Ma trận liên thuộc.pdf   180.85K   97 Số lần tải

 Định lý Menger.pdf   371.74K   251 Số lần tải

 Phương pháp trị riêng cho đánh giá chặn trên của chỉ số độc lập.pdf   281.68K   124 Số lần tải

 Bổ đề Szemeredi.pdf   325.06K   124 Số lần tải

 Không gian tuyến tính hữu hạn - phần 2.pdf   167.04K   127 Số lần tải

 Đại số liên thuộc.pdf   254.63K   100 Số lần tải

 Phi hàm Euler.pdf   246.36K   1861 Số lần tải

 Định lý de Bruijn -Erdos.pdf   226.42K   232 Số lần tải

 Hệ số đa thức.pdf   312.67K   127 Số lần tải

 Định lý Cayley - Hamilton.pdf   197.43K   1082 Số lần tải

 Đa thức sắc số.pdf   359.95K   92 Số lần tải

 Hình học tổ hợp.pdf   312.73K   370 Số lần tải

 Bài toán girth cho đồ thị.pdf   256.08K   94 Số lần tải

Lưu ý với các bạn là có một số bài không thấy ghi lời giải

 1991  j01solutions.pdf   111.92K   195 Số lần tải               1998  j08solutions.pdf   175.1K   182 Số lần tải

 1992  j02solutions.pdf   114.65K   150 Số lần tải                1999  j09solutions.pdf   147.21K   183 Số lần tải

 1993  j03solutions.pdf   130.89K   183 Số lần tải                 2000  j10solutions.pdf   164.37K   189 Số lần tải

 1994  j04solutions.pdf   124.13K   133 Số lần tải                 2001  j11solutions.pdf   180.96K   149 Số lần tải

1995  j05solutions.pdf   133.48K   149 Số lần tải                  2002  j12solutions.pdf   146.28K   291 Số lần tải

 1996  j06solutions.pdf   117.64K   131 Số lần tải                 2003  j13solutions.pdf   132.82K   181 Số lần tải

 1997  j07solutions.pdf   176.82K   152 Số lần tải                 2004  j14solutions.pdf   258.96K   154 Số lần tải

                                    2005  j15solutions.pdf   156.88K   177 Số lần tải

                                    2006  j16solutions.pdf   162.29K   145 Số lần tải

         2007  j17solutions1.pdf   85.79K   249 Số lần tải  j17solutions2.pdf   77.4K   176 Số lần tải

        2008  j18solutions1.pdf   86.36K   148 Số lần tải  j18solutions2.pdf   91.7K   174 Số lần tải

        2009  j19solutions1.pdf   81.52K   141 Số lần tải  j19solutions2.pdf   87.67K   137 Số lần tải

        2010  j20solutions1.pdf   87.35K   175 Số lần tải  j20solutions2.pdf   90.56K   150 Số lần tải

        2011  j21solutions1.pdf   148.38K   141 Số lần tải  j21solutions2.pdf   149.88K   151 Số lần tải

        2012  j22solutions2.pdf   185.63K   145 Số lần tải  j22solutions1.pdf   211.59K   146 Số lần tải

        2013  j23solutions1.pdf   136.86K   154 Số lần tải  j23solutions2.pdf   156.03K   151 Số lần tải

        2014  j24solutions1.pdf   133.64K   157 Số lần tải  j24solutions2.pdf   155.63K   141 Số lần tải

        2015  j25solutions1.pdf   147.43K   212 Số lần tải  j25solutions2.pdf   157.17K   178 Số lần tải

Bài toán ( Sydney -1999) Chứng minh rằng:

Tích diện tích của hai tam giác cùng nằm trong một mặt phẳng có các đỉnh $A_{1},A_{2},A_{3}.$ và$B_{1},B_{2},B_{3}.$ bằng

                            $\pm\frac{1}{16}\begin{vmatrix} d_{1,1}^{2} &d_{1,2}^{2} &d_{1,3}^{2} & 1\\d_{2,1}^{2} & d_{2,2}^{2} & d_{2,3}^{2} &1 \\d_{3,1}^{2} & d_{3,2}^{2} &d_{3,3}^{2} &1 \\1 & 1 &1 &0 \end{vmatrix}$

  trong đó $d_{i,j}$ là khoảng cách từ $A_{i}$ tới $B_{j}$

Bài toán (Putnam 1950) Chứng minh rằng:

         $x+\frac{x^{3}}{1.3}+\frac{x^{5}}{1.3.5}+\frac{x^{7}}{1.3.5.7}+...+\frac{x^{2k+1}}{1.3.5...(2k+1)}+...=e^{\frac{x^{2}}{2}}\int_{0}^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$

Bài toán.  Giải hệ phương trình vi phân 

                                    $x^{''}-y^{'}+x=0$

                                    $y^{''}+x^{'}+y=0$

trong đó x(t) , y(t) là các hàm nhận giá trị  thực.

