Ý bạn nói là chưa chắc B, A, C thẳng hàng phải ko 

_ Kẻ : IN vuông góc AB' (N thuộc AB').

_ $\Delta ABB'$ vuông tại A, AI là trung tuyến nên : $AI=BI=B'I\Rightarrow \Delta B'IA$ cân tại I $\Rightarrow \widehat{IB'A}=\widehat{IAB'}$ (1)

_ $\Delta INA$ có : $\widehat{AIN}=90^{0}-\widehat{IAB'}$ (2)

_ $\Delta BAB'$ có : $\widehat{B'BA}=90^{0}-\widehat{IB'A}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : $\widehat{AIN}=\widehat{B'BA}$ (a)

mà : $\Delta BAB'=\Delta CAC'(c.g.c)\Rightarrow \widehat{B'BA}=\widehat{C'CA}$ (b)

Từ : (a) và (b) có : $\widehat{AIN}=\widehat{ACC'}$

_ Có : $\widehat{AIN}+\widehat{IAN}=90^{0}=\widehat{ACM}+\widehat{CAM}\Rightarrow (đpcm)$

(M là giao điểm IA với CC')

P/S : Đây là bài hình đầu tiên mình giải mà có đăng hình lên, vậy mà hình lại bị thiếu tên điểm !!! Hic ...  

Cả hai bài tập đều nhắc đến 2 công thức của lớp 6 : Xét dãy số mà các số hạng cách nhau cùng một đơn vị, ta có :

> Số số hạng của dãy số đó = (số cuối - số đầu)/(khoảng cách giữa hai số liên tiếp) + 1.  (*)

>Tổng của các số trong dãy số đó là  = (số đầu + số cuối).(số số hạng) / 2.                      (**)

Bài 2 :

3.3².3³.3⁴.....3^x=3^{(1+2+3+4+...+x)}=3¹⁹⁰ => 1 + 2 + 3 + 4 +...+ x = 190. 

Áp dụng công thức (*) vào dãy số trên : ta thấy dãy có x số hạng

Áp dụng công thức (**) vào dãy số trên : 

(1 + x).x = 190 . 2 = 380 .

Ta thấy x và x + 1 là hai số nguyên liên tiếp mà 380 = 190.2 = 19.2.10=19.20, 19 và 20 là hai số nguyên liên tiếp, x < x + 1 nên x = 19.

Thử lại ta thấy đúng.  

Mong mọi người giúp đỡ. !!!!   

1/ (Iran Team Selection Test)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa : ab + bc+ ca = 1. Chứng minh : 

$\sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq \frac{a\sqrt{a}}{bc}+\frac{b\sqrt{b}}{ca}+\frac{c\sqrt{c}}{ab}$

2/ (Iran National Math Olympiad)

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \frac{7}{25}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a+b+c})^{2}$

3/ (Middle European Mathemathical Olympiad)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=2$. Chứng minh rằng :

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\geq\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}$ 

4/ (Middle European Mathemathical Olympiad)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : abc = 1. Chứng minh rằng :

$\sqrt{9+16a^{2}}+\sqrt{9+16b^{2}}+\sqrt{9+16c^{2}}\geq 3+4(a+b+c)$

P/S : Mong mọi người giải những bài trên chỉ với kiến thức THCS. Thật ra mình cũng chưa có lời giải nữa.   

* Bài 1 :

Cho các số $a,b,c$ thỏa : $a\geq 72;b\geq 60;c\geq 55$

Tìm min : 

$P=\frac{ab\sqrt[12]{c-55}+bc\sqrt[19]{a-72}+ca\sqrt[21]{b-60}}{abc}$

 * Bài 2 :

Tìm số nguyên tố $n$ để $n^{3}+9$ là số chính phương. 

chưa hiểu bạn ạ...đề là $\frac{x^{3}}{1+y}+\frac{y^{3}}{1+x}$ mà sao bạn lại làm $\frac{x^{4}}{x(1+y)}+\frac{y^{4}}{y(1+x)}$

Có gì đâu bạn, đây là phép tính hiển nhiên mà  .

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{x^{3}}{1+y}$ cho x, ta có : $\frac{x^{3}}{1+y}=\frac{x^{4}}{x(1+y)}$

Câu 4 : 

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski dạng đa thức cho 2 bộ số : $(\sqrt{a};\sqrt{b})$ và $(\sqrt{x};\sqrt{y})$ , ta có :

$(\sqrt{a}.\sqrt{x}+\sqrt{b}.\sqrt{y})^{2} \leq ((\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2})((\sqrt{x})^{2}+(\sqrt{y})^{2})=(a+b)(x+y)\Rightarrow \sqrt{(\sqrt{ax}+\sqrt{by})^{2}}=\sqrt{ax}+\sqrt{by} \leq \sqrt{(a+b)(x+y)}$ 

Vì : a, b, x, y dương nên ta có đpcm. 

Dấu bằng xảy ra khi : $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

Câu 5 :

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski dạng phân thức, ta có  :

$A=...=\frac{x^{4}}{x(1+y)}+\frac{y^{4}}{y(1+x)} \geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y+2xy}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y+2}(do:xy=1)$

Vậy Bất đẳng thức cần chứng minh là :

 $\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y+2} \geq 1 \Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4} \geq x+y+2\Leftrightarrow x^{4}+2+y^{4} \geq x+y+2 \Leftrightarrow x^{4}+y^{4}\geq x+y$ (1)

Do : $xy=1\Rightarrow x=\frac{1}{y}$ và $x;y \leq 1$ (x, y dương)

Thế vào (1), ta có : $\frac{1}{y^{4}}+y^{4}\geq \frac{1}{y}+y$ (luôn đúng với mọi : $y \leq 1$)

Vậy,t a có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi : x=y=1

P/S : BÀI VIẾT 100.   

Đúng rồi bạn. A khác 0 là để cho phép chia có nghĩa. Còn B khác 0 là để cho phân số A/B có nghĩa.

Đặt : $a=x.(\frac{5-x}{x+1})$ và $b=x+\frac{5-x}{x+1}$. Ta có : $a.b=6$ Xét tổng a+b, ta có : $a+b=...=k$ (Chắc chắn k là hằng số) $\Rightarrow a=k-b$ Thế vào phương trình $a.b=6\Rightarrow b(b-k)=6$ Giải phương trình, tìm đc a, b, thế x vào. Như vậy có thể hạ bậc phương trình mà ko cần khai triển giải pt bậc 4.

P/S : Mình đang bận nên ko viết nhiều được, đó là hướng.