Ủng hộ

Bài 14:(thi thử lần 4 KHTN 2014-2015)

Cho a;b;c là các số thực dương thỏa $abc=a+b+c+2$, chứng minh rằng

$\sum\sqrt{\frac{1}{a+1}}\leq \sqrt{3}$

 Ta có $a+b+c+2=abc \Leftrightarrow \frac 1{a+1}+\frac 1{b+1}+\frac 1{c+1}=1$

Nên $VT \le \sqrt{3\sum \frac 1{a+1}}=\sqrt 3$

lời giải cho bài toán 41: ta có

*** Cannot compile formula:
(x^2+2)(y^2+2)(z^2+5)-(\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+2)^2(z^2+5)=\frac{1}{4}\left(4-2xy-\frac{x^2+y^2}{2}\right)(x-y)^2(z^2+5)


*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

ta chứng minh rằng 

*** Cannot compile formula:
4-2xy-\frac{x^2+y^2}{2} \ge 0 \Leftrightarrow z^2+\frac{x^2+y^2}{2}+2yz+2zx-5 \ge 0 

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

ta có 

*** Cannot compile formula:
z^2+\frac{x^2+y^2}{2}+2yz+2zx-5 \ge 

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

 $z^2+\frac{(3-z)^2}{4}+2z(3-z)-5 \ge 0$(đúng với 

*** Cannot compile formula:
$0 \le z \le 3$

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

)

*** Cannot compile formula:
\Rightarrow (x^2+2)(y^2+2)(z^2+5) \ge (t^2+2)^2((3-2t)^2+5) \ge \frac{729}{16}

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Dấu "=" xảy ra khi  

*** Cannot compile formula:
x=y=\frac{1}{2}

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

và  

*** Cannot compile formula:
z=2

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

rất tiếc bạn đã sai

Cách làm này bạn tham khảo ở đâu nhỉ? Đây chính là cách làm của mình cho bài này?

mình nhớ là lời giải bài này đã đọc ở đâu đó rất lâu r 

Bài 39 đã qua khá lâu nhưng chưa có lời giải. Mình xin được ra bài 40. Có một góp ý nhỏ, nếu quá thời gian quy định thì các bạn post bài nên post lời giải của mình nếu có để mọi người tham khảo.

Bài 40. Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

            $\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}+\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}} \ge 6$

Viết bdt đã cho dưới dạng thuần nhất

Tiếp theo: 

Bài 11: Chứng minh rằng với các số dương $a,b,c$ và $abc=8$ ta có bất đẳng thức sau:

$\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\frac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}+\frac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}}\ge \frac{4}{3}$.

Bài 12: Cho $x,y,z\in [-1;1]$ và $x+y+z=0$. Chứng minh bất đẳng thức:

$\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+x^2}\ge 3$

Cho $a,b,c>0$, C/m

Bài 74:$6\sum \frac{1}{a+5b} \le \sum \frac{1}{\sqrt{bc}}$

Bài 81

Cho $a,b,c,d \ge 0 ; a+b+c+d=2$. C/m :

$\sum \frac 1{1+3a^2} \ge \frac{16}7$

Bài 86

Cho $a,b,c>0$ thõa mãn $a+b+c=2$. C/m : $\sum \frac{bc}{20+3a^2} \le \frac{1}{16} $

2. Bất đẳng thức hoán vị

Sang phần này, ta sẽ tiếp tục khai thác đại lượng $P$ trong việc xử lý các bất đẳng thức hoán vị. Đây là một hướng phát triển khác của $pqr$ được gọi là “$pqr$ hoán vị” và được thực hiện như sau. Biến đổi khéo léo các biểu thức hoán vị để làm xuất hiện $Q=(a-b)(b-c)(c-a)$ cũng là một đại lương hoán vị. Tuy nhiên, ta hoàn toàn có thể biễu diễn $Q$ dưới dạng $pqr$ thông qua đánh giá $Q \leqslant |Q| = \sqrt{P}$ đến đây, sử dụng \eqref{lab0} và ta giải tiếp bằng $pqr.$ Lưu ý rằng, ngoài các quan hệ sẵn có, bản thân bất đẳng thức $P \geqslant 0$ cũng đã cho ta một đánh giá tương quan giữa $p,\,q$ và $r.$

 

Cho em hỏi bài này dùng "pqr hoán vị" thì làm tnao ạ

Cho các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3

Chứng minh $\frac ab+\frac bc+\frac ca+9abc \ge 9$

Mình nghĩ như thế này, liệu có ổn không?

