Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng: $\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}\geq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}$

Xét theo từng vế 1 nhé

Vế trái ta cộng 3 vào:VT$=$ $\frac{x^2}{y^2+z^2}+1+\frac{y^2}{x^2+z^2}+1+\frac{z^2}{x^2+y^2}+1$

$=(x^2+y^2+z^2)(\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^2})$

Áp dụng BĐT cơ bản : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Ta có VT $\geq (x^2+y^2+z^2).\frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}$$\doteq \frac{9}{x^2+y^2+z^2}$

Tương tự với VP cũng thêm 3 vào (2 vế cùng cộng vào 3)

VP$\geq \frac{9}{x+y+z}$

$\Rightarrow$ ĐPCM: $\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\geq \frac{9}{x+y+z}$ luôn đúng $(x^2+y^2+z^2\geq x+y+z)$

Dấu "=" xẩy ra $x=y=z$

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTLN $B=xy+yz+xz$

Áp dụng BĐT cơ bản :$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

thế $3=x+y+z$ theo giả thiết là ra

Bài 4: 

Ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}y+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

BĐT MIN $= \frac{20}{11}+\frac{99}{11}$

Dấu = xẩy ra $x=y=z=\frac{20}{33}$

sd cô-si ta có : 1 +x $\geq 2\sqrt{x}$

                              $\frac{1}{1 + x} \leq \frac{1}{2\sqrt{x}}$

tương tự như trên ta có : bt $\leq \frac{1}{2}$ . ($\frac{1}{\sqrt{x}}+ \frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}$)

dấu = xảy ra <=> x=y=z=1 và max bt = 1,5

Thế nào mk bt $\leq \frac{1}{2}$ . ($\frac{1}{\sqrt{x}}+ \frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}$) lại ra luôn hay vậy

Bạn làm sai hoàn toàn

Khi bạn muốn chứng minh $a \geq b$

Bạn không thể so sánh $a \geq c ; b \geq d$ rồi so sánh $c,d$ được

Mình sẽ cho phản ví dụ

Giả sử; Ta cần chứng minh $ 5 \geq 10 $

Mặt khác $5 \geq 4 ; 10 \geq 3  ; 4 \geq 3$ thì bạn suy ra $5 \geq 10 $ à 

Thế cái giả sử mà bạn nói tới nó có xẩy ra dấu "=" không... Chú ý tới dấu "=" đi 

Mk có lẽ là cách làm mình sai thật nhưng ..... chả biết nói sao h cả

Các bạn giúp mình bài này với : Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a² + b² + c² = 3. Chứng minh rằng: a + b + c -abc <4

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq 1$ $\Rightarrow -abc\geq 1$

Mặt khác Áp dụng BĐT AM-GM ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow a+b+c \geq 3$ 

$\Rightarrow a+b+c-abc \geq 4$

Ai giúp vs

Cho x,y,z>0. CMR:

P= $\frac{2xy}{(z+x)(z+y)} + \frac{2yz}{(x+y)(x+z)} + \frac{3zx}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{5}{3}$

Phần màu đỏ là 2 ak bn

Cách của bạn là hoàn toàn sai

Sai từ những kiến thức cơ bản

Và mình chỉ ra cái sai cho bạn

Còn cái dấu bằng thì nếu xét trường hợp có biến thôi, dễ mà

Uh.Bạn làm được rồi thì post lên mình tham khảo với     

Ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Mà $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9abc$

$\Rightarrow 1\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow \frac{81}{64}\geq (a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)^{3}$

$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Bạn làm như thế cho phức tạp 

ta có $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ ( có thể dùng BĐT AM-GM cho từng bộ số)

$\Rightarrow 1\geq 8abc \Leftrightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

Mặt khác $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$ 

$\geq 3abc.3\sqrt[3]{abc}=3.\frac{1}{8}.\frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ ĐPCM 

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$

Ta có $P^2$=$(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})^2\geq 3(x^2+y^2+z^2)$

$\Rightarrow P^2\geq 3.2012\Rightarrow P\geq \sqrt{3.2012}$

Dấu "=" xẩy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{2012}{3}}$

cm: $\frac{xy}{x^{5}+y^{5}+xy}+\frac{yz}{y^{5}+z^{5}+yz}+\frac{xz}{x^{5}+z^{5}+xz}\leq 1$ biết xyz=1 và x,y,z > 0

Áp dụng BĐT Cô Si ta có : $A\geq 3\sqrt[3]{xyz}$ 

Mặt khác $x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow 3 \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} \Rightarrow xyz\leq 1$

thế vào ta có $A\geq 3 (DPCM)$

1) cho abc=1 ;a,b,c dương .tìm min của A=        a^2 /1+b       +         b^2/1+c         +        c^2/1+a

Mình viết lại đề : $A=$ $\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}$

Ta có : $\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\geq a$

Tương tự $\Rightarrow A\geq a+b+c-\frac{a+c+b+3}{4}$

Theo giả thiết : $abc=1 \Rightarrow a+b+c\geq 3$(Cô Si)

