$x_{n}=\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{2^{n}})=2.\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\prod_{k=1}^{n}\left ( 1+\frac{1}{2^{k}} \right )=2(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})..(1+\frac{1}{2^{n}})=2\left ( 1-\frac{1}{2^{2^{n}}} \right )\Rightarrow $ Dãy số có giới hạn =2
LangTu Mua Bui nội dung
Có 43 mục bởi LangTu Mua Bui (Tìm giới hạn từ 05-06-2020)
#598220 Chứng minh Xn= (1+1/2)(1+1/4)...(1/2^n) có giới hạn.
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 13-11-2015 - 23:07 trong Giải tích
#599589 $$\sum_{k = 0}^\infty \frac{2^k...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 22-11-2015 - 19:15 trong Dãy số - Giới hạn
Đặt $S=\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i$.
Ta thấy $S$ là tổng của $k+1$ số hạng đầu của 1 cấp số nhân có $u_1=\left ( 1+\sqrt{5} \right )^k$ và $q=\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$
$\Rightarrow S=\frac{u_1(q^{k+1}-1)}{q-1}=...=\frac{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}{2\sqrt{5}}$
$\Rightarrow \frac{2^k}{\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i}=\frac{2^{k+1}.\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}=\frac{\sqrt{5}}{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}}=\frac{1}{F_{k+1}}$
trong đó $F_{k+1}$ là số hạng thứ $k+1$ trong dãy Fibonacci.
Vậy tổng cần tính bằng $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{F_{k+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{F_k}\approx 3,359885...$
Cái đoạn chứng minh nghịch đạo dãy đó trên mạng sao k thấy bạn ạ,Bạn có thể chứng minh hãy chỉ rõ hơn không
#599255 $\lim_{n\to \infty }\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=r,\R...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 18:39 trong Giải tích
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}e^{\frac{\ln{a_{n}}}{n}} =e^{\dfrac{\ln{a_{n+1}-\ln{a_{n}}}}{n+1-n}}(Stole)=e^{\ln{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$
#598960 ĐỀ THI GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 20151 (ĐHBKHN)
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 18-11-2015 - 16:59 trong Giải tích
Khai triển taylor tại $x=2015 \Rightarrow P(x)=P(2015)+\sum_{k=1}^{n}\frac{P^{k}(2015)(x-2015)^{k}}{k!}$
$P(x)=1+\sum_{k=1}^{n}(-1^{k})(x-2015)^{k}=1+\sum_{k=1}^{2015}(2015-x)^{k}$
$\Rightarrow P(2014)=1+2015=2016$
#714642 $rank(AB) \le rank(B)-1$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 21-08-2018 - 22:24 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Gọi f và g là các ánh xạ tưng ứng với 2 ma trận A và B
Xét đa thức $P(x)=x^{2017} $ và P(A)=0 suy ra đa thức tối thiểu có dạng $x^{k}$ tồn tại trị riêng $\lambda =0 $ tức $kerf \neq 0 $
$ker fg =kerf +kerg mà ker f \geq 1 \Rightarrow ker fg -1\geq ker B $
Sử dụng thêm định lý dim $ker \varphi =n-dim im \varphi $
#599311 Cho $k\in \mathbb{N}^*$. Tìm $$L=\lim_{n...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 22:03 trong Giải tích
$\int_{0}^{1}\frac{\ln{(1+x^{n+k})}}{\ln{(1+x^{n})}}=\int_{0}^{1-\varepsilon }\frac{\ln{(1+x^{n+k})}}{\ln{(1+x^{n})}}+\int_{1-\varepsilon }^{1}\frac{\ln{(1+x^{n+k})}}{\ln{(1+x^{n})}} =I_{1}+I_{2} $
$I_{2}=\varepsilon \frac{\ln{(1+{c}^{n+k})}}{\ln{(1+{c}^{n})}}=0 I_{1}=\int_{0}^{1-\varepsilon }\frac{x^{n+k}}{x^{n}}=\int_{0}^{1-\varepsilon }x^{k}$
$=\lim_{\varepsilon \to\ 0}\frac{x^{k+1}}{k+1}|^{1-\varepsilon }_{0} =\frac{1}{k+1}$
#599331 $I=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 23:20 trong Dãy số - Giới hạn
$=e^{\ln{a_{n+1}-\ln{a_{n}}}}(Stole)=e^{\ln{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$
$\Rightarrow \lim{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}.n!}{(n+1).n!.n^{n}}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$
#714632 $dimC(A) \ge n$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 21-08-2018 - 13:35 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
C(A) là tập hợp các ma trận nên mọi ma trận thuộc C(A) đều thuộc không gian chứa các ma trận vuông $ M_{n\times n }$ thuộc
Chứng minh dimC(A)>n
Với không gian các ma trận ta biết số chiều là $n^{2} $
Theo định lý số chiều :
Ta có $dim (Im F(X)) +dim(ker F(X)) =n^{2} $ Vì thế yêu cầu bài toán tương đương với số chiều $ker F(X) >n $
Ta sẽ đi chứng minh dim$ Im(F(X)) <n^{2}-n $
Xét ánh xạ F(X)=AX-XA với X và A là các ma trận vuông cấp n
Ánh xạ F là 1 ánh xạ tuyến tính do nó thỏa mãn 2 tính chất
Thật vậy :$ F(M+N)=A(M+N)-(M+N)A=AM-MA+AN-NA=F(M)+F(N)$
và $F(kX)=k(AX-XA)=kF(X) $
Bằng biển đổi thông thường ta luôn có F(X) là 1 ma trận có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0 với mọi ma trận X
VÌ vậy số chiều của$ Im F(X) $luôn nhỏ hơn $n^{2}-n$
Yêu cầu bái toán đã được chứng minh .
