Bài toán:Cho $\Delta$ $ABC$ không cân .phân giác $Ax$ cắt trung trực của BC tại $E$.

Chứng minh:$E$ nằm ngoài $\Delta ABC$

Gọi (O,R) là đường tròn ngoại tiếp của ABC. Dễ thấy Ax và đường trung trực của BC cùng đi qua điểm giữa của cung BC. Vậy E là trung điểm của cung BC do đó nằm ngoài tam giác ABC

Đặt t=x-1.Phương trình trở thành

$2^{t}\left ( 1-2^{t^{2}} \right )=t^{2}$.Dễ thấy

$VT\leq 0 , VP\geq 0$. Vậy PT có nghiệm khi và chỉ khi

VT=VP=0$\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x=1$

Cho hàm số : $f\left ( x \right )=a\left | x+2 \right |+b\left | x+1 \right |+cx$ đồng biến trên R . Chứng tỏ : c > 0 .

Với x<-2.Để hàm đồng biến c-(a+b)>0 (1)

Với x>-1.Để hàm đồng biến c+(a+b)>0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra c>0.Đây chỉ là ĐK cần

Đặt $f_{(t)}=4t-t^{2}$. Hệ trở thành

$f_{(x)}=y f_{(y)}=z f_{(z)}=x$.

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z \Rightarrow f_{(z)}\geq f_{(x)}\geq f_{(y)}$ (1)

Hàm bậc 2 $f_{(t)}$ đạt cực đại tai t=2 dễ dàng CM (1) vô lý vậy x=y=z. Giải PT được nghiệm

x=y=z=0 hoặc x=y=z=3

Đặt A=$\frac{4}{x}+\frac{1}{y}+\frac{9}{z}$.

      B= 4*x+y+z

Ta có

$4x+64*\frac{4}{x}\geq 64. Dấu"="\Leftrightarrow x=8$

$y+\frac{64}{y}\geq 16. Dấu"="\Leftrightarrow y=8$

$z+64*\frac{9}{z}\geq 48. Dấu "="\Leftrightarrow z=24$

Vậy

64A+B$\geq 128$

B$\geq 64$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=8,z=24