Cho a, b, c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=6$

CMR: $\sum \frac{1}{3a+3b+2c}\leq \frac{3}{2}$

Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z ta có : $\sum \frac{1}{x}=6$

Mà : VT=$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\sum \frac{4}{x})=\frac{1}{4}(\sum \frac{1}{x})=\frac{3}{2}$ ( đpcm )

Cái này hình như phải là $a$ chứ 

$\sum \frac{1}{a+b+c+\frac{b^{2}}{a}}\leq \sum  \frac{1}{2\sqrt{a+\frac{b^{2}}{a}}+b+c}$

Cho $a, b, c>0$ . Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geqslant 2(ab+bc+ca)$

Ta có : $\sum a^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}}= \sum a^{2}+\frac{3abc}{\sqrt[3]{abc}}\geq \sum a^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(\sum ab)$ ( đúng theo schur )
Bạn có thể tìm hiểu thêm về bđt schur tại đây :[post='Đây']https://julielltv.wo...t-doi-bien-pqr/[/post]

Cho a, b, c dương thỏa a+b+c=3. CMR : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$

Ta có : P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$

Đặt : $\left ( \frac{b}{a};\frac{c}{b} ;\frac{a}{c}\right )->\left ( x;y;z \right )$

=>xyz=1

P=$\frac{1}{x^{2}+x+1}$

Tiếp tục đặt : $\left ( x;y;z \right )->\left ( \frac{np}{m^{2}};\frac{nm}{p^{2}};\frac{pm}{n^{2}} \right )$

Ta đưa bđt về cần cm : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}$

Mà : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}\geq \frac{(\sum m^{2})^{2}}{\sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}}$

BĐT sẽ được CM nếu chỉ ra : $(\sum m^{2})^{2}\geq \sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}$

Hay : $\sum m^{2}n^{2}\geq mnp(\sum m)$(bất đẳng thức này đúng theo cauchy)

e nghĩ ko dc đặt ntn.Điều kiện bài toán sẽ bị thay đổi,

đặt được bình thường b à Vì khi mình đặt thì chỉ ở lần 2 mới liên quan đến diều kiện bài toán b ạ

Sao lại thế nhỉ, phải là:

$-1\leq cos3x\leq 1;-1\leq sinx\leq 1$

Đã sửa r ạ :v Mình rõ nhầm :v

Giải:

 $2cos2xcosx-cosx-sinx-2=0$

Ta có : $2cos2xcosx-cosx-sinx-2=0 <=>cos3x+cosx-cosx-sinx=2 <=>cos3x-sinx=2$

Mà $-1\leq cos3x;sinx\leq 1$

Nên Muốn VT=VP -> $\left\{\begin{matrix} cos3x=1 & & \\ sinx=-1 & & \end{matrix}\right.$

   Đến đây b tự giải lấy nghiệm nhá  

Tài liệu này dc úp trên trang lttk mà giá mua là 50k khá chát. Nên mình đóng thành pdf  để mọi người in và dùng free . Nhớ like và share nếu thấy tài liệu bổ ích

https://drive.google...aXZrbmlHYXkxVVk

tks thím <3

Bài 1: Cho a, b, c dương

CMR: $2\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^2+b^2+c^2+ab}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{(c+a)^2}{a^2+b^2+c^2+ca}\leq 3$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a+ b+ c=1

CMR: $a\sqrt{4b^{2}+c^2}+b\sqrt{4c^2+a^2}+c\sqrt{4a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}$

Câu 5b .

