iloveyouproht nội dung
Có 153 mục bởi iloveyouproht (Tìm giới hạn từ 10-06-2020)
#662905 gõ thử công thức toán
Đã gửi bởi iloveyouproht on 24-11-2016 - 15:44 trong Thử các chức năng của diễn đàn
#653973 gõ thử công thức toán
Đã gửi bởi iloveyouproht on 12-09-2016 - 23:37 trong Thử các chức năng của diễn đàn
Trước hết, ta chứng minh BĐT sau :
$$\dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+ca}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+ab}} \le \sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right )$$
Áp dụng CS, ta có :
$$\left (\sum \dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}\right )^2 =\left [\sum \sqrt{\dfrac{(a+b)(a+c)}{a^2+bc}}.\dfrac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\right ]^2 \le \left [\sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{a^2+bc}\right ]\left [\sum \dfrac{1}{(a+b)(a+c)}\right ]$$
$$=\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\left [\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\right ]$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\left [\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\right ]\le 2\left (\sum \dfrac{1}{b+c}\right )^2$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\le \dfrac{\left (a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca\right )^2}{(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}-3 \le \dfrac{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}{(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)(a-c)\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ] \ge 0$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$, khi đó, ta có $a-c\ge \dfrac{a}{b}(b-c) \ge 0$
Do đó :
$$ \sum (a-b)(a-c)\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ] \ge \dfrac{(a-b)(a-c)}{b}\left \{a\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ]-b\left [\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{(a+c)(a+b+c)}\right ]\right \}$$
$$=\dfrac{c(a-b)^2(a+b)(b-c)\left (a^2+b^2-ab+ac+bc\right )}{b(a+c)(b+c)(\left (a^2+bc\right )\left (b^2+ca\right )} \ge 0$$
Trở lại bài toán, ta chỉ cần chứng minh :
$$\sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right ) \le \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
Thật vậy :
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ =\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
$$\le \dfrac{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}{8\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}} \le \dfrac{3}{2}\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right ) \le \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
Qúy <3 Kiên
#652509 gõ thử công thức toán
Đã gửi bởi iloveyouproht on 02-09-2016 - 23:42 trong Thử các chức năng của diễn đàn
5a . Đầu tiên ta chứng minh P $\leq 3$
Ta có : P-3=$\sum \frac{(a+b)^{2}}{\sum a^{2}+ab} -3 =\sum \frac{ab-c^{2}}{\sum a^{2}+ab} =\frac{(ab-c^{2})(3+\frac{1}{ab})}{(\sum a^{2}+ab)(1+1+1+\frac{1}{ab})} \leq \frac{3(\sum ab) -3(\sum c^{2})-\sum \frac{c^{2}}{ab}}{(a+b+c+1)^{2}}$
=> P-3 $\leq \frac{(a+b+c)^{2}+3-(a+b+c)^{2}-3}{(a+b+c+1)^{2}}=0$
=> P $\leq 3$
Dấu = tại a=b=c
Tiếp đến sẽ cm $\geq 2$
Ta có : $\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab}\geq \sum \frac{(a+b)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab }=\frac{\sum (a+b)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}=2$
Dấu = tại a=b=0
#634597 Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh:$\sqrt{\frac{a...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 21-05-2016 - 22:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đã trả lời tại đây : http://diendantoanho...-2/#entry633507
#664734 Tìm GTNN của biểu thức: $\sqrt{a^2+ab+2b^2} +\sqrt{b^2+bc+2c^...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 15-12-2016 - 20:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
$\sqrt{a^2+ab+2b^2} +\sqrt{b^2+bc+2c^2} +\sqrt{c^2+ac+2a^2}$.
mong mọi người giải giùm.
