1.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(xy)=y.f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

2.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(x+y)=y+f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

3.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$x.f(y)+y.f(x)=(x+y)f(y).f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

4.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:$f(x+y)+f(xy)=x+y+xy$

 

5.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} f(0)=\dfrac{1}{2} & & \\ \exists a:f(a-y)f(x)+f(a-x)f(y)=f(x+y) & & \end{matrix}\right.\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

 

4/

Thay y=0 => f(0)=0

Đặt g(x)=f(x)-x

Thay vào ta được

g(x+y)+g(xy)=0

Thay y=0, ta được

g(x)=0=>f(x)=x

Thử lại thấy thỏa

 

1.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(xy)=y.f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

2.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(x+y)=y+f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

3.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$x.f(y)+y.f(x)=(x+y)f(y).f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

4.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:$f(x+y)+f(xy)=x+y+xy$

 

5.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} f(0)=\dfrac{1}{2} & & \\ \exists a:f(a-y)f(x)+f(a-x)f(y)=f(x+y) & & \end{matrix}\right.\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

 

3/ Thay y=x, ta được

2x.f(x)=2x.f(x)^2

Khi đó f(x)=f(x)^2 với x khác 0

<=> f(x)=0 hoặc f(x)=1. Thử lại thõa

 

1.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(xy)=y.f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

2.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(x+y)=y+f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

3.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$x.f(y)+y.f(x)=(x+y)f(y).f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

4.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:$f(x+y)+f(xy)=x+y+xy$

 

5.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} f(0)=\dfrac{1}{2} & & \\ \exists a:f(a-y)f(x)+f(a-x)f(y)=f(x+y) & & \end{matrix}\right.\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

 

2/ 

Ta  có f(x+y)=y+f(x)=x+f(y)

Thay y=1, ta được

f(x)+1=x+f(1) => f(x)=x+c. 

Thử lại thõa. Vậy f(x)=x+c

 

1.Tìm $\mathbb{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$f(xy)=y.f(x)\forall x,y\in\mathbb{R}$

 

 

 

Thay x=1 => f(y)=yf(1)

Đặt f(1)=a=> f(x)=ax

Thử lại thõa. Vậy f(x)=ax

 

 

Câu 3: (5.0 điểm)

Cho ba số thực a,b,c thỏa : $0<a\leq 2$ ; $0<b\leq 2$ ; $0<c\leq 2$                             

CMR : $4[(abc+1)(a+b+c) + 3(ab+bc+ca)] \geq 45abc$ 

Câu 3:  Chia abc xuống, dùng AM-GM cho 45 số dựa vào điểm rơi a=b=c=2

Tìm f:R->R thỏa mãn:

$f(x+1)=f(x)$

Hãy tìm 1 hàm thỏa mãn điều kiện trên, cho VD f(x) bằng gì ạ . 

Đây là hàm sai phân bậc 1

Giải PTH trên tập số thực:

$f(x^2+f(y))=xf(y)+2y$

Dễ thấy f  song ánh

khi đó tồn tại a sao cho f(a)=0

Khi đó, thay y=a, ta đc

f(x^2)=2a, với mọi x thuộc R

Do đó f(x)=2a với x>=0. Mà dễ thấy f là hàm lẻ

do đó f(x)=2a với mọi x thuộc R

Suy ra f(x)=2a. Thử lại không thỏa. Vậy không có hàm thỏa yêu cầu bài toán 

Cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả:

f(f(n)) < f(n+1).

C/m f(n)=n , n$\in \mathbb{N}$

Cho f: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả:

f(f(n)) < f(n+1).

C/m f(n)=n , n$\in \mathbb{N}$

Mình chỉ làm được 1 phần thôi nha.

Giả sử hàm cần tìm là 1 hàm đa thưc

Gọi f(n) có bậc là m

Suy ra f(f(n)) sẽ có bậc là m^2

Vì f(f(n))<f(n+1) với mọi n là số tự nhiên

nên m^2 <=m

Suy ra m=0 hoặc m=1

Với m=0 => f(n) là hằng => Vô lý

Với m=1 => f(n)=an+b

Thay vào ta đc a^2n+ab+b<ax+a+b. Suy ra f(n)=n

Tìm các đa thức $f(x)$ thỏa mãn $x.f(x-1)=(x-3).f(x)$ và $f(2014)=1$

bạn thử làm dãy số xem sao. Mình nghĩ có thể thiết lập công thức truy hồi để tính. Sau đó tìm CTTQ của dãy số đó. Rồi kiểm tra và ra F(x)

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng $\frac{(x+y)^2 + 3x + y}{2}$ , với x,y là các số tự nhiên

nhân hết lên. Viết delta theo x hoặc y. Là ra

 Chứng minh rầng A=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}$ không là số tự nhiên.

Quy đồng hết lên, ta thấy trên tử số không chia hết cho 41 ( có thể chọn bất cứ số nguyên tố nào <100)

mà mẫu số chia hết cho 41 nên A không là số tự nhiên