1.Cho:$\frac{a-1}{2}=\frac{b+3}{4}=\frac{c-5}{6}$ và 5a-4c-3b=46. Tìm a,b,c.

2. Rút gọn biểu thức:

A=$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+...+$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$

Ta có: $\frac{a-1}{2}=\frac{b+3}{4}=\frac{c-5}{6}<=>\frac{5a-5}{10}=\frac{3b+9}{12}=\frac{4c-20}{24}$

Áp dụng tinh chat day ti so bang nhau:$\frac{5a-5}{10}=\frac{3b+9}{12}=\frac{4c-20}{24}=\frac{5a-3b-4c-5-9+20}{10-12-24}=-2$

=> a=-3;b=-11;c=-7.

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x²-6xy+13y²=100

Ta có: $x^2-6xy+13y^2=100<=>(x-3y)^2+4y^2=100=0+100=100+0=36+64=64+36.$

Vì x,y nguyên dương

=>TH1:x=15;y=5;

    TH2:x=10;y=0;

    TH3:x=18;y=4;

    TH4:x=17;y=3.

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:5x+7y=112

Ta có: $5x+7y=112<=>x=\frac{112-7y}{5}.$ 

x nguyên dương =>$7y<112;(112-7y)$ chia hết cho 5.

mà y nguyên dương => hoặc y=1 hoặc y=11.

 y=1=>x=21;

 y=11=>x=7.

$\sqrt{2x^2-2x+5}+1-x=\sqrt{x+2}$

Tìm x,y,z biết $x^2+9y^2+z^2=-2x+12y+4z-9$

$PT<=>(x^2+2x+1)+(9y^2-12y+4)+(z^2-4z+4)=0<=>(x+1)^2+(3y-2)^2+(z-2)^2=0.$

=> x=-1; y=$\frac{2}{3}$; z=2.

Cảm ơn bạn. Cách của mình, cũng tương tự  

ĐK: $x\geq -2$

pt $\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-2x+5}=x-1+\sqrt{x+2}(1)\Rightarrow x^2-x+2=2(x-1)\sqrt{x+2}=0$

Đặt $\sqrt{x+2}=t\geq 0\Leftrightarrow x=t^2-2\Leftrightarrow x^2-x+2-2(x-1)t=0\Leftrightarrow x^2+t^2-2-2x+2-2xt+2t=0\Leftrightarrow t^2+2t(1-x)+x^2-2x=0. \Delta '=1$

$\Rightarrow$ t=x hoặc t=x-2

Bài này là bài dê. Có một số bài phải biến đổi cực kì phức tạp.

Làm giùm em bài này với

Bai nao v. Neu duoc anh se giup.

Xy—4y+x=12

Ta có:

xy-4y+x=12<=>y(x-4)+(x-4)=8<=>(x-4)(y+1)=8=$\pm$1.$\pm$8=$\pm 8.\pm 1$=$\pm 2.\pm 4$=$\pm 4.\pm 2$.

Vì x,y nguyên=>các trường hợp.

TH1:x=5;y=7;

TH2:x=3;y=-9;

TH3:x=12;y=0;

TH4:x=-4;y=-2;

TH5:x=6;y=8;

TH6:x=2;y=-5;

TH7:x=8;y=1;

TH8:x=0;y=-3.

Tính tổng $S=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{20116^2}}$

Ta có: $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{(n^2+n)^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{(n^2+n)^2+2(n^2+n)+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{(n^2+n+1)^2}{n^2(n+1)^2}.$

$=>\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\frac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$

Sau đó bạn áp dụng vào là được nhé.

Chứng minh BĐT sau: $x^4+x+2>0$.

$x^4+x+2=(x^2-\frac{1}{2})^2+x^2+x+\frac{7}{4}>0.$

Cho biểu thức $P=x^{2}+xy+y^{2}-3(x+y)+3$. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0

$P=(x+\frac{y-3}{2})^2+\frac{3(y-1)^2}{4}\geq 0.$ 

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1.