Ở đây mình có cách giải tổng quát bài này chỉ bằng phép biến đổi tương đương . B xem tại đây : http://diendantoanho...ca2a2geq-sqrt5/
#656675 $\sum \frac{4}{a+b} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 04-10-2016 - 17:00 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc = 1$.Chứng minh rằng:
$a^4 + b^4 +b^4 + a + b + c + \frac{2a}{b^2+c^2} + \frac{2b}{a^2+c^2} + \frac{2c}{a^2+b^2} \geq 9$
Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:
$\sqrt{5a^2+4bc} + \sqrt{5b^2+4ca} + \sqrt{5c^2+4ab} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} + 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng:
$\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9$
Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca = 1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{1+9b^2ca}+\frac{b^3}{1+9c^2ab}+\frac{c^3}{1+9a^2bc} \geq \frac{(a+b+c)^3}{18}$
Bài 5: Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng:
$(a^2+b^2+c^2)\left ( \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right ) \geq \frac{9}{2}$
Bài 6: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$
Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right )+c\left ( \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \right )=6$.
Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a(2b+c)}+\frac{ca}{b(2a+c)}+\frac{4ab}{c(a+b)}$
Bài 8: Cho 3 sô thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z \leq \frac{3}{2}$.
Tìm GTNN của $P=\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}+\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}$
Bài 9: Cho các số thực dương thoả mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$.
Tìm GTNN của $P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}$.
Mọi người giúp em với ạ. Em xin cảm ơn!!!
Bài 2 đã được anh dogsteven Giari . Mình xin trích lại như sau :
Bất đẳng thức có tích rời rạc, việc đầu tiên của ta là gom lại.
Bất đẳng thức trên tương đương với: $\sum \dfrac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\geqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2\sqrt{5a^2+4bc}+2\sum a^2\sqrt{bc}}$
Tiếp theo là "phá căn". Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$\sum a^2\sqrt{5a^2+4bc}\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\left[5(a^4+b^4+c^4)+4abc(a+b+c)\right]}$
$2\sum a^2\sqrt{bc}\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}(ab+bc+ca)$
Do đó ta chỉ cần chứng minh: $5(a^2+b^2+c^2)\geqslant \sqrt{15(a^4+b^4+c^4)+12(ab+bc+ca)}+2(ab+bc+ca)$
Đến đây dễ rồi.
#660925 $a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 07-11-2016 - 00:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng
$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc \geq 9$
Ta có : P= $a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6abc$ => 2P = $2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 12abc$
Mà : $a^{3} + a^{3} + 4 \geq 6a^{2}$
Tương tự với b,c cộng lại ta được : $2P \geq 6(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12abc-12$
Ta có bđt : $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc \geq 2 ( ab + bc +ca )$ ( schur )
=> $2P \geq 6(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 12abc-12 \geq 12( ab +bc +ca )-12=18$
=> đpcm
#687228 Cho $x,y,z > 0$ thỏa xyz=1. Chứng minh rằng: $\sum...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 11-07-2017 - 15:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1. Cho $x,y,z > 0$ thỏa xyz=1. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{1+x+x^2} \geq 1$
Bài 2. Cho a, b , c > 0 thỏa $a+b+c =1$. Chứng minh rằng
$\frac{a^2+b}{b+c} + \frac{b^2+c}{c+a} + \frac{c^2+a}{a+b} \geq 2$
Bài 3. Cho a, b, c > 0 thỏa $a^2+b^2+c^2 = 3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
1.
#639011 Tìm max $(1+2a)(1+2bc)$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 08-06-2016 - 21:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đúng r . Cho xin luôn
#672624 Cho a,b,c >0 Tìm min $$\sum \frac{a}{a...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 24-02-2017 - 19:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
2. $\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$ vs a,b,c>0
cách khác nếu b cần
#675525 Chứng minh rằng : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc \geq 10$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 28-03-2017 - 15:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3.$
Chứng minh rằng : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc \geq 10$
Ta có bđt phụ : $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(\sum ab)$ (*)
Chứng minh (*): https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : $3(\sum a^{2})+abc=\frac{1}{2}\left [ 6(\sum a^{2})+2abc \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 5(\sum a^{2})+2(\sum ab) -1\right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 7(\sum ab) -1\right ]=10$
-
#675710 Chứng minh rằng : $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc \geq 10$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 30-03-2017 - 14:14 trong Bất đẳng thức và cực trị
đề là ab+bc+ca+abc=4 ạ, mình viết nhầm nữa ._.