#599230 $ \arcsin x +\arcsin x\sqrt{15}=\frac...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 15:04 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Giải phương trình $$ \arcsin x +\arcsin (x\sqrt{15})=\frac{\pi}{2} $$
Tạp chí Komal, Hungary.
$\arcsin{x}+\arcsin{x\sqrt{15}}=\frac{\pi}{2}$
Đk :x>0
Xét hàm $y=\arcsin{x}+\arccos{x} ;y'=0$ y là hàm hằng
$ \Rightarrow y=c $ thay giá trị bất kị vào để tìm c $;y(0)=c=\frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \arcsin x +\arcsin (x\sqrt{15})=\frac{\pi}{2}$$ \Leftrightarrow \arcsin{x\sqrt{15}}=\arccos{x}$
$\arccos{x}$Ở đây Ta hiểu$ x=\cos{t} \Rightarrow \arccos{x}=t $
Ta có $\sin^{2}{t}+\cos^{2}{t}=1 \Rightarrow \sin{t}=\sqrt{1-\cos^{2}{t}}$ Ở đây là xét x>0 $\Rightarrow \arccos{x}=\arcsin{\sqrt{1-x^{2}}}$
$\Rightarrow 15x^{2}=1-x^{2} \Rightarrow x=\dfrac{1}{4}$
#624370 1,Tính tổng chuỗi $\sum_{n=1}^{vocung }arctan(...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 02-04-2016 - 22:12 trong Giải tích
Phải là $\arctan{(\frac{2}{n^{2}})} $chứ nhỉ
$\frac{2}{n^{2}}=\frac{n+1-(n-1))}{1+(n-1)(n+1)} \Rightarrow \arctan{\left ( \frac{(n+1)-(n-1)}{1+(n+1)(n-1)} \right )}=\arctan{(n+1)}-\arctan{(n-1)}$
#605591 câu 1 đề thi OLP giải tích 1997
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 27-12-2015 - 20:29 trong Thảo luận về các kì thi, các kì kiểm tra Toán sinh viên
cho số thực A khác 0.xét hàm số $f(x)$ xác định;liên tục trên [0;$+\infty $] và thỏa mãn $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}f(x)=A$. tính
$\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}\int_{0}^{1}f(nx)dx$
$\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f(nx)dx=\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{0}^{n}f(n)dt}{n} (Lopitan)=\lim_{n\to\infty}f(n)=A$
#714733 Chứng minh: $det(J(Y,X))= (detA)^{n}.(detB)^{n}$
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 23-08-2018 - 23:25 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Viết J(X,Y)=$\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{i}}$ là không ổn vì dễ nhầm là phép cuộn .Để tránh nhầm lẫn nên viết lại thành $\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}$
Ở bài này nên biết đến tích tensor của 2 ma trận thì dễ hiểu hơn $J=B^{T} \bigotimes A$
Biến đổi từ đề bài ta được : $\Rightarrow y_{ij}= \frac{\partial y_{ih}}{\partial x_{mn}}= \frac{\partial \left ( \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{ij}x_{jk}b_{kh} \right ) }{\partial x_{mn}}$
$y_{ij} $ Chỉ khác 0 khi mn trùng với jk .Suy ra ma trận Jacobi biến đổi là 1 ma trận $n^{2}\times n^{2}$
Đặt $c_{ij}=b_{ij} $ và viết dạng ma trận khối
$J=\begin{bmatrix} c_{11}A &c_{12}A&.. &c_{nn}A \\ c_{21}A & .. &...& .. \\ ... &...& ...\\ c_{n1}A & ..&.. & c_{nn}A \end{bmatrix}$
Do cách tính định thức là tổng các tính các hoán vị nên khi nhân các phần tử của $c_{ij}$ với A thì không làm thay đổi hoán vị
Gọi F là trường vector các ma trận vuông cấp n là cấp của mỗi khối , R là trường các ma trận vuông $n^{2} $ của ma trận J
Điều này dẫn đến : $det J=det_{F}(det_{R} J) $
$ =det_{F}\left (sum _{\pi \in S_{n}}(sgn \pi)c_{1\pi_{i_{1}}}c_{2\pi_{i_{2}}}...c_{n\pi_{i_{n}}}A^{n} \right )$
$det_{F}$ là tính định thức với dạng ma trận khối ,$det_{R}$ là tính định thức coi các ma trận thông thường bằng cách coi các khối như phần tử vô hướng.