Lời giải. Nhân phương trình thứ hai cho i và cộng với phương trình thứ nhất ta được

$\left ( x+iy \right )^{''}+i\left ( x+iy \right )^{'}+\left ( x+iy \right )=0$

Bằng cách đặt  $z=x+iy$ đẳng thức trên trở thành một phương trình vi phân cấp 2 theo biến hàm mới - z.

                                                   $z^{''}+iz^{'}+z=0$

 Phương trình đặc trưng $\lambda ^{2}+i\lambda +1=0\Rightarrow \lambda _{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}i$

  Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng

 $z(t)=\left ( a+ib \right )exp\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2}it \right )+\left ( c+id \right )exp\left ( \frac{-1-\sqrt{5}}{2}it \right )$

          Lưu ý rằng ta đang xét x(t), y(t) là các hàm nhận giá trị thực. Thực hiện khai triển và đối chiếu phần thực , phần ảo ta thu được dạng tồng quát của nghiệm phương trình ban đầu

  $x(t)=acos\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t-bsin\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t+ccos\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t-dsin\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t$

$y(t)=asin\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t+bcos\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t+csin\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t+dcos\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t$

Bài toán. Tìm khai triển Fourier của hàm $f(x)=(\frac{sinnx}{sinx})^{2}$

Lời giải. Từ công thức Euler: $e^{ix}=cosx+isinx$ và đằng thức sau:

    $\sum_{k=1}^{n}e^{2ikx}=\frac{e^{2i(n+1)x}-1}{e^{2ix}-1}$  ( chứng minh khá đơn giản nên mình không đưa ra ở đây )

Tách lấy phần thực và phần ảo ta thu được hai hệ thức quan trọng sau :

$cos2x+cos4x+...+cos2nx=\frac{sinnxcos(n+1)x}{sinx}$

$sin2x+sin4x+...+sin2nx=\frac{sinnxsin(n+1)x}{sinx}$

 Ta viết lại hàm $f(x)$ lai dưới dạng 

 $(\frac{sinnx}{sinx})^{2}=\left ( \frac{sinnxsin(n+1)x}{sinx} \right )^{2}+\left ( \frac{sinnxcos(n+1)x}{sinx} \right )^{2}$.

 Thay kết quả thu được vào và chú ý đến hằng đẳng thức Lagrange: 

$\left ( x_{1}+x_{2}+...x_{n} \right )^{2}=\sum_{i=1}^{n}x^{2}_{i}+2\sum_{1\leqslant k< l\leqslant n}x_{k}x_{l}$, ta thu được  :

$f(x)=n+2\sum_{1\leq k< l\leq n}(sin2kxsin2lx+cos2kxcos2lx)$

$=n+2\sum_{1\leq l< k\leq n}cos2(k-l)x$

$=n+2\sum_{m=1}^{n-1}(n-m)cos2mx$.

 Do đó ta có khai triển Fourier

    $\left ( \frac{sinnx}{sinx} \right )^{2}=n+2\sum_{m=1}^{n-1}(n-m)cos2mx$.

 Lưu ý ở các bước cuối bạn cần một chút kiến thức tổ hợp nhỏ.

Bài toán.(ĐH - Toronto 2015 ) Tính số chiều của không gian vector con sinh bởi $\left \{ (\sigma (1);\sigma (2);...;\sigma (n)) \right \}$. trong đó $\sigma$  là một song ánh từ $\left \{ 1,2...n \right \}\rightarrow \left \{ 1,2,...,n \right \}$.

   Đáp số : n

Bài toán ( Seemous  2008 ) Cho $M_{n}(\mathbb{R})$ là tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số thực. Tìm tất cả các hàm $f:M_{n}(\mathbb{R})\rightarrow \left \{ 0,1,2...,n \right \}$ thỏa mãn 

   $f(XY)\leqslant min\left \{ f(X),f(Y) \right \},\forall X,Y\in M_{n}(\mathbb{R})$

Đáp số : $f(A)=rank(A)$

 Không gian tuyến tính hữu hạn.pdf   205.78K   115 Số lần tải

 Tối ưu đồ thị phần 2.pdf   237.23K   97 Số lần tải

ngày thứ nhất   imc2015-day1-solutions.pdf   195.86K   477 Số lần tải

ngày thứ hai   imc2015-day2-solutions.pdf   184.21K   302 Số lần tải

 Mong đây sẽ là những tài liệu có ích với các bạn đam mê toán học

Mình xin giới thiệu dưới đây một số bài toán tích phân một biến phức tạp + file hướng dẫn giải đính kèm.

