Bài toán đã được chứng minh ở đây https://diendantoanh...3-n3-4-vdots-p/

Ta có $p^2-p+1=a^3$ với $a \in \mathbb{N}, a < p$

$<=> p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$ mà $a < p => a^2+a+1 \vdots p => a^2+a+1=kp$ 

Thay $a^2+a+1=kp$ vào $<=> p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$, ta được:

$p-1=k(a-1)$ thay vào $a^2+a+1=kp$, ta được: 

$a^2+a+1=k(ka-k+1)$ Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ , ta tìm $k$ và sau đó thay vào $p-1=k(a-1)$ để tìm $p,a$

1.Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số $a_i \in$ {1;-1} có n nghiệm thực phân biệt

2. Tìm $a,b,c \in Z$ sao cho đa thức $P(x)=(x^2+ax+b).Q(x)$ là đa thức có hệ số 1 hoặc -1 (Q(x) là đa thức có hệ số nguyên)

Nguồn:  thầy Phạm Quốc Sang

Nguồn: thầy Võ Quốc Bá Cẩn

1.Trong một trường học cứ mỗi bạn nam quen 32 bạn nữ và cứ mỗi bạn nữ quen 29 bạn nam.Hỏi số học sinh nam trong trường nhiều hơn hay số học sinh nử trong trường nhiều hơn và nhiều hơn bao nhiêu?

2.Trong bảng hình chữ nhật $m \times n$ ô có bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng đó?

https://drive.google...GoZ3nGwbj7/view

 $ \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{3}{2}$

Ngày 1

Câu I. Giải hệ phương trình: 

$$\left\{\begin{matrix} x+\frac{x}{2x^2+y^2}=\frac{4}{3} & & \\ y-\frac{y}{2x^2+y^2}=\frac{2}{3} & & \end{matrix}\right. $$

Câu II. Biết rằng $a,b,c$ là ba số tự nhiên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 

   i) $a-b$ là số nguyên tố

   ii) $ab+c(a+b)=3c^2$

   Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.

Câu III. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1} =\frac{3}{2}$ Chứng minh rằng:

$\sqrt{ \frac{a^2+1}{2} } + \sqrt{ \frac{b^2+1}{2} } + \sqrt{ \frac{c^2+1}{2} } + 3 \geq 2( \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c}).$

Câu IV 1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $AB.CD=AD.BC$.

            a) Giả sử $ABCD$ là từ giác nội tiếp và $M$ là trung điểm$BD$. Chứng minh răng $BD$ là phân giác góc $\widehat{AMC}$

            b) Giả sử tứ giác $ABCD$ không nội tiếp. Lấy điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $BD$ sao cho $\widehat{PAD}=\widehat{CAB}.$ Chứng minh rằng $BD$ là phân giác $\widehat{APC}.$

       2. Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ nhọn. Phân giác góc $\widehat{BAD}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ tại $P$. $PB,PD$ theo thứ tự cắt $CD,CB$ tại $E,E$. Gọi $J,L$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PBF,PDE$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEF$. Chứng minh $KJ=KL$.

Câu V. CHo $a,b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xét lưới điểm nguyên trên mặt phẳng tọa độ. Có hai loại bước chuyển, một bước chuyển lọa $A$ là di chuyển từ điểm $(x,y)$ đến một trong $4$ điểm sau: $(x \pm a, y\pm a)$, bước chuyển lọa $B$ di chuyển từ điểm $(x,y)$ đến một trong $4$ điểm sau: $(x \pm b, y \pm b)$. Giả sử ban đầu ta ở vị trị $(0,0)$ ta thực hiện luân phiên các bước chuyển loại $A$ và $B$, bắt đầu từ loại $A$ trước. Hỏi sau một số hữu hạn bước ta có thể đến được những điểm nào trong mặt phẳng. 

Ngày 1

Nguồn: Nguyễn Thành Đạt

https://diendantoanh...-tàu-2017-2018/

Bài 4 khối lớp 10 đã được chứng minh ở đây.

c/m $2\sqrt{ab+1}>a+b<=>4(ab+1)>(a+b)^2<=>2ab+4>a^2+b^2$

$<=>(a-b)^2 \leq 4$ ( luôn đúng)

Câu 3 b) Đặt $a=\sqrt[3]{3x^2-x+1}, b=\sqrt[3]{3x^2-7x+2},c=\sqrt[3]{2}$

Khi đó, ta có: $a-b-\sqrt[3]{a^3-b^3-c^3}=c<=>(a-b-c)^3=a^3-b^3-c^3<=>3b(a-c)(a-b-c)=0$

gửi đáp án cho đỡ mất :v , mong mod đừng phạt.