$\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

Dấu "=" xẩy ra $\Leftrightarrow a+b+c=1$

 

 

 

$$3x+4-\sqrt{2x+1}=\sqrt{x+3}$$

 

 

Đặt $\sqrt{2x+1}=a ,\sqrt{x+3}=b$

PT trở thành $a^{2}+b^{2}-a-b=0$

PT này vô nghiệm

Áp dụng bất đẳng thức Iran 96 có

$(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(a+c)^2} \right )\geq \frac{9}{4}=>\left (  \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2} +\frac{1}{(a+c)^2}\right )\geq \frac{9}{4} $

Lại có $2\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)}=\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4 $

=>$=>VT\geq \sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{5}{2} $

Dấu bằng xảy ra $<=>(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

Cho mình công thức tổng quát của bất đẳng thức Iran 96 đi

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$

Xét $P^2$ rồi dùng BĐT cơ bản $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

Giải phương trình:

 

 

 

3, $5\sqrt{2x^{3}+16}= 2\left ( x^{2}+8 \right )$

 

Bình phướng 2 vế ta có

$4x^4-50x^3+64x^2-144=0\Leftrightarrow (x^2-10x-12)(4x^4-10x+12)$

Dể rồi...

toàn ng ra đề mk ko có người giải             

Dễ thấy cả 2 phương trình đều có phần chung là $x+y$ hay $\sqrt{2x+y}$ nên ta sẽ xài phương pháp thế để giải.
 

Sao không đặt $x+y+1=a(a\neq 0),\sqrt{2x+y}=b(b> 0)$

HPT tương đương $\left\{\begin{matrix} a-2+\frac{1}{a}=0 & \\ \frac{1}{a}+b=2 & \end{matrix}\right.$

Giờ thì thay vào rồi tính tìm a,b rồi tìm x,y là được

Xin góp gạo thổi cơm chung:

$\left\{\begin{matrix} & \\ x^4-4x^2+y^2-6y+9=0 & \\ x^2+x^2+2y-22=0 \end{matrix}\right.$

xem lại đề nhé

Điều kiện : $x \ge 0 , y \ge 0$
Nhận thấy phương trình $(1)$ tương đương với :
$$ \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} = \sqrt{2[(x+y)-(x-y)]} $$
Xảy ra $2$ trường hợp :
$\bullet$ $\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} = 0 \Leftrightarrow x=y=0 $ không thỏa pt$(2)$
$\bullet$ $ \sqrt{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}} =\sqrt{2(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y})} $
$$\Leftrightarrow 4x=5y$$
Thay vào $(2)$ được $x=1 \Rightarrow y=\dfrac{4}{5}$
Vậy hệ có nghiệm : $(1;\dfrac{4}{5})

Cách khác nhé:

Hpt:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2\sqrt{y} (1) & & \\ \sqrt{x}+\sqrt{5y}=3(2) & & \\ & & \end{matrix}\right.$

Bình phương PT 1 ta có 

$5y^{2}-4y=0$

$\Leftrightarrow \begin{matrix} y=0(loai) & \\ y=\frac{4}{5}\Rightarrow x=1(tm) & \end{matrix}$

 

 

2.$\begin{cases}3x+2y+4xy=3x^2-4y^2\\x+y+4=2(2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\sqrt{xy})\end{cases}$

x=2y+1 và x+-2y/3

thế nào mk mình không dùng đc Fx của diễn đàn.mới lên win 10 xong mn hổ trợ với

(1) $\iff x^3+y^3+3y-3x-3y^2+3xy-2=0$

 

$\iff y^3-3y^2+y(3+3x)+(x^3-3x-2)=0 \ (2)$

 

Cho $x=1000$ PT $\iff y^3-3y^2+3003y+999996998=0$

 

$\iff y_1=-998$ v $y_2=500,5-866...$   v  $y_3=500,5+8,66...$

 

$y_2+y_3=1001 ; y_2.y_3=1002001 \iff$ $y_2;y_3$ là nghiệm pt $y^2-1001y+1002001$

 

Từ đó ta có: (2) $\iff (y+998)(y^2-1001y+1002001)=0$

 

Ta thấy: $998=1000-2=x-2; 1001=1000+1=x+1; 1002001=1000^2+2000+1=x^2+2x+1$

 

 $\iff (y+x-2)[y^2-(x+1)y+(x+1)^2]=0$

Cho mình hỏi cái đoạn $y_2.y_3=1002001$ là sao ak

1 nhiệm là x=1 nhé

Bước 3 biến đổi sai rồi bạn ơi.

Nói rỏ hơn đi,phần kia rắc rối quá mình viết kq ra thôi

1) Cho $4(a+b+c)=3abc$

CM $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}$

2) Tìm MIN $\frac{x^3}{x^2+yz}+\frac{y^3}{y^2+xz}+\frac{z^3}{z^2+xy}$

Biết $x+y+z=1$