Đưa về cm VT $\leq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$

Giải:

GT $\Rightarrow$ Tồn tại các số $x,y,z>0$ sao cho $a=\frac{y+z}{x};b=\frac{z+x}{y};c=\frac{x+y}{z}$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}\leqslant \sqrt{3}$

Đến đây áp dụng BĐT Bunhiacopxki là ra

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

cái này là sao ạ

Áo dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+yz}})=[\sum \sqrt{x+y}.\sqrt{\frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}}]^2\leq [\sum (x+y)][\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]=2[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]$

Cuối cùng ta chỉ việc chứng minh:

$4[\sum \frac{x^2y}{(x+y)(x+z)}]\leq \sum x$

$\Leftrightarrow \sum xy(x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$

ai giai thich ho m dong nay voi

Ta phải cm : $\sum \frac{a}{a^{2}+2} \leq \sum \frac{a}{2a+1}\leq 2 <=> \sum \frac{1}{2a+1}\geq 1$

Áp dụng BĐT caychy ta có : $\sum \frac{1}{2a+1} + \sum \frac{2a+1}{9} \geq 2$

$<=> \sum \frac{1}{2a+1}\geq 1(đpcm)$

p/s : Muộn r :'(

Bạn có thể xem lại vế phải được không, dấu bằng xảy ra khi nào vậy?

Mình cũng k biết nữa K biết làm nên up lên cho m.n giải hộ thôi

Đặt $a=x+1,b=y+1,c=z+1 \rightarrow 0\leq x,y,z \leq 2 và x+y+z=3$
Giả sử x=max{x,y,z} $\rightarrow 1\leq x\leq 2$
$\rightarrow (x-1)(x-2) \leq 0$
Có $P=a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3=x^2+y^2+z^2+9$
Mặt khác $x^2+y^2+z^2=x^2+(y+z)^2-2yz \leq x^2+(3-x)^2=2x^2-6x+9=2(x-1)(x-2)+5 \leq 5$ (vì $y,z\geq 0 \rightarrow -2yz\leq 0$)
Do đó$ P \leq 14$
Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0) \leftrightarrow (a,b,c)=(3,2,1)$ và các hoán vị
 

Tuyệt thật ! B lấy ý tưởng như thế nào ra đc thế này vậy

Cho $x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=1$ Tìm max $A=x^2+y^2+z^2$

Ta có : $x^{2015} + x^{2015}+1+1...+1\geq 2015x^{2}(cauchy)$

Tương tự với y,z ta được : $2(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015})+6039\geq 2015(x^{2}+y^{2}+z^{2}) <=> \frac{6041}{2015}\geq \sum x^{2}$

=> Max A = $\frac{6041}{2015}$

Dấu = k xảy ra :'( 

 

Chắc sai :v

Cho a,b,c>0 ; abc=1 .Tim Max : $\frac{1}{a^{5}+b^{5}+ab} + \frac{1}{b^{5}+c^{5}+bc} + \frac{1}{c^{5}+a^{5}+ac}$

Cho a,b,c là các số dương , Chứng minh :  $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(b+c)} + \frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh

     $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq \frac{9}{4}$

P=$\sum \frac{a}{a+bc}=\sum \frac{a}{a(\sum a)+bc}=\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}=\frac{2(\sum ab)}{\prod (a+b)}$

Ấp dụng bđt : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)$

=> P$\leq \frac{2(\sum ab)}{\frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)}= \frac{9}{4}$(đpcm)

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=abc,,,,

Chứng minh rằng $(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leq 8$

 

Đây là đề thi tỉnh em hôm nay ,,đăng lên để mọi người tham khảo @@

Đào mộ

Đặt (x,y,z)->(a-1,b-1,c-1) => x,y,z>0

Ta có :

GT=> $\sum (x+1)(y+1)=\prod (x+1)<=>\sum x+2=xyz$

Ta cần cm : $\prod (a+b-c)\leq 8$

từ GT => $\sum x\geq 6$ => $xyz=\sum x+2\leq \frac{4(\sum x)}{3}$

Hay $\frac{xyz}{\sum x}\leq \frac{4}{3}$

Ta chỉ việc chứng minh : $\frac{xyz}{\sum x}\sqrt{\frac{27xyz}{\sum x}}\geq \prod (x+y-z)$