Cho $a,b,c,n \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $(a+bc)(b+ac)=13^n$. Chứng minh rằng $n \vdots 2$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $BB',CC'$ cắt nhau tại $H. M$ là trung điểm của BC, tia $HM$ cắt đường $(O)$ tại $Q$, tia $MH$ cắt đường $(O)$ tại $P$. Đường phân giác các góc $BPC'$ và $CPB'$ cắt cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $\Delta AEF$ cân và $H,E,F$ thẳng hàng.

Ta có kết quả quen thuộc $BP \bot AI$ và $CQ \bot AI$

Sao có kết qủa này vậy bạn?

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC, D,E,F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh $BC, CA, AB$. Đường thẳng $AI$ cắt $DE$ và $DF$ theo thứ tự tại $P$ và $Q, H$ là hình chiếu của $A$ trên cạnh $BC, M$ là trung điểm của $BC$. Đường thẳng $AI$ cắt $DE$ và $DF$ theo thứ tự tại $P$ và $Q,H$ là hình chiếu của $A$ trên cạnh $BC,M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $P,Q,H,M$ thuộc một đường tròn. 

$\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}$

$\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}$

Câu 2 a)$\sqrt{x} +\sqrt{x+3}=\sqrt{2x^2+4x+3}$ ĐKXĐ $x \geq 0$

$<=> x+x+3+2\sqrt{x(x+3)}=2x^2+4x+3$

$<=>\sqrt{x(x+3)}=x^2+x$

$<=>(x^2-x)+(2x-\sqrt{x(x+3)})=0$

$<=>(x^2-x)+\frac{3(x^2-x)}{2x+\sqrt{x(x+3)}}=0$

$<=>(x^2-x)(1+\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}})=0$

Với $x \geq 0 =>1+\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}>0=>x^2-x=0<=>x \in$ {$0;1$}

Câu 3 Ta có $p$ là số nguyên tố, $p-1 \vdots n=>p>n>n-1$ và $p=nk+1 (k \in \mathbb{N},k<n)$ 

Mặt khác $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1) \vdots p$ và $p$ là số nguyên tố $=>n^2+n+1 \vdots p=>n^2+n+1 \vdots nk+1=>n^2+n-nk+nk+1 \vdots nk+1=>n^2+n-nk=n(n+1-k) \vdots nk+1$

Mà $ƯCLN(n,nk+1)=1=>n+1-k \vdots nk+1$ và $0 \leq n+1-k<nk+1$ với  $n \geq 2, k<n=>n+1-k=0<=>n=k-1=>p=(k-1)k+1=k^2-k+1$

Từ đó, ta có $n+p=k-1+k^2-k+1=k^2$ là số chính phương với $(k \in \mathbb{N})=>$ĐPCM

Nguồn: Korkot

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC VINH NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút

Câu 1 (1,5 điểm). Cho phương trình $x^2-(2m+3)x+3m-1=0$, $m$ là tham số.

a) Tìm tất cả các số thực $m$ để phương trình đã cho có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7$.

b) Tìm tất cả các số nguyên $m$ để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Giải phương trình $\sqrt{x} +\sqrt{x+3}=\sqrt{2x^2+4x+3}$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x +\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=3  & & \\ x^2+\frac{1}{x^2}+y^2+\frac{1}{y^2}=5 & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên $n$ ($n \geq 2$) và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ đồng thời $n^3-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $n+p$ là só chính phương.

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $(a-b)^2=a+b+2$. Chứng minh rằng $(1+\frac{a^3}{(b+1)^3})(1+\frac{b^3}{(a+1)^3}) \leq 9$.

Câu 5 (3,0 điểm) Cho $2$ đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ cắt nhau tại 2 điểm $A$ và $B$ ($R>r$) sao cho $O$ và $O'$ ở hai phía đối với đường thẳng $AB$. Gọi $K$ là điểm sao cho $OAO'K$ là hình bình hành.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABK$ là tam giác vuông.

b) Đường tròn tâm $K$ bán kinh $KA$ cắt đường tròn  $(O;R)$ và $(O';r)$ theo thứ tự tại $M$ và $N$ ($M,N$ khác $A$). Chứng minh rằng $\widehat{ABM}=\widehat{ABN}$.

c) Trên đường tròn $(O;R)$ lấy điểm $C$ thuộc cung $AM$ không chưa $B$ ($C$ khác $A,M$). Đường thẳng $CA$ cắt đường tròn ($O';r$) tại $D$. Chứng minh rằng $KC=KD$.

Câu 6 (0,5 điểm). Cho $17$ số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp {$1,2,3,4$}. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $5$ ó trong $17$ số đã cho sao cho tổng của $5$ số này chia hết cho $5$.

Nguồn: conankun