Do $A^{n} $là ma trận vuông cấp n $=det_{F}A^{n}(\left (sum _{\pi \in S_{n}}(sgn \pi)c_{1\pi_{i_{1}}}c_{2\pi_{i_{2}}}...c_{n\pi_{i_{n}}}\right )^{n}$
$=detA^{n}detC^{n}$
$=detA^{n}(detB^{T})^{n}$
$ \Rightarrow det J=(detA)^{n}(detB)^{n}$
#599240 Tính giá trị biểu thức $\arctan u+\arctan v+\arctan...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 20-11-2015 - 16:15 trong Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình
Gọi $u,v,w$ là ba nghiệm của phương trình $x^3-10x+11=0$. Tính giá trị của biểu thức $$\arctan u+\arctan v+\arctan w$$.
Tạp chí KoMaL, Hungary.
Biển đổi qua Ta có công thức dễ dàng
Theo đl viet bậc cao
$\Rightarrow \arctan{x}+\arctan{y}+\arctan{z}=\arctan{\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+zx+yz}}$
$\arctan{x}+\arctan{y}+\arctan{z}=\arctan{\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+zx+yz}}=\arctan{-\frac{11}{9}}$
#598770 \int_{0}^{1}f(x).x^{n}=0$ với mọi...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 17-11-2015 - 13:27 trong Giải tích
Có thêm điều kiện về f(x) như liên tục hay khả vi gì k bạn
#598774 \int_{0}^{1}f(x).x^{n}=0$ với mọi...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 17-11-2015 - 15:05 trong Giải tích
$ \Rightarrow \int_{0}^{1}C^{k}_{n}x^{n-k}m^{k}f(x)dx =0 $
$ \Rightarrow \left ( \sum_{k=0}^{n}C^{k}_{n}x^{n-k}m^{k}f(x) \right )=0 $
$\Leftrightarrow \int_{0}^{1}(m+x)^{n}f(x)dx \forall n\in N ;m\in R $
Đặt $m+x=t \Rightarrow \int_{0}^{m+1}x^{n}f(x-m)dx=0 ;n=1 \Rightarrow \int_{0}^{m+1}f(x-m)dx=0 $;
Đặt $ g(m)=\int_{0}^{m+1}f(x-m)dx=0 \forall m \in R \Rightarrow g(m)=c \Rightarrow g'(x)=0 $ $ \Rightarrow f(1)=0 $
#716595 CM: $\left \{ X\left ( \lambda _{1}...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 15-10-2018 - 15:39 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Đặt $ u_{1}=(1,2,1),u_{2}=(2,1,0)$
Mặt khác $u_{1},u_{2} $là độc lập tuyến tính trong $R^{3} $ nên $(a+1)u_{1}+(\lambda+a\lambda_{2})=0 $ khi và chỉ khi hay pt (1) =0 khi và chỉ khi $ a=-1,\lambda_{1}=lambda_{2} $ trái đk giả thiết nên pt k tồn tại hay 2 vector đó thể đltt.
#603783 CMR tồn tại 3 số $a,b,c$ sao cho $a< b< c;a+c=2b$...
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 18-12-2015 - 18:14 trong Giải tích
Cho $f(x)$ liên tục trên R ;giả sử tồn tại 2 số $x_{1};x_{2}$ sao cho $f(x_{1}).f(x_{2})< 0$.
CMR tồn tại 3 số $a,b,c$ sao cho $a< b< c;a+c=2b$ và $15f(a)+2f(b)+2014f(c)=0$
----Nguyên bản BK2014---------
xét hàm g(x)=15f(x+d)+2f(x+2d)+2014f(x+3d)$
Do $f(x)$ liên tục nên$ g(x) $cũng liên tục
Do tồn tại $x_{1}$ và $x_{2} $ sao cho$ f(x_{1})f(x_{2})<0 $
$\Rightarrow \exists (a;c) ;(c;b) sao cho f(x)<0 \forall x \in (a;c) và f(x)>0 \forall x\in (c;b) ;f(c)=0$
$\Rightarrow \alpha ;d $sao cho$ 15f( \alpha +d)+2f( \alpha +2d)+2014f( \alpha +3d)<0 $
Với đk $\alpha_{1}+d>a;\alpha+3d<c$
Tương tự$ \alpha_{2}+d ...$
$(\alpha_{1}).g(\alpha_{2})<0 $nên tồn tại $ \gamma \in (\alpha_{1};\alpha_{2}) $ sao cho $g(\alpha)=0$ Thỏa mãn đề bài
#598961 Chứng minh phương trình có nghiệm
Đã gửi bởi LangTu Mua Bui on 18-11-2015 - 17:12 trong Giải tích
Ta có $f(0)=0;f(2)=4a+4b+4c=4(a+b+c)=0 $ Theo đl Roll
$\Rightarrow f(0)=f(2)\Rightarrow \exists c \in (0;2) f'(c)=0$
$ \Leftrightarrow pt ax^{3}+2bx+2c=0$có nghiệm$ (0;2)$
- Diễn đàn Toán học
- → LangTu Mua Bui nội dung