Nếu gt thay đổi thì ta cũng chỉ cần biến đổi thêm chút là đc :v
Từ gt=>abc$\leq 1$
Ta có bđt phụ : $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(\sum ab)$ (*)
Chứng minh (*): https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : $3(\sum a^{2})+abc=\frac{1}{2}\left [ 6(\sum a^{2})+2abc \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 5(\sum a^{2})+2(\sum ab) -1\right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 7(\sum ab) -1\right ]= \frac{1}{2}\left [ 7(4-abc) -1\right ]\geq 10$
#668887 Tìm min $\sum \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 19-01-2017 - 20:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
chung minh voi x,y,z la cac so thuc duong sao cho x+y+z=1 tim gia tri nho nhat cua
$\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}$
:$\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}-\sum \frac{y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\sum x-\sum y=0$
=>$\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac{1}{2}(\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}+\sum \frac{y^4}{(x+y)(x^2+y^2)})=\frac{1}{2} \sum \frac{x^4+y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}\geq \frac {1}{4}\sum \frac{(x^2+y^2)^2}{(x+y)(x^2+y^2)}\geq \frac{1}{8}\sum \frac{ (x+y)^2}{x+y}=\frac{1}{8}\sum (x+y)=\frac{1}{4}$
=>đpcm
#647041 Tìm GTNN của P=$\frac{1}{2a^{2}+1}+...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 29-07-2016 - 15:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ý bạn là đề thế này
Cũng tương tự thôi b
$P=\dfrac{1}{4a^2+2}+\dfrac{1}{4b^2+2}+\dfrac{1}{6ab}+\dfrac{1}{6ab}+\dfrac{6044}{3ab}$
$\geq \dfrac{16}{4a^2+12ab+4b^2+4}+\dfrac{6044}{3ab}$
$=\dfrac{4}{(a+b)^2+ab+1}+\dfrac{6044}{3ab}$
$\geq \dfrac{4}{\dfrac{5}{4}(a+b)^2+1}+\dfrac{6044}{3.\dfrac{(a+b)^2}{4}}=\dfrac{6046}{3}$
Vậy $Min_P=\dfrac{6046}{3} \iff a=b=1
[/quote
ưn
#660617 cm: $\frac{a^2}{a+b^2} +\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 04-11-2016 - 21:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thưc dương a,b,c thoa man $ a+b+c \geq ab+bc+ac$
cm:
$\frac{a^2}{a+b^2} +\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2}$
cho các số thưc $a,b,c abc<0$ va $a+b+c=0$ tìm gtnn $P =(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1-ab-bc-ac) +\frac{12abc-8}{ab+bc+ac}$
Chém tạm bài 1 ạ :
$\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}} \geq \sum a- \sum \frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}} = \sum a - \frac{\sqrt{a}b}{2} \geq \sum a - \frac{\sqrt{(\sum a)(\sum ab)}}{2} \geq \sum a - \frac{\sum a}{2}$ ( Do $ a+b+c \geq ab+bc+ac$ ) => ĐPCM
#647052 Cho x, y, z>0 : CMR: $\sum \frac{x^{3}...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 29-07-2016 - 16:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x, y, z>0 :
CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$
Áp dụng bđt holder ta có : $(\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{3}} )9\geq (\sum \frac{x}{x+y})^{3} => VT\geq \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} Ta cần cm : \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} \geq \frac{3}{8} <=> \sum \frac{x}{x+y} \geq \frac{3}{2} Đến đây b tự làm nha$
#648984 Tìm GTNN của $P=\frac{b+2c}{1+a}+\frac...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 11-08-2016 - 09:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có đánh giá sau : $9\leq 3c(a+b+c)\leq (4c+a+b)^{2}/4\Rightarrow 2\geq 4c+b+a-4$
Lại có : $\frac {b+2c}{a+1}+\frac {a+2c}{b+1}=(a+b+2c)(\frac {1}{a+1}+\frac{1}{b+1})-2\geq\frac{4(a+b+2c)}{a+b+2}-2 \geq \frac{4(a+b+2c)}{2(a+b+2c)-4}-2$
Đến đây xét hàm f(t) với t=a+b+2c thuộc (0;4] chắc là ổn
