Bài này có cho a,b,c>0 không vậy bạn

có đấy

cho a, b, c là các số thực dương. tìm GTNN của $P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

mình chưa hiểu lắm, sao nhận ra lại đc thế. thế 1+ab đâu ạ? bạn gt hộ mình với!!!

$(1+a)^2(1+b)^2\geq 4(a+b)(1+ab)=4a+4b+4a^2b+4ab^2=4a(1+b^2)+4b(1+a^2)$ bạn à

chỗ này là a+b ,,,bạn nên sửa lại đi nhé

ok

Mình cũng đã có lời giải cho bài toán này:

Ta có: $(1+a)^{2}(1+b)^{2}=(1+a+b+ab)^{2}\geq 4(1+ab)(a+b)$ (theo bất đẳng thức quen thuộc $(a+b)^{2}\geq 4ab$ )

Mà $4(1+ab)(a+b)=4a+4b+4a^{2}b+4ab^{2}=4a(1+b^{2})+4b(1+a^{2})$

=> $\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}\geq 4a.\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+4b.\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}$

Chứng minh tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi công theo vế ta có:

$P\geq 4a(\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}})+4b.(\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a^{2}})+4c.(\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}})$

Đến đây áp dụng bđt Cô- Si thì $P\geq 8a+8b+8c$

suy ra ĐpCM

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                                     $P=\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}+\frac{(1+b)^{2}(1+c)^{2}}{1+a^{2}}+\frac{(1+c)^{2}(1+a)^{2}}{1+b^{2}}$

Giúp mình với nhé, nhanh lên đang cần gấp!!!

mà để mình thêm vào cho rõ

tìm Min $D=\frac{5-3x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

cho x, y>0 và $x+y\leq 1$ . tìm min $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy$

giải và biện luận hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} mx-y=2m\\ 4x-my=m+6 \end{matrix}\right.$

giải phương trình:

$x(\frac{5-x}{x+1})(x+\frac{5-x}{x+1})=6$

giải phương trình sau:

$2(3x+5)\sqrt{3x+1}-(3x+1)\sqrt{6x+1}=12x+9$

vì đây là mình học từ một bản khác, mà mình ko biết cách copy nguyên mẫu link nên chỉ có thể copy như vậy cho bạn thôi. chắc là có nhầm lẫn ở đâu đó!!!

chắc là còn 1 trường hợp nào đó ở trên chẳng hạn, và trường hợp đó suy ra x=0

 

Đặt a=√3x+1, b=√6x+1

suy ra 2a2−b2=1

PT :10a2+ab−1=01

       7a2+(a2+ab+b2)=0

pt có nghiệm khi a=b=0

ma dấu = không xảy ra đồng thời suy ra pt vô nghiệm 

 

nếu x=0 thì tính sao đây bạn??

giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+4}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-3}+\sqrt{y-5}\\ x+y+x^{2}+y^{2}=44 \end{matrix}\right.$

tìm x, y thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^{3}+x=y^{3}+3y^{2}+4y+2 & & \\ \sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{y+12-6\sqrt{y +3}}=1 & & \end{matrix}\right.$

giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{8xy}{x+y}=16\\ \sqrt{x^{2}+12}+\frac{5}{2}\sqrt{x+y}=3x+\sqrt{x^{2}+5} \end{matrix}\right.$

cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3

chứng minh rằng 

                                         $\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2}{27}(xy+yz+zx)$

kéo dài DG cắt AC ở H

ta có EF song song DB nên $\frac{EF}{BD}=\frac{CF}{DC}$ (định lí ta lét)

         HF song song AD nên $\frac{HF}{AD}=\frac{FC}{DC}$ (định lí ta lét)

 suy ra $\frac{EF}{BD}=\frac{HF}{AD}$ suy ra $\frac{EF}{HF}=\frac{BD}{AD}$

lại có DG song song với BE nên $\frac{BD}{AD}=\frac{EG}{AG}$

suy ra $\frac{EG}{AG}=\frac{EF}{HF}$

vậy GF song song với AH hay GF song song với AC theo định lí ta lét đảo (đpcm)

1. Cho x, y, z >0 và x.y.z=1. Tìm GTNN của:

B=$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x+y+z}$

2. CHo a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:

$\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\leq 1$

3. Tìm GTNN của biểu thức:

$E=\frac{a^{4}}{(b-1)^{3}}+\frac{b^{4}}{(a-1)^{3}}$

4. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Hãy tìm GTNN của:

$\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}$

4) Ta có $P= \frac{b^{2}}{\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{c}\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a^{2}}{\sqrt{a}\sqrt{2c+b+a}}$

Ap dụng bđt $AM-GM$ thì ta được $\sqrt{4b}\sqrt{2a+b+c} \leq \frac{2a+5b+c}{2}$ suy ra $\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}\leq \frac{2a+5b+c}{8}$

Vì lẽ đó mà $P \geq 8(\frac{b^{2}}{2a+5b+c}+\frac{c^{2}}{2b+5c+a}+\frac{a^{2}}{2c+5b+a})$

Ap dụng bđt $Cauchy-Schwarz$ thì ta có $\frac{b^{2}}{2a+5b+c}+\frac{c^{2}}{2b+5c+a}+\frac{a^{2}}{2c+5b+a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{8(a+b+c)}$

Suy ra $P\geq 8\frac{(a+b+c)^{2}}{8(a+b+c)}=a+b+c=3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

 

 

P/s: Mai đăng tiếp. Buồn ngủ wa

chỗ đó phải là $\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}\leq \frac{2a+5b+c}{4}$ chứ bạn

cho x, y thỏa mãn $2x^{2}+2y^{2}-xy=1$ . tìm min và max của $P=7(x^{4}+y^{4})+4x^{2}y^{2}$

Từ $2x^{2}+2y^{2}-xy=1$

=> $2x^{2} + 2y^{2} = 1 + xy$

=> $2(x + y)^{2} = 1 + 5xy \geq 0$

=> $xy \geq \frac{-1}{5}$ (1)

Mặt khác từ $2x^{2}+2y^{2}-xy=1$

=> $2x^{2} + 2y^{2} = 1 + xy$

=> $2 (x - y)^{2} = 1 - 3xy \geq 0$\

=> $xy \leq \frac{1}{3}$ (2)

Đặt t = xy => $\frac{-1}{5} \leq t \leq \frac{1}{3}$

Ta có $P=7(x^{4}+y^{4})+4x^{2}y^{2}$

=> $P = 7 ((x^{2} + y^{2})^{2} - 2x^{2}y^{2}) + 4x^{2}y^{2}$

=> $P = 7((\frac{1 + xy}{2})^{2} - 2x^{2}y^{2}) + 4x^{2}y^{2}$

=> $P = \frac{7}{4} + \frac{7}{2}xy - \frac{33}{4} x^{2}y^{2}$

=> $P = \frac{7}{4} + \frac{7}{2}t - \frac{33}{4}t^{2}$

Lập bảng biến thiên của P với $\frac{-1}{5}\leq t\leq \frac{1}{3}$

=> min, max P

sao lại như thế này vậy

cho x, y lớn hơn 0 và $x+y\geq 0$. tìm min của $P=5x+3y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}$

cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. chứng minh $n^{4}+4^{n}$ là hợp số