Cho ABC nhọn, chứng minh rằng :

1/ $cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}< 2(sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2})$

2/ $1< \frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}< 2$

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng :
$(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{3}(x+y+z)$

M.n giúp vs ạ.

Cho các số dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn :
$\frac{\sqrt{ab}+1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{bc}+1}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ca}+1}{\sqrt{c}}$
Chứng minh rằng $abc = 1$

Cho a,b,c > 0, chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{a+b}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^{2}}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Bài 24: ĐKXĐ $x\geq 1$
PT <=> $2(4x^{2}-5x)^{2}+(2\sqrt{x-1}-1)^{2}=0$
<=> $x=\frac{5}{4}$

b) ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=3x_{1}x_{2}x_{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2}(x_{1}+x_{2}+x_{3})[\sum (x_{1}-x_{2})^{2}]=0$

Mà $x_{1},x_{2},x_{3}$ là 3 nghiệm phân biệt nên cần cm $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$

Ta có $x_{1}$ = -2, $x_{2}+x_{3}=2$ => $x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$ => đpcm

a) PT <=> $(x+2)(x^{2}-2x+4-m)=0$

PT có 3 nghiệm phân biệt <=> PT $x^{2}-2x+4-m=0$ (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

Đặt y=x+2 => x=y-2, thay vào PT (*) được $y^{2}-6y+12-m=0$. Cần tìm m để pt này có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Hay c/a khác 0 và $\Delta > 0$

Bạn ấy viết đề thiếu! C/mr: Phương trình $c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0$ vô nghiệm!

Nếu như vậy thì : Do a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nên c khác 0 và 

$\Delta =(a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}-4b^{2}c^{2} =(a-b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) < 0$ $\Rightarrow$ Đpcm

Chứng minh rằng phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$ có nghiệm thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{4}{3}$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

1. Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+2y^{2}-2xy=1$

Tìm GTNN, GTLN của $P=\frac{1+xy-y^{2}}{1+3xy-y^{2}}$

2. Cho x,y $\epsilon$ R sao cho $x^{2}+xy+y^{2}\leq 3$

Tìm GTNN, GTLN của $P=x^{2}-xy+2y^{2}$

Họ tên : Lê Xuân Tùng

Nick trong diễn đàn (nếu có) : Nhok Tung

Năm sinh : 2000

Hòm thư : [email protected]

Dự thi cấp : THCS

Cho tam giác ABC đều có trọng tâm O. Điểm M nằm trong tam giác. D,E,F lần lượt là hình chiếu của M trên BC,AC,AB. Chứng minh rằng $\vec{MD}+\vec{ME}+\vec{MF}=\frac{3}{2}\vec{MO}$

Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng :

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2abc+1$

Tìm GTLN của $P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$

Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1$ và $c+d=4$

Tìm GTLN của $P=ac+bd+cd$

Cho các số thực x,y,z. Chứng minh rằng :

$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{9}$

Thánh nào ra tay giúp đỡ  

Ai giúp với ạ

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có 2 cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với OI. AC và BD cắt d tại M và N. Chứng minh IM=IN

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $$x^{3}+y^{3}+xy=x^{2}+y^{2}$$. Tìm GTNN và GTLN của :

P = $$\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}$$

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab + bc +ca = 11, tìm GTNN của : 

$P=\frac{5a+5b+2c}{\sqrt{12(a^{2}+11)}+\sqrt{12(b^{2}+11)}+\sqrt{c^{2}+11}}$

có ai làm đc chưa.
Bài này nghiệm lẻ quá

Giải phương trình : $x^{3}=x+1+3\sqrt{x+2}$