MÌNH  có thắc mắc??? tại sao những đợt thảo luận đầu tiên chúng ta đã đánh số theo từng bài để tiện theo dõi, nhưng những gần đây topic này các bạn mới vào không đánh số nữa ??? mong các bạn đăng 1 lượng vừa phải để mọi người cùng giải và thảo luận và sau đó đăng thêm . Đăng nhiều thì làm không kịp    

---thân ái chào ( đây  chỉ là  ý kiến riêng của mình )       

Có link bài tổng quát không bạn

link: có kèm theo lời giải của 1 thành viên trên Aops 

http://diendantoanho...-a-in/?p=646360

Từ từ em, mới lên kế hoạch sơ sơ thôi, chắc vài tuần nữa sẽ cụ thể

cho em hỏi nếu tổ chức ở tp HCM thì diễn ra ở khu vực nào à  chứ tp HCM thì rộng lắm   

dạ cái này quả thật rất hay, lúc cầm cuốn GGTH đập vào mặt cái bài này ùi nên thấy rất mê, em cứ tưởng là bài viết của thầy CẨn nữa chứ, 

lo nhất là tiếng Anh thì phải @@ nghe nói dân Toán học văn cũng tốt, chỉ có không chịu học Anh. 

em ngu hết .____________. 

Câu 5 áp dụng bđt $a^2+b^2+c^2\geq 3(ab+bc+ac)$

và ct tính diện tích tam giác nhọn:S=$\frac{1}{2}Sin(\angle A).AB.AC$

                                               tù:$S=\frac{1}{2}sin(180-\angle A).AB.AC$

có vấn đề thì phải 

Bài toán 5:

gọi các cạnh $BC,AC,AB$ lần lượt là $a,b,c$

dễ dàng chứng minh được $\frac{HA}{a}=cotA$ $\frac{HB}{b}=cotB$  $\frac{HC}{c}=cotC$

bài toán quy về $cotA+cotB+cotC\geq \sqrt{3}$

Cho a,b,c là các số thực : 
Chứng minh rằng : $a^2 +b^2 +c^2 + 2abc + 1 \ge 2(ab+bc+ca) $

những bài áp dụng bđt  trên cho các số thực dương 

1. $xyz+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8 \geq 5(x+y+z)$

2.$xyz+ x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq 3 (x+y+z)$

hay quá em đang hóng không biết năm nay tổ chức ở đâu

 

trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai

Ở trên có ghi kìa  

nguồn: fb của bạn Nguyen Hoang Tung Lam

Câu 1: là bài 1  trong đề số 2 của đề thi Trường Đông 2015  

http://vndoc.com/dow...en-2015/113583 

Chào mọi người,

Đã gần một tháng sau khi Gặp Gỡ Toán Học 2016 kết thúc với tràn đầy những kỷ niệm đáng nhớ. Gặp Gỡ Toán Học năm nay có nhiều nét mới lạ, và cuốn Kỷ yếu Hậu Gặp Gỡ Toán Học chính là một trong những đổi mới ấy với mong muốn giúp các bạn học sinh có được một tài liệu đầy đủ về những gì đã được học tại Gặp Gỡ Toán Học. Chúng tôi hy vọng rằng đây sẽ là một tài liệu quý dành cho các bạn học sinh, các thầy, cô giáo và cũng như các bạn có một niềm đam mê với Toán học. Đồng thời, chúng tôi cũng luôn chờ đợi những lời góp ý của quý bạn đọc gần xa để cuốn Kỷ yếu được hoàn thiện hơn trong những lần phát hành sau.

----

p.s: mình xin phép được chia sẻ lên đây để mọi người cũng xem.  

PhucLe cho anh hỏi em học trường nào vậy? Đức Lập hả 

dạ em học trường đông thành đức huệ

----> PhucLe: sorry anh nhầm người tại anh nhớ bên Đức lập cũng có 1 bé tên Phúc

 

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+xy+1=4y\\ (x^{2}+1)(x+y-2)=y \end{matrix}\right.$

 

$x^{2}+ y^{2}+xy+1=4y <=> (x^{2}+1)+y(x+1)=4y$

kết hợp pt(2) ==> $(x^{2}+1)(2x+2y-2)=4y$

ta có hpt

 $(x^{2}+1)(x+y-1)=2y$

$(x^{2}+1)(x+y-2)=y$ 

==> $x+y=3$

tới đây thì dễ òi 

cho mình hỏi ngu :'( làm sao dùng cái dấu hpt được vậy đánh hoài không được thanks