Hình Như chỗ này ngược dấu phải k ạ
#643510 Tìm min $P=\sum\frac{1}{a}+48\sum ab$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 03-07-2016 - 21:47 trong Bất đẳng thức và cực trị
#647046 Tìm GTNN của P=$\frac{1}{2a^{2}+1}+...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 29-07-2016 - 15:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tks . N nham tyB nên xem lại lí thuyết vì dấu "=" $\iff \dfrac{a_1}{b_1}=...\dfrac{a_n}{b_n} \iff 4a^2+2=4b^2+2=6ab \iff a=b=1$
#652758 CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\s...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 04-09-2016 - 15:28 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1
CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$
Đối với những bài dạng như thế này , đầu tiên ta nhận thấy dấu = xảy ra tại a=b nên ta đưa nó về dạng : $\sqrt{(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma (x-y)^{2}}$ Để tìm Min
Mà : $\sqrt{(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma (x-y)^{2}} = \sqrt{(\alpha ^{2}+\gamma )x^{2}+(2\alpha \beta -2\gamma )xy+(\beta ^{2}+\gamma)y^{2} }$
Đồng nhất hệ số ta đưa nó về giải hệ : $$\left\{\begin{matrix} \alpha ^{2}+\gamma =2 \\2\alpha \beta -2\gamma =1 \\ \beta^{2}+\gamma=2\end{matrix}\right.$$
giải ra đươc : $\alpha =\beta =\sqrt{\frac{5}{2}} ; \gamma =\frac{3}{4}$
Sau đó đưa về cách giải của bạn le truong son đã đăng
#647053 Tìm min $a^2(a+1) +b^2(b+1)$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 29-07-2016 - 17:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
a, b càng nhỏ thì biểu thức chạy về 0 nhưng ko đạt cực trị tại 0 => ko có min
#647054 Tìm min $a^2(a+1) +b^2(b+1)$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 29-07-2016 - 17:04 trong Bất đẳng thức và cực trị
Nếu mà tìm max thì dồn biến về b là xong
#648434 tìm GTNN của $A= 3^x+3^y$ với x+y=4
Đã gửi bởi iloveyouproht on 07-08-2016 - 17:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
1.tìm GTLN của B= ($(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$ với a+b+c+d=1 và a,b,c,d>0
B xem lại đề dùm mình được không ? Hình như đúng phải là : $\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}$
Ta có : $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}=(a+b-2\sqrt{ab})^{2}=(a+b)^{2} -4(a+b)\sqrt{ab} + 4ab \leq (a+b)^{2} - 4ab = a^{2}+b^{2}-2ab$
Tương Tự ta được : $\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4} \leq 3(a+b+c+d)^{2}-8(ab+ac+ad+bd+bc+cd)\leq 3(a+b+c+d)^{2}=3$
Vậy max B =3
Dấu = xảy ra khi (a;b;c;d)=(1;0;0;0) và các hoán vị
#648679 Chứng minh $\LARGE \frac{1}{1+a^3} +...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 09-08-2016 - 01:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc$\LARGE \geq 1$.CMR
$\LARGE \frac{1}{1+a^3} + \frac{1}{1+b^3} + \frac{1}{1+c^3} \geq \frac{3}{1+abc}$
Trước tiên ta có bđt phụ : $\frac{1}{1+a^{2}} +\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$ ( Cái này b tự cm , nếu k cm được gì ib mình )
Ta có : $\frac{1}{1+a^{3}} + \frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}$
$\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{4}}}$
Cộng vế theo vế ta được :
$\sum \frac{1}{1+a^{3}} +\frac{1}{1+abc}\geq 2(\frac{1}{1+\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{4}}})\geq 2\frac{2}{1+abc}=\frac{4}{1+abc}$
<=>$\sum \frac{1}{1+a^{3}}\geq \frac{3}{1+abc} ( Q.E.D)$
#636090 Chứng minh : $\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 27-05-2016 - 22:11 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,c,b là 3 số thực dương thỏa mãn ab + bc +ac +abc = 4 . Chứng minh :
$\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq 3$
- Diễn đàn Toán học
- → iloveyouproht nội dung