Bạn giải ra chi tiết được không 

$P=x^2+x(y-3)+y^2-3y+3=(x^2+\frac{x(y-3)}{2}+\frac{(y-3)^2}{4})-\frac{(y-3)^2}{4}+y^2-3y+3=(x+\frac{y-3}{2})^2+\frac{3(y-1)^2}{4} \geq 0$.

Cho biểu thức $M=a^{2}+ab+b^{2}-3a-3b+2001$. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

$M=(a+\frac{b-3}{2})^2+\frac{3(b-1)^2}{4}+1998\geq 1998.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1.

Tìm GTNN của $\frac{x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+9}{x^{2}+2x}$ với x>0

$\frac{x^4+4x^3+4x^2+9}{x^2+2x}=x^2+2x+\frac{9}{x^2+2x}\geq 6.$

Dấu "=" xảy ra khi x=1.

Bài này ban tach phan tren la dc.

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A di động trên y=x^2.Tập hợp trung điểm I của đoạn OA là parabol.

Để đa thức P(x)=ax^4+bx^3+1 chia cho Q(x)=(x-1)^2 thì điều kiện là:

a) a=3,b=-4  b)a=-3,b=-4   c) a=-3,b=4    d)a=3,b=4

P(1)=a+b+1=0=>a+b=-1;

ĐÁP ÁN a).

cách làm chi tiết tí đi. À làm hộ câu 1 nữa nhé !!!

thực hiện phép chia đa thức thông thường, ta có: 4a+3b=0.

kết hợp với p(1)=0=> a+b=-1 =>a=3;b=-4.

Giải hệ: 
$\sqrt{x}+\sqrt{2012-y}=\sqrt{2012} $
$\sqrt{y}+\sqrt{2012-x}=\sqrt{2012}$

lấy vế trên trừ vế dưới sau đó nhân liên hợp ta được: $(x-y)(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{2012-x}+\sqrt{2012-y}})=0. =>x=y.$

rồi từ đay dễ r.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

$a)\sqrt{26}+\sqrt{8}>\sqrt{48}$ 

$b)\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}-\sqrt{10}<0$

$c)(\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}})(\sqrt{3}-4\sqrt{\frac{1}{3}}+2)\sqrt{0.2}-\sqrt{1.01}>0$ 

$d)\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}(\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{6}})-\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{3-\sqrt{2}}>0$ $e)\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}+\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}>1,9$ 

$g)\sqrt{\sqrt{17+12\sqrt{2}}-\sqrt{2}}>\sqrt{3}-1$ 

$h)(\sqrt{\sqrt{3}}+\sqrt{\sqrt{5}}+\sqrt{\sqrt{7}})-(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})<3$ $i)\frac{\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{2}}}{4}<0,8$

câu g)

$\sqrt{\sqrt{17+12\sqrt{2}}-\sqrt{2}}>\sqrt{3}-1<=>\sqrt{3+2\sqrt{2}-\sqrt{2}}>\sqrt{3}-1<=>\sqrt{3+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-1$

Bình phương hai vế :$<=>3+\sqrt{2}>4-2\sqrt{3}<=>\sqrt{2}+2\sqrt{3}-1>0.$(luôn đúng)=> BĐT cần chứng minh đúng.

câu h)

Dễ thấy: $\sqrt{\sqrt{3}}<\sqrt{3}$; $\sqrt{\sqrt{5}}<\sqrt{5}$; $\sqrt{\sqrt{7}}<\sqrt{7}$=> VT<0<3.

câu i)

Dễ chứng minh: $\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{2}}<1.7$; $\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{2}}<1.5$ =>$\frac{\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{2}}}{4}<0.8$.

Tại sao khi muốn bình phương 2 vế thì 2 vế phải đều không âm?

Đây là 1 kiến thức cũng khá căn bản trong khi giải các bài toán đại số, nhưng mình vẫn chưa thật sự hiểu rõ nguyên nhân. Mong các bạn giải thích giúp mình.
Cám ơn các bạn.

Bình phương hai vế áp dụng cho BĐT.

Có thể lấy ví dụ de hieu nguyen nhan vi sao can binh phuong hai ve.

-2<0 thì nếu bih phuogn 2 vế lên thì ko dc BĐT moi tuog duong.

