặt ngửa. Do đó:

\[P(X_{2k}) = {\left( {1 - {p_A}} \right)^k}{\left( {1 - {p_B}} \right)^{k - 1}}{p_B}\]

Do đó, kỳ vọng $A$ thắng (biến cố $Y_A$) là:

\[\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {P\left( {{X_{2k + 1}}} \right)}  = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}}  = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}} = \frac{{{p_A}}}{{{p_A} + {p_B} - {p_A}{p_B}}}\]

 

Phần còn lại là thế số $p_A=\frac{1}{3}$ và $p_B=\frac{2}{5}$, ta có $\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \frac{5}{9}$

Bài giải hay anh ! Anh cho em hỏi cái đoạn $\sum\limits_{k = 0}^\infty {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}} = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}}$ có phải anh dùng hàm sinh: $\sum\limits_{k=0}^{+\infty}x^{k}=1+x+x^2+...=\frac{1}{1-x}$ trong đó $x=(1-p_A)(1-p_B)$ đúng không ạ ? 

Cho điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R). vẽ cát tuyến KAB đến đường tròn O sao cho A nằm giữa K và B,d là trung trực của d .H là hình chiếu vuông góc của O trên d, I là trung điểm OK. tính IH theo R.

Bạn ơi, xem lại đề nhé ! "d là đường trung trực của d" là sao nhỉ ? 

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m,n)$ thoả mãn $2$ điều kiện sau:

1) $m,n$ nguyên tố cùng nhau và $m\le 2007$

2) Với số $k$ bất kì thuộc tập hợp $1,2,...,2007$ ta luôn có: $[\frac{nk}{m}]=[\sqrt{2}k]$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn: $1+p+p^2+p^3+p^4$ là số chính phương

Mình xin đề xuất bài tương tự:

Bài 1.1: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn: $p^4+p^3+p^2+p=q^2+q$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p^2-3p+7$ và $p^2-7p+17$ đều là số nguyên tố

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $n^2+3$ chia hết cho $\phi(n)$, trong đó $\phi(n)$ là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ (Hàm phi Euler)

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $4n!-4n+1$ là số chính phương

Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(a,b)$ thoả mãn: $ab-1$ là ước của $a^2+1$

updated :

+ APMO 2020 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2020_sol.pdf

+ APMO 2021 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2021_sol.pdf

+ APMO 2022 [solutions]: https://www.apmo-off...pmo2022_sol.pdf

E có thêm một đề xuất nữa là : Sau khi đọc paper này : https://arxiv.org/pdf/2104.06741.pdf [DIOPHANTINE PROBLEMS OVER Z ab MODULO PRIME NUMBERS]

Em thấy là họ định nghĩa lại định lý thặng dư Trung Hoa theo một cách khác, có vẻ cao cấp. Nên e mong là có các post để làm cầu nối giữa những thứ sơ cấp và cao cấp như thế này ạ ! 

Em chia sẻ một chút ý kiến của em về toán olympic, em vốn là người không giỏi về olympic nhưng vẫn luôn quan niệm rằng, mình vẫn luôn theo dõi nó dù mình không còn học cấp 3 nữa (hồi từ lớp 10 lên học toán chuyên, ập vào những bài toán olympic thực sự vô cùng khó, cầm một cái đề giỏi lắm là giải được 1 câu) , và em luôn  cực kì thích thú với hai mảng là số học và tổ hợp, em vẫn cố gắng trao dồi nó cho đến tận bây giờ. Và hiện tại, e đang theo học CNTT, không còn làm toán nhiều nữa, nhưng em nhận ra một số điều thú vị mà kiến thức số học, tổ hợp đem lại cho em, đó là khi em học về mảng quy hoạch động trong tin học thì e thấy nó có nhiều phần liên quan đến tổ hợp đếm, hay hiện tại e đang có học về RSA thì nó lại liên quan đến số học ,đó là những phép đồng dư. Và e càng học thì e cảm thấy rằng, để phát huy những cái hay của toán thì mình cần thêm giữa cầu nối toán sơ cấp và toán cao cấp. Chẳng hạn như bài toán fibonacii, nó có một cách giải liên quan đến ma trận khá là hay hoặc những bài toán liên quan đến công thức truy hồi tuyến tính tương tự như vậy ! Em mong là diễn đàn mình ngày càng có nhiều bài toán mang tính cầu nối giữa sơ cấp với cao cấp, giữa hình học với đại số, rồi những bài toán mô hình hoá những vấn đề thực tế, như vậy toán học sẽ thú vị hơn ạ ! 

Em có thêm một ý kiến nữa: Những bài được đăng toán hiện đại, chúng ta nên lưu lại ở một nơi nào đó để lỡ diễn đàn mất dữ liệu thì vẫn có cái để khôi phục ạ!

Em mới search được link này khá hay về lịch sử của nhà toán học Alexander Grothendieck: https://arxiv.org/pdf/1605.08112.pdf

Hy vọng có ai dịch ra để mọi người cùng đọc với ạ!

Em thấy bài này hay : https://www.quantama...fhASXuh_Dg4fFlU nên share ở đây ạ, hy vọng có ai dịch ra Tiếng Việt để mọi người cùng đọc ạ !