nguồn: lượm trên fb

nguồn: fb 

 bn cho mình hỏi lm sao đặt đc a+b+c=1 vậy

cậu có thể vào link này để xem: http://diendantoanho...fracbcdfracca/ 

Sao mình nhớ trong đề thi là 'tìm tất cả các ước số nguyên tố của $a^2 + b$ mà không đồng dư modulo $7$' nhỉ? Mà không sao cả, đợt đó mình chú tâm bài bđt với cả cũng bận ôn thi nên quên cả hạn gửi bài  . Đây là lời giải của mình cho bài toán trên.
$$\begin{cases} (a^{2} + b)\mid (c^{2} + a) \\ (a^{2} + b)\mid (b^{4} - c^{2}) \end{cases} \implies (a^{2} + b)\mid (b^{4} + a) \implies (a^{2} + b)\mid (b^{8} - a^{2}) \implies (a^{2} + b)\mid ((b^{8} - a^{16}) + (a^{16} - a^{2}) \implies (a^{2} + b)\mid a^{2}(a^{14} - 1)$$
Dễ thấy $\text{gcd}(a^{2} + b; a^{2})\mid \text{gcd}(b; a^{2})\mid \text{gcd}(a^{2}; b^{2})\mid (\text{gcd}(a; b))^{2} = 1 \implies \text{gcd}(a^{2} + b; a^{2}) = 1$
$$\implies (a^{2} + b)\mid (a^{14} - 1)$$. Gọi $p$ là một ước nguyên tố bất kì của $a^2 + b$:
TH1: $p = 7$. Dễ thấy $\text{gcd}(p; a) = 1$, do đó theo định lý Fermat bé: $1 \equiv a^{14} \equiv a^{2} \pmod{7}$. Từ đó có $7\mid (a^{2} - 1)$. Theo bổ đề LTE thì $v_{7}(a^{14} - 1) = v_{7}(a^{2} - 1) + 1$. Do đó $v_{7}(a^{2} + b) \le v_{7}(7(a^{2} - 1))$
TH2: $p \neq 7$. Nếu $p\mid \frac{a^{14} - 1}{a^{2} - 1}$, thì theo một bổ đề cũ: "Cho $L$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố sao cho $L\mid \frac{x^{p} - 1}{x - 1}$ thì $L \equiv 0; 1 \pmod{p}$". Cho ta $p \equiv 0; 1\pmod{7}$, điều này vô lí. Do vậy mọi ước nguyên tố không đồng dư $0, 1$ modulo $7$ của $a^{2} + b$ là ước nguyên tố của $a^{2} - 1$
Từ đây ta đi đến kết luận $(a^{2} + b) \mid 7(a^{2} - 1)$. Đặt $7(a^{2} - 1) = L(a^{2} + b) \iff (7 - L)(a^{2} + b) = 7(b + 1)$. Dễ thấy $L \ge 6$
$a^{2} + b = \frac{7(1 + b)}{7 - L} \implies \frac{7(1 + b)}{7 - L}\mid 7(b^{2} - 1) + 7(c + 1) \implies \frac{7(b + 1)}{7 - L}\mid 7(c + 1) \implies \frac{7(b + 1)}{7 - L}\mid 7(c^{2} - 1) + 7(1 + a) \implies \frac{7(b + 1)}{7 - L} \mid 7(a + 1)$. Từ đó có:
$$\frac{7(a + 1)}{a^{2} + b} \in \mathbb{Z}_{+}$$.
Thử từ $1$ đến $8$ có các nghiệm $(1; 1; 1); (6; 13; 370)$. Do $a, b, c$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên chỉ có $(1; 1; 1)$ là bộ nghiệm duy nhất.

cho em hỏi làm sao chứng minh được cái bổ đề cũ ở TH2 vậy anh     em cám ơn     

Nguồn: fb của bạn Hiếu Digb

Đánh lại vì ảnh nhỏ.
Bài 5. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, giả sử $O$ không trùng giao điểm $G$ của $AC$ và $BD$ và $O$ không nằm trên đường thẳng $BD$.
Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$. Đường thẳng $OG$ cắt $EF$ tại $I$.
a. chứng minh $BEIC$ $DFIC$ VÀ $OBID$ nội tiếp đường tròn
b. gọi $M$ $N$ là tâm của đường tròn $(BCE)$ và $(DCF)$. Gọi $P$ $Q$ là giao điểm của $(CMN)$ và $(OBD)$. Chứng minh $OI$ $PQ$ và $MN$ đồng quy và tam giác $EAF$ và $MON$ đồng dạng
Bài 6. cho đa thức $P(x)=x^n-(p-1)x+p$ trong đó $n\geq 2$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $P(x)$ phân tích thành 2 đa thức với hệ số nguyên khác đa thức hằng số thì $P(x)$ có nghiệm $z$ sao cho $\left | z \right |=1$
Bài 7 Cho $p>5$ là số nguyên tố và $p\neq 107$ ta viết
$\frac{1}{1^{2003}}+\frac{1}{2^{2003}}+...+\frac{1}{(P-1)^{2003}}=\frac{a}{b}$
Trong đó $a$ $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $p^2\setminus a$
@Zaraki: Cho phép mình gộp hai bài viết lại để mọi người dễ đọc + thấy được đề trên trang chủ.