                           <=> $27x^{3}y^{3}z^{3}\geq (\sum x)^{3}\prod (x+y-z)^{2}$

Bây giờ lại đặt x+y-z=m ; y+z-x=n ; z+x-y=p => 2x=m+p ; 2y=m+n ; 2z=n+p 

Ta đưa bđt về cần cm : $27\prod (m+n)^{3}\geq 512m^{2}n^{2}p^{2}(\sum m)^{3}$

 Vì $9\prod (m+n)\geq 8( m+n+p)( mn+np+pm)$

Nên ta chỉ cần cm : $(m+n+p)^{3}( mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}(m+n+p)^{3}$

              <=> $(mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}$ ( đúng theo cauchy )

Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=3

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2y^{2}-9y-\dfrac{4}{x}=-2 \\ &4\sqrt{x+1}+xy\sqrt{y^{2}+4}=0 \end{matrix}\right.$

pt (1) <=> $2y^{2} - 9y +4 = \frac{4}{x} +2$

<=> $(2y^{2}-9y+4)^{2}=\frac{16}{x^{2}}+\frac{16}{x}+4$

<=> $\frac{16}{x^{2}} + \frac{16}{x} = (2y^{2}-9y+4)^{2} -4$

Do x khác 0 chia phương trình (2) choa x ta được : $\frac{4}{x}\sqrt{x+1} = -y\sqrt{y^{2}+4}<=> \frac{16}{x^{2}} +\frac{16}{x} = y^{2}(y^{2}+4)$

$=> y^{4} +4y^{2} = (2y^{2}-9y+4)^{2} -4 <=> (y^{2}+2)^{2} = (2y^{2}-9y+4)^{2} => y^{2}+2=\pm (2y^{2}-9y+4) =>y=>x .....$

1.Cho a, b$\in$[1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P=$\frac{b+3}{a^{3}-2a^{2}+b+4}+\frac{a+3}{b^{3}-2b^{2}+a+4}+\frac{a+b}{25}$

2. Cho a, b, c, d$\in$[1;2]. Chứng minh rằng:
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\leqslant 25$

3.Cho 3 số dương thỏa mãn abc=1.
CMR: (a+b)(b+c)(c+a)+7$\geq$5(a+b+c)

3.

pt (1) <=> $2y^{2} - 9y +4 = \frac{4}{x} +2

<=> (2y^{2}-9y+4)^{2}=\frac{16}{x^{2}+\frac{16}{x}+4}

<=> \frac{16}{x^{2}} + \frac{16}{x} = (2y^{2}-9y+4)^{2} -4$

Do x khác 0 chia phương trình (2) choa x ta được : $4\sqrt{x+1} = -y\sqrt{y^{2}+4}

$=> y^{4} +4y^{2} = (2y^{2}-9y+4)^{2} -4 <=> (y^{2}+2)^{2} = (2y^{2}-9y+4)^{2} => y^{2}+2=\pm (2y^{2}-9y+4) =>y=>x .....$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2y^{2}-9y-\dfrac{4}{x}=-2 \\ &4\sqrt{x+1}+xy\sqrt{y^{2}+4}=0 \end{matrix}\right.$

<=> \frac{16}{x^{2}} +\frac{16}{x} = y^{2}(y^{2}+4)$

 

b,$\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\leq \frac{a+b+c}{3}$

Ta có : $a+\sqrt{\frac{1}{2}a.2b}+\sqrt[3]{\frac{1}{4}a.b.4c}\leq a+\frac{1}{4}a+b+\frac{1}{12}a+\frac{1}{3}b+\frac{4}{3}c=\frac{4}{3}(a+b+c)$ => ĐPCM

1.   $x^3 + y^3 + 3(x^2 + y^2) + 4(x+y) +4=0 , xy>0$

Tìm max $M = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

2. Cho $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \leq 2015$

Tìm Max $P = \frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}$

3. Cho $x,y,z> 0$

Cm : $\sqrt{\frac{x+y}{z}} + \sqrt{\frac{z+x}{y}}+ \sqrt{\frac{y+z}{x}} \geq 3\sqrt{2}$