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a};  \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$

Vì c>b>a>0 qui đồng mỗi vế ta được

$\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}=\frac{b^{2}c+ac^{2}+a^{2}b}{abc}$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}= \frac{a^{2}c+ab^{2}+bc^{2}}{abc}$

Vì c>b>a>0 nên ta cũng suy ra $a^{2}c\leq ac^{2};a^{2}b\leq ab^{2};b^{2}c\leq bc^{2}$

=> đccm

Cách của bạn ko đúng vì cộng cả 3 vế theo vế ko suy ra được dpcm 

Nhân 2 vế cho $abc$, bdt đã cho tương đương

$a^2c+b^2a+c^2b \ge b^2c+c^2a+a^2b$

$\Leftrightarrow (c-b)(b-a)(c-a) \ge 0$ (luôn đúng),suy ra dpcm

9B

http://toan.hoctainh...g-trinh-toan-10

$P=x+\Bigg[y^2+1 \Bigg]+ \Bigg[ z^3+1+1 \Bigg]-3 \ge x+2y+3z-3$

Em mới bước đầu sử dụng $\LaTeX$ , ai cho em hỏi cách vẽ các loại hình học , đồ thị hàm số, bảng biến thiên, biểu đồ,... ntn và dùng gói lệnh nào ạ. Em cảm ơn trước.

Cho $x,y,z$ là các số thực ko âm. Chứng minh :

$$x^2+y^2+z^2+\sqrt{xyz}( \sqrt x + \sqrt y +\sqrt z) \ge 2(xy+yz+zx)$$

Bài số học.

Nếu $n=1$ thì $S=6$ chia hết cho $2^{1}$.

Nếu $n=2$ thì $S=28$ chia hết cho$2^{2}$.

Ta thấy $n=1$ và $n=2$ thì vẫn thỏa mãn.

Giả sử bài toán đúng đến $n=k$ hay $[(3-\sqrt{5})^{k}+(3+\sqrt{5})^{k}] \vdots( 2^{k})$ và $[(3-\sqrt{5})^{k-1}+(3+\sqrt{5})^{k-1}]\vdots (2^{k-1})$....

Khi đó ta chỉ cần CM bài toán đúng với $n=k+1$ hay CM  $[(3-\sqrt{5})^{k+1}+(3+\sqrt{5})^{k+1} ]\vdots( 2^{k+1})$.

Thật vậy ta có $[(3-\sqrt{5})^{k}+(3+\sqrt{5})^{k}](3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5})=(3-\sqrt{5})^{k+1}+(3+\sqrt{5})^{k+1}+4[(3-\sqrt{5})^{k-1}+(3+\sqrt{5})^{k-1}]$

 Mặt khác  $[(3-\sqrt{5})^{k}+(3+\sqrt{5})^{k}](3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}) \vdots (6.2^{k})$ hay $[(3-\sqrt{5})^{k}+(3+\sqrt{5})^{k}](3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}) \vdots 2^{k+1}$

Suy ra $(3-\sqrt{5})^{k+1}+(3+\sqrt{5})^{k+1}+4[(3-\sqrt{5})^{k-1}+(3+\sqrt{5})^{k-1}] \vdots (2^{k+1})$

             $\Rightarrow (3-\sqrt{5})^{k+1}+(3+\sqrt{5})^{k+1} \vdots (2^{k+1})$ vì $4[(3-\sqrt{5})^{k-1}+(3+\sqrt{5})^{k-1}] \vdots (2^{k-1}.4)$ hay 

$4[(3-\sqrt{5})^{k-1}+(3+\sqrt{5})^{k-1}] \vdots (2^{k+1})$.

Theo nguyên lí quy nạp thì ta có ĐPCM. 

Nếu như giả sử bài toán đúng với $n=k$ thì vì sao nó đúng với $n=k-1$ vậy bạn?

