Cmr : $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+.... + \frac{n-1}{n!} <1$

Ta có:$ \frac{n-1}{n!}=\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}$
$\Rightarrow \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+.... + \frac{n-1}{n!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}=1-\frac{1}{n!}<1$
Vậy ta có đpcm

 Cảm ơn bạn rất nhiều  

 Bài 1 :Chứng minh rằng : $\frac{2}{3} < S < 1$

 Trong đó : $S = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} + ... + \frac{1}{4n+1}    ( n>0)$

 Bài 2: Cho $\left | x \right | \geq 1 , \left | y \right | \geq 1$  Chứng minh rằng: $\left | \frac{x+y}{xy} \right | \leq 2$

 Bài 3: Cho $a,b,c >0$ Chứng minh rằng : $\frac{-a+b+c}{2a} + \frac{a-b+c}{2b} + \frac{a+b-c}{2c} \geq \frac{3}{2}$

Áp dụng Bất đẳng thức : $|A|+|B| \geq |A+B|$
Ta có : $|\frac{x+y}{xy}|=|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}| \leq \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|y|} \leq 1+1=2$

Anh ơi, anh có thể chứng minh hộ e cái bđt $\left | a \right | + \left | b \right | \geq \left | a+b \right |$ không?

Cho $a,b,c> 0,a+b+c=3$.Tìm GTNN P=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho $a,b,c > 0$ , $a+b+c=3$ . Tìm GTNN 

  $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho$x,y,z\geq 0$ , tìm GTNN của : $p=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

Cho $x,y,z \geq 0$ , tìm GTNN của : $p=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$=$\frac{x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{yz+xy}+\frac{z^{2}}{xz+yz} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)} \geq \frac{3(xy+yz+xz)}{2(xy+yz+xz)}=\frac{3}{2}$ by C-S 
ps đây là bất đẳng thức Nesbit 

Bạn ơi, mình chưa học bdt nesbit.Bạn dùng Cauchy với Bunhia thôi được không 

Tìm Max, Min: $B=\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$

Ta có:
$B-\frac{1}{3}=\frac{2(x^2-2x+1)}{x^2+x+1}\geq 0\Rightarrow B\geq \frac{1}{3}$
$3-B=\frac{2(x^2+2x+1)}{x^2+x+1}\geq 0\Rightarrow B\leq 3$

có cách nào dễ hiểu hơn không anh

1.Cho $a,b,c$  là độ dài 3 cạnh tam giác

a. $P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 2$

b.$\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}$ cũng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

c. $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

2. Cho a₁+a₂+...+a_n=K

CMR: a₁²+a₂²+...+a_n²$\geq \frac{K^{2}}{n}$

1/
a.Ta có:$\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}.$CMTT ta được $P<\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
2.Ta có:$\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2\geq \frac({\sum a_{1})^2}{n}=\frac{K^2}{n}$ (BĐT Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

anh ơi ở bài 1, cái chỗ đầu tiên cm sao anh.Còn bài 2, e chưa học cái dấu đó với lại bdt Schwars, anh làm cách khác được không

Câu này phải C/m gì thế bạn ?

C/m$\frac{1}{a+b},\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c}$ là 3 cạnh tam giác đó bạn, cho a,b,c la 3 cạnh tam giác rồi

Cách tư duy của em như vậy là sai hoàn toàn nhé.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức em biến đổi phải phụ thuộc vào cả tử lẫn mẫu, em không thể áp đặt cho cái tử nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) rồi lấy giá trị tại dấu "=" để thay vào mẫu được. Sai hoàn toàn.

Cách làm chung cho tất cả các bài dạng này là nhân chéo lên rồi đưa về phương trình bậc 2 ẩn $x$, tham số $B$.

Cụ thể với bài này ta đưa về pt: $(B-1)x^2+(B+1)x +B-1=0$

Để $x$ tồn tại thì $\Delta \geq 0$. Như vậy sẽ suy ra điều kiện của $B$

Với bài này là: $\Delta =-3B+10B-3\geq 0\Leftrightarrow (1-3B)(B-3)\geq0$

Như này trình độ THCS sẽ giải dễ dàng rồi: $\frac{1}{3}\leq B\leq 3$

Đến đây mới đi tìm của $x$ tại dấu "="

chị ơi e chưa học tới pt bậc 2, có cách nào dễ hiểu hơn không ạ

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác

CMR: a,$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}$ cũng là 3 cạnh tam giác

b,$a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)$$\leq 3abc$

Giải hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}=97\\ xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )=75 \end{matrix}\right.$ ( theo cách đặt ẩn phụ )

đặt $x^{2}+y^{2}=a;xy=b$ có:

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}-2b^{2}=97 & \\ ab=75 & \end{matrix}\right.$

rồi giải sao nữa anh

Giải Hpt $\left\{\begin{matrix} x+2y=4\\ x^{2}-xy+3y^{2}+2x-5y-4=0 \end{matrix}\right.$

Giải Hpt : $\left\{\begin{matrix} x(x^{2}+y^{2})=10y\\2y(x^{2}-y^{2})=3x \end{matrix}\right.$

TH1: x=y=0 thay vào thỏa mãn.

TH2: $(x;y)\neq (0;0)$

Lấy (2) chia (1):

$\frac{2y(x^2-y^2)}{x(x^2+y^2)}=\frac{3x}{10y}$

$<=> 3x^4+20y^4-17x^2y^2=0$

Đến đây tự giải tiếp pt trùng phương nha

Bạn giải hộ mình nghiệm được không?Mình giải không  ra nghiệm 

Tìm số tự nhiên n sao cho A=$n^{2}+n+6$ là 1 số chính phương

Giải phương trình: $\sqrt[]{4x+1} - \sqrt[]{3x-2}=\frac{x+3}{5}$ 

Cho M=$(\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2})^{2008} + (\sqrt[]{3}-\sqrt[]{2})^{2008}$

a Chứng minh M có giá trị nguyên.

b Tìm chữ số tận cùng của M

Cho tam giác ABC có diện tích là S và một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M thuộc AB, N thuộc AC). Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ là $S_{1}$ . Chứng minh rằng: $S \geq 2S_{1}$