Dạ e có một chút ý tưởng như này nhé: Em thấy ECC nó xuất phát từ cái phương trình: $y^2=x^3+ax+b$, tuy nó chỉ xuất phát từ phương trình đơn giản này mà lại mở ra biết bao ứng dụng trong mật mã học 

Em có xem trên youtube:  [Geometry of Elliptic Curve] và em thấy bài này nó thể hiện rõ giữa đại số và hình học (mặc dù em xem nhưng em không hiểu nhiều lắm đâu, vì nó có nhiều cái cao cấp quá).

Nên em đề xuất là các anh có thể dựa trên đây để viết một post về nó được không ạ ! 

Ngoài ra em có search được một file pdf về ECC:https://ocw.mit.edu/...cts/asarina.pdf

Nên em share ở đây luôn ạ !

mình muốn biết làm cách nào để xác định được khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách từ đường này tới đường kia ạ

Mình thấy trang này cũng có lý thuyết và bài tập đầy đủ, bạn xem thử nhé

Link: https://toanmath.com...manh-tuong.html

Cho các số thực khác 0 thoả mãn $a,b,c$ phân biệt từng đôi một và $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $(\frac{a}{b-c})+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$

Mình xin trình bày lời giải bài này như sau:

Ta có: $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1\implies \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Do đó: $S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}$

Từ đây, bắt đầu tính toán $S_{m+n}+S_{m-n}$ và $S_m.S_n$, thu được kết quả như sau:

+ $S_{m+n}.S_{m-n} =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (I)$

+ $S_m.S_n =(\sqrt{2}+1)^{m+n}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{m+n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{m}}{(\sqrt{2}+1)^{n}}+\frac{(\sqrt{2}+1)^{n}}{(\sqrt{2}+1)^{m}} (II)$

Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$; từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM, AN$ và các cát tuyến $AEB, ADC$; $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ ($B$ và $M$ cùng nằm trên một mặt phẳng bờ $AH$). Chứng minh rằng: $AH; BM; CN$ đồng quy.

Trước tiên để giải quyết bài toán này, mình xin trình bày các bổ đề liên quan (có kèm chứng minh) như sau:

a) Bổ đề 1: Định lý Menelaus

b) Bổ đề 2: Định lý Pascal

Cụ thể như sau:

a) Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và 3 điểm $A',B',C'$ trên các đường thẳng chứa các cạnh BC,CA,AB sao cho: hoặc cả ba điểm $A',B',C'$ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc 1 trong 3 điểm đó nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để $A',B',C'$ thẳng hàng là ta có hệ thức: $\frac{AB'}{B'C}.\frac{CA'}{A'B}.\frac{BC'}{C'A}=1$

Chứng minh: Bạn tham khảo tại https://www.molympia...y-menelaus.html

Ghi chú: Ở cách chứng minh trên, sử dụng định lý Talet nên sẽ dễ tiếp cận với THCS.

b) Định lý Pascal: Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn, $H,K,I$ lần lượt là giao điểm của $AB$ và $ED$, $BC$ và $EF$, $AF$ và $CD$. Chứng minh rằng: $I,H,K$ thẳng hàng

Chứng minh: Bạn tham khảo tại https://julielltv.wo...dinh-li-pascal/

Ghi chú: Ở cách chứng minh trên, có sử dụng định lý Menelaus, nên cũng sẽ dễ tiếp cận với THCS

Sau khi chứng minh được định lý Pascal, ta sử dụng một chú ý quan trọng nữa như sau:

Chú ý: Đó chính là giả sử Ta có một đường tròn $(O)$ và một đường thẳng $d$ cắt $(O)$ tại 2 điểm $D,E$. Khi $D$ trùng $E$ thì khi đó đường thẳng $d$ chính là tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$.

Bây giờ, quay trở lại bài toán ban đầu đã cho, mình sẽ áp dụng định lý Pascal 3 lần để giải quyết bài toán này, cụ thể như sau:

Gọi $R$ là giao điểm của $EM,DN$ ; $S$ là giao điểm của $MC,BC$ và $T$ là giao điểm của $EN,DM$

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $M,M,N,N,E,D$ ta có: $MM\cap NN = A ; MD\cap NE = T; ME\cap DN=R$ thẳng hàng (1)

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $M,M,N,N,B,C$ ta có: $MM\cap NN=A ; MC\cap BN=S ; MB\cap NC = O$ thằng hàng

(2)

- Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm $E,M,B,C,D,N$ ta có: $EN\cap DM=T ; EC\cap DB=H; MC\cap BN=S$ thẳng hàng (3)

Từ (1),(2) và (3) ta suy ra được các điểm: $A,R,T,H,S,O$ thẳng hàng hay $AH,BM,CN$ đồng quy tại $O$ và ta có điều phải chứng minh

Ps: Ngoài ta để có thể tham khảo các dạng toán liên quan đến định lý Pascal, bạn có thể tham khảo thêm tại đây: https://nguyenvanlin...cal-theorem.pdf và theo mình đối với THCS, mà học trước những cái này tuy hơi khó nhưng sẽ có ích sau này nếu bạn đi tiếp lên cấp 3.

Chứng minh rằng với một số nguyên dương $k$ bất kì, luôn tồn tại một số nguyên dương $n$ thoả mãn: $2^{k} $ là ước của $3^n+5$

[IMO 1989] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố.

Chứng minh rằng phương trình: $3y^2=x^4+x$ không có nghiệm nguyên dương

Cho các số nguyên dương $k,m,n$ thoả mãn: $m^2+n=k^2+k$. Chứng minh rằng: $m\le n$

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn: $54^a=a^b$. Chứng minh rằng: $a$ là một luỹ thừa của $54$