Câu i) bạn bấm máy à sao biết bé hơn 1,5

nhân căn 3 vào, bình phuong lien tuc là dc.

Hi mọi người,

 

Mình có bài tập như sau: Giải phương trình: $(8x + 5)^{2}(4x + 3)(2x + 1) = 9$

 

Còn đây là bài giải của mình:

 

Đặt $2x + 1 = a$. Ta có:

$(4a + 1)^{2}(2a + 1)a = 9$

$\Leftrightarrow (16a^{2} + 8a + 1)(2a + 1)a = 9$

$\Leftrightarrow a(32a^{3} + 32a^{2} + 10a + 1) = 9$

$\Leftrightarrow 32a^{4} + 32a^{3} + 10a^{2} + a - 9 = 0$

$\Leftrightarrow 32a^{3}(a + 1) + 10a(a + 1) - 9(a + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (a + 1)(32a^{3} + 10a - 9) = 0$

$\Leftrightarrow (a + 1)(32a^{3} - 16a^{2} + 16a^{2} - 8a + 18a - 9) = 0$

$\Leftrightarrow (a + 1)[16a^{2}(2a - 1) + 8a(2a - 1) + 9(2a - 1)] = 0$

$\Leftrightarrow (a + 1)(2a - 1)(16a^{2} + 8a + 9) = 0$

Vì $16a^{2} + 8a + 9 = (4a + 1)^{2} + 8 > 0  \forall  a$ nên:

$a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = -1$

$2a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$

 

Đó là bài giải của mình. Khi mình thay $-1$ vào phương trình ban đầu thì đúng. Nhưng nếu mình thay $\frac{1}{2}$ vào phương trình ban đầu thì kết quả sai. Vậy câu hỏi của mình là tại sao mình giải đúng mà kết quả $\frac{1}{2}$ lại không phải là nghiệm ?

 

Lưu ý: Mình cần mọi người chỉ ra chỗ sai trong bài giải của mình đã nhé. Còn những cách giải hay hơn thì có thể nói sau ^^

 

Mình cảm ơn.

 

 

Edited: À quên mất, kết quả mình tìm được là $a$ chứ không phải $x$ nên thế vào nó sai. Topic đã giải quyết (sau 5s kể từ khi post bài ^^). Nhờ Administrators & Moderators xóa hộ!

vãi. thay a vào chô 2x+1=a mới tìm ra x rồi mới dc thay vào p/trinh.

a=-1=> x=-1;

a=$\frac{1}{2}$=> x=$\frac{-1}{4}.

Cho x,y là các số thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+ & \frac{1}{y^2} &+\frac{x}{y} =3\\ x & +\frac{1}{y} & +\frac{x}{y}=3 \end{matrix}\right.$ . Tìm tích xy

Cộng p/trinh trên cho phương trình dưới ta được: $(x+\frac{1}{y})^2+(x+\frac{1}{y})=6.$

Đặt: $a=x+\frac{1}{y}.$=> $a^2+a-6=0$=> a=2 hoặc a=-3.

Tới đây thì dễ rồi.

nếu $a,b,c\geq 0 ; a+b+c = 1 thì  M=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

CM tương đương.

chuyển vế: $(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{b}{b^2+1}-\frac{3}{10})+(\frac{c}{c^2+1}-\frac{3}{10})\leq 0<=>\sum( \frac{-3a^2+10a-3}{a^2+1})$(luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi x=y=3.

x=y=1/3 chứ

a=b=c=3 mới đúng thay vào thử ik bn.

CMR: n²+3n+5 không chia hết cho 121 với n là số tự nhiên

Gỉa sử tồn tại số tự nhiên n thỏa $n^2+3n+5$$\vdots$121.

=>$4(n^2+3n+5) \vdots 121<=>[(2n+3)^2+11]\vdots 121$.

Mặt khác, $n^2+3n+5$ $\vdots$ 11 (vì chia hết cho 121) => (2n+3)^2$\vdots$ 11.

mà 11 là số tự nhiên nguyên tố nên (2n+3)^2 $\vdots$ 121

=> (2n+3)^2+11  ko chia hết cho 121

=>dpcm.