Cho a,b,c là các số dương , Chứng minh :  $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(b+c)} + \frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

 

$\frac{x^{2}}{\sqrt{8x^{2}+3y^{2}+14xy}} + \frac{y^{2}}{\sqrt{8y^{2}+3z^{2}+14yz}} + \frac{z^{2}}{\sqrt{8z^{2}+3x^{2}+14zx}} \geq \frac{x+y+z}{5}$

 

$\frac{x^{2}}{x-1}+4(x-1)\geq4x; \frac{y^{2}}{y-2}+4(y-2)\geq 4y; \frac{z^{2}}{z-3}+4(z-3)\geq 4z\Rightarrow VT\geq 4x+4y+4z-4x-4y-4z+4+8+12= 24$
min P=24 <=> x=2; y=4; z=6

tại sao lại chọn 4(y-2) chứ k phải là các số khác . Tại sao lại là 4 . B guíup m tý đc k

Cho a,b,c>0 ; abc=1 .Tim Max : $\frac{1}{a^{5}+b^{5}+ab} + \frac{1}{b^{5}+c^{5}+bc} + \frac{1}{c^{5}+a^{5}+ac}$

Cho a,b,c >0 . Sao cho a+b+c=2

Tìm Min : $\sqrt{a^{2}+ b^{2} + c^{2}} + \frac{ab+bc+ca}{2} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cho a,b,c >0  ; abc$\geq$ 1

Chứng Minh : $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}} \leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Đặt biểu thức là P

Sử dụng bất đẳng thức C-S, ta có:

$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

Suy ra, ta có: $P\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a^2+b^2+c^2$

Thật vậy: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca= \frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Chỗ này sao lại đc 1/a + 1/b = 1/c b

Chỗ này sao lại đc 1/a + 1/b = 1/c b

 

Đặt biểu thức là P

Sử dụng bất đẳng thức C-S, ta có:

$(a^5+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+b^2+c^2)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{a^5+b^2+c^2}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^2+c^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}$

Suy ra, ta có: $P\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\frac{2}{a^2+b^2+c^2}$

Ta chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq a^2+b^2+c^2$

Thật vậy: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca= \frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

từ 1/a + b^2 + c^2 sao lại ra được 1/a + 1/b + 1/c ?

Đúng r . Cho xin luôn

Áo dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+yz}})=[\sum \sqrt{x+y}.\sqrt{\frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}}]^2\leq [\sum (x+y)][\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]=2[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]$

Cuối cùng ta chỉ việc chứng minh:

$4[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]\leq \sum x$

$\Leftrightarrow \sum xy(x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$

ai giai thich ho m dong nay voi

Cho a,b,c $\geq$1 Chứng minh : $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \geq \frac{3}{1+abc}$

Đặt $a=x+1,b=y+1,c=z+1 \rightarrow 0\leq x,y,z \leq 2 và x+y+z=3$
Giả sử x=max{x,y,z} $\rightarrow 1\leq x\leq 2$
$\rightarrow (x-1)(x-2) \leq 0$
Có $P=a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+9$
Mặt khác $x^2+y^2+z^2=x^2+(y+z)^2-2yz \leq x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9=2(x-1)(x-2)+5 \leq 5$ (vì $y,z\geq 0 \rightarrow -2yz\leq 0$)
Do đó$ P \leq 14$
Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0) \leftrightarrow (a,b,c)=(3,2,1)$ và các hoán vị
 

Tuyệt thật ! B lấy ý tưởng như thế nào ra đc thế này vậy

Cần cm : $\sum x^{3}y \geq \sum y^{3}x$ . Gỉa sử z $\geq y\geq x$

Ta có : $\sum x^{3}y - \sum y^{3}x = xy(x-y)^{2} + (z-x)(z-y)(xy+xz - y^{2}) \geq 0 => right$

=> $( \sum x^{3}y )^{2} \geq (\sum x^{3}y )(\sum y^{3}x) \geq ($\sum$(xy)^{2} )^{2} => đpcm$

Cho a,b,c >0 . a+b+c=3 Chứng minh : $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + 9abc \geq 9$

Cho a,b,c dương .   ab+bc+ca=1  . Chứng Minh : $(a+b+c)^{3}\geq 4(a+b+c)^{2}$

Cho a,b,c dương . abc=3 . Chứng Minh : $(a+b+c)^{3}\geq 7(a+b+c) + \frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$

.

http://diendantoanho...2b21frac2015ab/

[quote name="leminhnghiatt" post="647035" timestamp="1469780007"]


Ý bạn là đề thế này
Cũng tương tự thôi b



$P=\dfrac{1}{4a^2+2}+\dfrac{1}{4b^2+2}+\dfrac{1}{6ab}+\dfrac{1}{6ab}+\dfrac{6044}{3ab}$

$\geq \dfrac{16}{4a^2+12ab+4b^2+4}+\dfrac{6044}{3ab}$

$=\dfrac{4}{(a+b)^2+ab+1}+\dfrac{6044}{3ab}$

$\geq \dfrac{4}{\dfrac{5}{4}(a+b)^2+1}+\dfrac{6044}{3.\dfrac{(a+b)^2}{4}}=\dfrac{6046}{3}$

Vậy $Min_P=\dfrac{6046}{3} \iff a=b=1
[/quote
ưn

B nên xem lại lí thuyết vì dấu "=" $\iff \dfrac{a_1}{b_1}=...\dfrac{a_n}{b_n} \iff 4a^2+2=4b^2+2=6ab \iff a=b=1$

Tks . N nham ty

Cho x, y, z>0 :

CMR: $\frac{x^{3}}{(x+y)^{3}}+\frac{y^{3}}{(y+z)^{3}}+\frac{z^{3}}{(z+x)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

 

Áp dụng bđt holder ta có : $(\sum \frac{x^{3}}{(x+y)^{3}} )9\geq (\sum \frac{x}{x+y})^{3} => VT\geq \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} Ta cần cm : \frac{1}{9}(\sum \frac{x}{x+y})^{3} \geq \frac{3}{8} <=> \sum \frac{x}{x+y} \geq \frac{3}{2} Đến đây b tự làm nha$

a, b càng nhỏ thì biểu thức chạy về 0 nhưng ko đạt cực trị tại 0 => ko có min

Nếu mà tìm max thì dồn biến về b là xong