Bài toán(AMM-11148). Tính tích phân

I=$\int_{0}^{\infty }\frac{x^{8}-4x^{6}+9x^{4}-5x^{2}+1}{x^{12}-10x^{10}+37x^{8}-42x^{6}+26x^{4}-8x^{2}+1}dx$

Đáp số: $I=\frac{\pi }{2}$

File lới giải: ( Phương pháp thặng dư trong giải tích phức )  AMM11148.pdf   77.26K   109 Số lần tải

Bài toán ( Belarus-2009) Tính tích phân

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{cosxdx}{e^{x}+cosx-sinx}$

Đáp số:$I=\frac{1}{2}ln2$

File lời giải:( Một biến đổi đơn giản + một chút tinh tế)  2009.pdf   143.24K   124 Số lần tải

Bài toán (Asymmetry - ?) Tính các tính phân sau:

   $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}xln(1-cosx)dx$  và $J=\int_{0}^{\infty }\frac{ln(cos^{2}x)}{1+e^{2x}}dx$

Đáp số : $I=\frac{35}{16}\zeta (3)-\frac{\pi ^{2}ln2}{8}-\pi G$, trong đó $\zeta$ kí hiệu cho hàm zeta Riemann còn G là hằng số Catalan

              $J=-\frac{(ln2)^{2}}{2}$

File lời giải: (tích phân thứ nhất có liên quan đến Khai triển chuỗi+ Lý thuyết chuỗi lượng giác  còn tích phân thứ hai có liên đề cập thêm đến chuỗi bội )

 AsymmetryV4Nov2013(Kouba).pdf   101.3K   187 Số lần tải

Bài toán.(Putnam ? ) Hỏi với giá trị của n như thế nào thì tích phân

    $I=\int_{0}^{2\pi }cosxcos2x...cosnxdx$ có giá trị khác không ? , 

Lời giải .

Áp dụng định lí Morvie : $e^{ix}=cosx+isinx$ ta dễ dàng suy ra $cosx=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$ thay vào biểu thức của $I$ ta thấy

$I=\frac{1}{2^{n}}\int_{0}^{2\pi }(e^{ix}+e^{-ix})(e^{2ix}+e^{-2ix})...(e^{nix}+e^{-nix})dx=\frac{1}{2^{n}}\int_{0}^{2\pi }\sum_{\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}...\varepsilon _{n}=\pm 1}e^{(\varepsilon _{1}+2\varepsilon _{2}+...n\varepsilon _{n})ix}dx$=

  $\frac{1}{2^{n}}\sum_{\varepsilon _{1},...\varepsilon _{n}=\pm 1}\int_{0}^{2\pi }e^{(\epsilon _{1}+2\varepsilon _{2}+...+n\varepsilon _{n})ix}dx$

  Ta có :   $\int_{0}^{2\pi }e^{mix}dx=2\pi$ nếu $m=0$ và bằng 0 trong trường hợp $m\neq 0$. 

Do đó: $I=\frac{\pi}{2^{n-1}}S(n)$

trong đó $S(n)$ là số cách chọn các dấu +, -  sao cho $\pm 1\pm 2\pm...\pm n=0$.(Do n=0 hiển nhiên làm cho tích phân ban đầu khác không nên ở đây ta chỉ xét các giá trị $n\geq 1$ )

    Bài toán của ta trở thành tìm n sao cho $S(n)\neq 0$.    

Ta xét các trường hợp của n

 Nếu $n=4k$ thì từ đẳng thức : $(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+((4k-3)-(4k-2)-(4k-1)+4k)=0$ ta suy ra $S(n)\neq 0$  

Nếu n=4k+3  thì từ đẳng thức: $(1+2-3)+(4-5-6+7)+...+((4k)-(4k+1)-(4k+2)+(4k+3))=0$ ta cũng suy ra $S(n)\neq 0$

Nếu n=4k+1 hoặc 4k+2:

   $\varepsilon _{1}+2\varepsilon _{2}+...+n\varepsilon _{n}\equiv 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\not\equiv 0 mod2$  , trong đó $\varepsilon _{1},...\varepsilon _{n}=\pm 1$ nên $S(n)=0$

  Từ khảo sát trên ta dễ thấy giá trị cần tìm là n=4k , n=4k+3 , trong đó k là số tự nhiên nào đó