Bạn xem lời giải ở link sau 

http://toan.hoctainh...-Hoi/135647/min

do bạn lớn tuổi hơn mình nên mình gọi là anh nhé:

Khi chuyển qua số phức, ta cần phải lấy căn bậc ba của một số phức, điều đó dẫn tới viêc ta phải sử dụng $cos(a/3)$ để giải.

Em chỉ góp ý thế thôi, anh có thể tham khảo thêm tại http://math.stackexc...plex-numbers-1i

mình sn 2k nhé cơ mà nghiệm bài này nếu biễu diễn ở dạng phức thì phức tạp đấy nên dùng lượng giác cho nhanh

$8x^3-6x+1=0$ bằng ĐẠI SỐ

(Tức là không sử hàm lượng giác như cos, arccos,...).

 3 nghiệm $x_1= \cos \frac{2\pi}9,x_2=\cos \frac{8\pi}9,x_3=\cos  \frac{14\pi}9$ đều dính dáng tới lượng giác nên ko dùng chắc ko dc

nếu bạn học số phức rồi thì làm theo cardano

Bổ sung điều kiện ( vì nhiều lúc chúng ta không để ý) :
Giả sử $c=max\{a,b,c\}$. Suy ra $c\in [1;4]$

Hàm $y=f(x)=x$ mà không biết vẽ à ?

à em tưởng ý anh là khác 

Em vẽ đồ thị hàm $dx = d( y = f(x) = x)$ ra , rồi so sánh với đồ thị trên là hiểu 

hàm đó vẽ ntn vậy anh

Hỏi rất hay , để mình giải thích cụ thể cho bạn . Trước tiên với đạo hàm của một hàm số người ta có ba kí hiệu 

 

Ký hiệu của Lagrange : $f'$

 

Kí hiệu của Leibniz : $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}f(x)$ 

 

Kí hiệu của Newton : $\dot{y}$

 

Ví dụ một hàm số xác định trên $(a,b)$ là $y=f(x)$ thì người ta gọi $\Delta x$ là số gia của $x$ ( một cái hiệu nào đó ) khi đó người ta gọi giá trị $f'(x)\Delta x$ là vi phân của hàm số ứng với số gia $\Delta x$ và kí hiệu $dy = d f(x) = f'(x) \Delta x$ , áp dụng định nghĩa này cho hàm số $y = f(x) = x$ ta có $dx = \Delta x$ . Việc người ta dùng $dx$ thay vì $\Delta x$ chỉ là quy ước cho hai vế tương đồng ( hai vế lấy $d$ mà ) 

 

Vi phân của hàm số có thể dùng để tính xấp xỉ và đại lượng $f'(x)\Delta x$ là độ tăng tính từ tiếp tuyến , bạn nhìn dung qua hình này : 

 

deri.png

Cảm ơn anh nhé, đọc bài này em hiểu thì có hiểu nhưng vẫn còn thấy bứt rứt khó chịu. Nếu như người ta tính $\mathrm df(x)$ dựa vào $\Delta x$ thì với riêng hàm $y=x$ thì dựa vào đâu ạ, ví dụ như hàm $y=kx$ thì nó không có tiếp tuyến thì nó không có "độ tăng". Anh có thể minh họa hình học giúp e cái đẳng thức $\mathrm dx=\Delta x$ đc không ạ.

E đang học về phần nguyên hàm nhưng có một số rắc rối sau:

1) Mặc dù  $\Delta x=\mathrm dx$ nhưng vì sao trong biểu thức nguyên hàm người ta không dùng $\Delta x$, vả lại nhắc tới vi phân người ta thường viết $\mathrm df(x)=f'(x) \mathrm dx$ thay vì định nghĩa của nó là $\mathrm df(x)=f'(x).\Delta x$. Vậy thì $\mathrm dx$ ở đây có ý nghĩa ntn?

2) Vi phân của một hàm số cho ta biết những gì, bắt nguồn từ đâu? Thực sự thì e không hình dung được nó là gì thông qua định nghĩa.

Có anh chị/ bạn nào hiểu biết xin giúp đỡ ạ. Mấy vấn đề này trong sgk rất ít đề cập.

 

$ a+\frac{108}{(a-b)^{3}(b-c)^{2}c} \geq 7 $

Dùng bdt cosi cho 7 số dương: