Biết a+b+c=2 . Chứng minh  : $\frac{\sqrt{a}}{a+1} + \frac{\sqrt{b}}{a+b+1} + \frac{\sqrt{c}}{a+b+c+1} \geq \sqrt{2}$

Cho a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=2

Chứng Minh : $\frac{\sqrt{a}}{1+a} + \frac{\sqrt{b}}{1+a+b} + \frac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\leq \sqrt{2}$

cho  $z\geq y\geq x> 0$ Chứng minh : $y( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) + \frac{1}{y}(x+z) \leq (x+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} )$

Chứng minh : căn 2 + căn 5 là số vô tỷ  )

cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y\leq z$ chứng minh rằng:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

Cho a,b,c > 0 ; abc=b+2c Tìm Min

$\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{c+a-b}+\frac{5}{a+b-c}$

ta có: $abc=2c+b \Leftrightarrow  a= \frac{2}{b}+ \frac{1}{c}$

cho x,y là 2 số dương thay đổi.tìm gtnn của biểu thức:$s=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$

$S=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+\frac{(x+y)^{2}}{2xy}\geq (x+y)^{2}\frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{4xy}{2xy}=6$

Giả sử $A,B,C$ là ba góc của một tam giác nhọn. 

Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{cosAcosB}{cosC}}+\sqrt{\frac{cosBcosC}{cosA}}+\sqrt{\frac{cosCcosA}{cosB}}> 2$

Đào mộ ạ :v

____________________________________

BĐT <=> $\sum \sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})}{2a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}> 2$

Đặt : $a^{2}+b^{2}-c^{2}=x;b^{2}+c^{2}-a^{2}=z;c^{2}+a^{2}-b^{2}=y$

Ta cần cm : $\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}>2$

Đúng vì : $\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}=\frac{xy}{\sqrt{xy.z(x+y)}}\geq 2(\sum \frac{xy}{xy+yz+zx})=2$

Dấu = xảy ra khi một trong các số xy;yz;zx=0 . Điều này không thể do đó :

$\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}>2$ hay : $\sum \sqrt{\frac{CosACosB}{CosC}}>2$

cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=3 

tìm GTNN của $\sum \frac{a}{b^{3}+ab}$

Ta có ; $\frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{b}-\frac{b}{b^{2}+a}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+1)=\frac{1}{b}-\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}$

tương tự . Cộng lại ta được : $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{1}{4a}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(\sum \frac{1}{a})-\frac{3}{4}\doteq \frac{3}{4}(\frac{9}{a+b+c})-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

Cho thỏa$a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{3}$. Chứng minh:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{27}{2}$

B xem lại đề nha . Thử vs a=b=0.01;c=2 thì chỉ riêng $\frac{1}{a+b}=50$ rồi => BĐT sai

Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{5}$ . Chứng minh rằng $(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\leq \sqrt{5}$

giả sử c=min(a,b,c)

 $P=(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})(a^{2}-c^{2})$ nếu $a\geq b$ thì $P\leq 0$ (BĐT Đúng )

Nếu b>a . Ta có :

$P\leq a^{2}b^{2}(b^{2}-a^{2})$

$P^{2}\leq a^{4}b^{4}(b^{2}-a^{2})^{2}= a^{4}b^{4}(b+a)^{2}(b-a)^{2}\leq 5a^{4}b^{4}(b-a)^{2}$

Mà theo AM-GM : $a^{4}b^{4}(b-a)^{2}\leq \left [ \frac{(b-a)^{2}+ab+ab+ab+ab}{5} \right ]^{5}=\left [ \frac{(a+b)^{2}}{5} \right ]^{5}\leq 1$

=> $P\leq \sqrt{5}$ ( ĐPCM )

Dấu = xảy ra khi $(b-a)^{2}=ab$ và $a+b=\sqrt{5}$ ( cái nhiệm này b tự giải nhá ) 

1) Cho các số dương thỏa mãn: $abc\geq 1$

CMR: $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \sqrt{2}(a+b+c)$

2) Cho các số dương thỏa mãn: $xyz=1$

CMR: $\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{y^2+1}+\frac{z^4x}{z^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 

1.Ta có :

$\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{2a}\leq \sqrt{2(a^{2}+1+2a)}\doteq \sqrt{2}(a+1)$

Tương tự , cộng vế theo vế ta đc : $\sum \sqrt{a^{2}+1}+\sum \sqrt{2a}\leq \sqrt{2}(\sum a)+3\sqrt{2}$

=>$\sum \sqrt{a^{2}+1}\leq \sqrt{2}(\sum a)+3\sqrt{2}-\sum \sqrt{2a}\leq \sqrt{2}(\sum a)$(đpcm)

1) Cho các số dương thỏa mãn: $abc\geq 1$

CMR: $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \sqrt{2}(a+b+c)$

2) Cho các số dương thỏa mãn: $xyz=1$

CMR: $\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{y^2+1}+\frac{z^4x}{z^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh rằng

(a+b-c-1)(b+c-a-1)(a+c-b-1)$\leq$8

Từ giả thiết suy ra :  ab+bc+ca=abc . Bạn xem tại đây :

https://diendantoanh...a-1ca-b-1leq-8/

Câu 1: $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{\sqrt{xy}}$. Tìm Min 

câu 2: $a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3\geq 0$ với a,b,c là các số thực

câu 3:Cho $a\geq 0 , b\geq 0,c\geq 0$. Chứng minh : $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

câu 4 cho số a,b,c dương. Chứng minh :  $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Chém tạm câu 4 vậy   

Đặt : $a=\frac{kx}{y} ; b= \frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$

Bđt cần cm tương đương : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} \geq \frac{3}{k(k+1)}$

Ta có : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} = \sum \frac{(yz)^{2}}{k^{2}xzy^{2}+kxyz^{2}}\geq \sum \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{kxyz(\sum x+\sum kx)}\geq \sum \frac{3xyz(\sum x)}{kxyz(1+k)(\sum x)}= \frac{3}{k(k+1)}$ (Q.E.D)

Câu 3 bđt ngược dấu nếu thử với (a;b;c)=(0;1;1)

$\frac{x^{2}}{\sqrt{8x^{2}+3y^{2}+14xy}} + \frac{y^{2}}{\sqrt{8y^{2}+3z^{2}+14yz}} + \frac{z^{2}}{\sqrt{8z^{2}+3x^{2}+14zx}} \geq \frac{x+y+z}{5}$

cho $a,b,c>0$ t/m $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm max $ab+bc+ca$

Cho ( O , R )  Dây cung BC  cố định . A nằm trên cung lớn BC sao cho Tam giác ABC là Tam giác nhọn . Đường cao AD ,BE CF đòng quy tại H , BE , CF kéo dài cắt (O) tạI Q , P

a) Gọi I là trung điểm của BC . C/M : Góc FDE = 2ABC VÀ FDE = FIE

b) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC để chu vi DEF lớn nhất

1) lập quy trình tính ( bằng máy sasio fx 570ES Plus ) : a)  $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}).......(1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{10})$

 b) $\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{10!}$

 c) $a_1=3$ , $a_{n+1}=\frac{\sqrt{a_n^2+a_n}}{a_n^3+2}$ 

 d) Bỏ số hạt kê vào các hộp . Hộp 1 bỏ 1 hạt . Hộp 2 bỏ 3 hạt . hộp 3 bỏ 7 hạt . hộp 4 bỏ 17 hạt . Hỏi đến hộp 20 bỏ bn hạt . lập quy trình tình tổng số hạt của 20 hộp

p/s: ai có thủ thuật gì về lập quy trình chỉ em với ạ . Em k giỏi phần này lắm

2. Từ 1 đến 4^60 có bao nhiêu số chính phương 

Cho a,b,c $\geq$1 Chứng minh : $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \geq \frac{3}{1+abc}$

cần gấp 

Từ đk ta có : $\frac{1}{1+a}\geq \frac{2b}{1+b} + \frac{3c}{1+c} + \frac{5d}{1+d} \geq 10\sqrt[10]{\frac{b^{2}c^{3}d^{5}}{(1+b)^{2}(1+c)^{3}(1+d)^{5}}}$ (1)

                       $\frac{1}{1+b}\geq 10\sqrt[10]{\frac{abc^{3}d^{5}}{(1+a)(1+b)(1+c)^{3}(1+d)^{5}}}$

                     => $\frac{1}{(1+b)^{2}} \geq 10^{2}\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}c^{6}d^{10}}{(1+a)^{2}(1+b)^{2(1+c)^{6}}(1+d)^{10}}}$ (2)

      Tương tự :

    $\frac{1}{(1+c)^{3}} \geq 10^{3}\sqrt[10]{\frac{a^{3}b^{6}c^{6}d^{5}}{(1+a)^{3}(1+b)^{6}(1+c)^{6}(1+a)^{15}}}$ (3)

    $\frac{1}{(1+d)^{5}} \geq 10^{5}\sqrt[10]{\frac{a^{5}b^{10}c^{15}d^{20}}{(1+a)^{5}(1+b)^{10}(1+c)^{15}(1+d)^{20}}}$ (4)

Nhần 1,2,3,4 lại với nhau ta được :

  $\frac{1}{(1+a)(1+b)^{2}(1+c)^{3}(1+d)^{5}} \geq 10^{11}\frac{ab^{2}c^{3}d^{5}}{(1+a)(1+b^{2}(1+c)^{3}(1+d)^{5}}$

=> $ab^{2}c^{3}d^{5}\leq \frac{1}{10^{11}}$  (đpcm  ) 

a+b+c = 2 Chứng minh rằng : $(a+b-ab)(b+c-bc)(c+a-ca)\leq 1-abc$

Đặt $a=1-x;b=1-y;c=1-z$ suy ra $x+y+z=1$

$\Rightarrow a+b-ab=2-x-y-(1-x)(1-y)=1-xy$

Chứng minh tt ta có $b+c-bc=1-yz;c+a-ac=1-zx$

Ta cần cm:$(1-xy)(1-yz)(1-zx)\leq 1-(1-x)(1-y)(1-z)\Leftrightarrow (xyz)^{2}-xyz(x+y+z)+xyz+x+y+z-1\geq 0\Leftrightarrow (xyz)^{2}\geq 0$ (luôn đúng do $x+y+z=1$)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=1;c=0$ và các hoán vị

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR

$4abc[\frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(b+c)^2a}+ \frac{1}{(c+a)^2b}]+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\geqslant 9$

Ta có :

$4abc[\frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(b+c)^2a}+ \frac{1}{(c+a)^2b}]+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c} = \sum \frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\sum \frac{a+c}{2b} + \sum\frac{a+c}{2b} \geq 9$ (đpcm)

Cho các số $a,b,c>0$; $a+b+c+abc=4$.

Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Đã có ở đây ;

http://www.artofprob...unity/c6h127956

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CM

$\frac{2a^{2}}{a+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b+c^{2}}+\frac{2c^{2}}{c+a^{2}}\geq a+b+c$

Ta có :$\sum a^{2}=3=>\sum a\leq 3$

$VT=2(\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 2(\sum a-\frac{b\sqrt{a}}{2})\geq 2(\sum a-\frac{\sqrt{(\sum ab)(\sum a)}}{2})\geq 2(\sum a)-\frac{(\sum a)\sqrt{\sum a}}{\sqrt{3}}\geq \sum a$ (ĐPCM)