Có ai chứng minh hộ định lý Fagnano đk k?

http://www.math.uoc....ms/Fagnano.html

1 cách cm nhưng chắc lên cấp 3 mới hiểu

http://forumgeom.fau...e4/FG200422.pdf

                                                            THTT 03-2016

ĐỀ RA KỲ NÀY

các lớp THCS

Bài T1/465 (lớp 6)

Đặt $S=1.2^0 +2.2^1+3.2^2+...+2016.2^2015$ và quy ước $2^0=1$

so sánh $S$ và $2015.2^{2016}$

Bài T2/465 (lớp 7)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB<AC$. Trên tia đối $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $BD=AC$, trên tia đối $CA$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=AD$. Tia $DC$ cắt $BE$ tại $F$

tính số đo  $\measuredangle CFB$

 Bài T3/465 

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{a^2+1}{bc} +\frac{b^2+1}{ca}+\frac{c^2+1}{ab}$ là 1 số nguyên dương

chứng minh rằng $(a,b,c)\leq [\sqrt[3]{a+b+c}]$

trong đó $(a,b,c)$ là ước chung lớn nhất của $a,b,c$ và $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt qua $x$ 

Bài T4/465 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ( $AB<AC$) và $BC=2+2\sqrt{3}$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có bán kính bằng $1$.

tính số đo góc $B$ và $C$ 

Bài T5/465 

Giải phương trình 

$\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$

Các lớp THPT 

Bài T6/465 

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} e^x=y+\sqrt{z^2+1}\\ e^y=z+\sqrt{x^2+1}\\ e^z=x+\sqrt{y^2+1} \end{matrix}\right.$

Bài T7/465 

Số nào lớn hơn

$sin(cosx)$ hay $cos(sinx)$?

Bài T8/465

Cho  $A,B,C$  là 3 góc của 1 tam giác

chứng minh rằng $\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}\leq \frac{2}{3}(cot(\frac{A}{2})+cot(\frac{B}{2})+cot(\frac{C}{2}))$

Bài T9/465

Tìm giá trị dương lớn nhất  của số thực $T$ sao cho với mọi $a,b,c$ dương thõa mãn điều kiện $abc=1$ 

thì bđt sau luôn đúng: $\frac{a+b}{b(a+1)}+\frac{a+c}{c(b+a)}+\frac{c+a}{a(c+1)}\geq T$

Tiến tới OLYMPIC TOÁN 

Bài T10/465

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{2}$ chia hết cho $2xy^{2}-y^{3}+1$

 Bài T11/465

Tìm tất cả các hàm đơn điệu $f: \left ( 0;+\infty \right )\rightarrow R$

thỏa điều kiện $f(x+y)=x^{2016}f(\frac{1}{x^{2015}})+y^{2016}f(\frac{1}{y^{2015}})$

với mọi $x,y$ dương

 Bài T12/465

Cho tam $ABC$ cân tại $A$ có $\measuredangle A <90$, đường cao $CD$. Gọi E là trung điểm $BD$, M là trung điểm $CE$, phân giác góc $\measuredangle BCD$ cắt $CE$ tại $P$. Đường tròn tâm $C$ bán kính $CD$ cắt $AC$ tại $Q$. Gọi $K=PQ\cap AM$

chứng minh tam giác $KCD$ vuông 

...

Mình lười ghi tác giả quá sorry 

Nếu có gì thì xin mọi người chỉ bảo ạ  em là ma mới ạ   

 

1-6

chúc mọi người có ngày quốc tế thiếu nhi vui vẻ    

 cám ơn đã đọc        

Cho tam giác $ABC$ điểm $M$  bất kỳ . Gọi $\left\{\begin{matrix} \alpha=\measuredangle BMC \\ \beta=\measuredangle BMA\\ \delta =\measuredangle AMC \end{matrix}\right.$

Có thể tìm điểm $M$ để thõa mãn $\left\{\begin{matrix} \alpha =n\measuredangle A\\ \beta =n\measuredangle C\\ \delta=n\measuredangle B \end{matrix}\right.$   với $n$ là 1 số không âm  hay không ? 

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} \alpha =n\measuredangle A\\ \beta =n\measuredangle C\\ \delta=n\measuredangle B \end{matrix}\right.$

Ta cộng các biểu thức vế theo vế và chú ý $\measuredangle A + \measuredangle B + \measuredangle C = 180^0$ và do $M$ thuộc miền trong tam giác nên 

$\alpha + \beta + \delta = 360^0 \Rightarrow n=2.$

Với $n=2$ thì bạn đã nói ở trên.

nhưng liệu ta có thể tìm được hoặc dựng được với $n=\frac{1}{2}$ không 

$n=2$ thì đơn giản rồi 

Ý của mình là $n=2$ là nghiệm duy nhất. Bạn đọc lại đi, mình giải ra $n$ đấy chứ. 

ok mình sửa lại với $M$ là điểm bất kỳ rồi. Tại tối qua suy nghĩ không kỹ sorry nha