Giải phương trình : $cos(8x-\frac{2\pi }{3})-cos(6x-\frac{\pi }{6})+cos(2x)=1$

Câu 1 (4 điểm): giải hpt

$y^{2}+3xy+2y=(3x+2)\sqrt{−3x−2}+y\sqrt{−3x−2}$

$x^{3}+3x^{2}+12x+6=(3x-1)y$

Câu 2( 4 điểm): cho dãy số un xác định bởi 

u1=2017

un+1=2017$un^{2}$+un

a) chứng minh limun=+∞

b) tính lim($\frac{u1}{u2}+\frac{u2}{u3}+....+\frac{un}{u(n+1)}$)

Câu 3: (3 điểm)

cho đường tròn (O;R) có dây AB cố định không phải là đường kính, điểm C di động trên đường tròn ( C khác A và B ). gọi H là trực tâm tam giác ABC và E là trung điểm của đoạn thẳng CH .

a) tìm quỹ tích của E .

b) vã tam giác đều CHM với M,B nằm cùng phía với đường thẳng CH. chứng minh rằng điểm M di động trên một đường tròn cố định

Câu 4 ( 3 điểm)

tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) xP(x+1)=(x−5)P(x) với mọi x thuộc R

ii) P(2017)=C52017

Câu 5 ( 3 điểm)

cho phương trình $x^{3}-3xy^{2}+y^{3}=n$với n nguyên dương. Chứng minh rằng nếu phương trình có một cặp nghiệm nguyên (x,y) thì nó có ít nhất ba cặp nghiệm nguyên phân biệt.

Câu 6 ( 3 điểm)

cho 100 số nguyên dương, không lớn hơn 100 ( không nhất thiết phải khác nhau) có tổng bằng 200. chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn đưuọc một số số có tổng bằng 100

Giải bất phương trình :

$\sqrt{\frac{x^{2}+x+2}{x+3}}+x^{2}\leq \frac{3}{\sqrt{x^{2}+3}}+1$

Tìm min $A=sin(7A)+sin(7B)+sin(7C)$

Câu 4 bạn giải thích giùm mình sao thay x=1;2;3;4;5 lại có P(4)=0; P(3)=0; P(2)=0 P(1)=0; P(0)=0
Ví dụ 5.P(6)=0.P(5)<=> P(6)=0 ??

Cho tam giác ABC thỏa mãn $sin(A)+sin(B)+sin(C)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Tìm các góc trong tam giác

Ta có $\cot ^{2}(3x)+1=\frac{1}{\sin ^{2}(3x)}=\frac{1}{3sin(x)-4 sin^3(x)}$
Thay vào phương trình ta được 
$1+(5sinx-2)(3sin(x)-4 sin^3(x))=0$
$<=> 1+15 sin^2(x) -20sin^4(x)-6sin(x)+8sin^3(x)=0$

Câu 3
Ta chứng  minh $\frac{1}{a}+\frac{4}{3}a=\frac{4a^2+3}{3a}\geq \frac{7}{3}+\frac{1}{6}(a^2-1) (*)$
(*) <=> $\frac{a^3-8a^2+13a-6}{6a}\leq 0$
<=> $\frac{(a-1)^2(a-6)}{6a}\leq 0$ (**)
Mặt khác $3=a^{2}+b^{2}+c^{2}> a^{2} <=> 0\leq a\leq \sqrt{3}$
=> (**) luôn đúng 
Vậy $\frac{1}{a}+\frac{4}{3}a=\frac{4a^2+3}{3a}\geq \frac{7}{3}+\frac{1}{6}(a^2-1)$
Tương tự với b và c rồi cộng vế theo vế ta được 
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{4}{3}(a+b+c)\geq 7+\frac{1}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-3)=7$ 
Dấu đẳng thức xảy ra khi  $a=b=c=1$

 

Câu 2:
Áp dụng bđt C-S ta  có : $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}=\frac{a^{4}}{ab}+\frac{b^{4}}{bc}+\frac{c^{4}}{ac}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+bc+ca}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Mặt khác ta có 
$\frac{a^{3}}{b}+b^{2}+\frac{b^{3}}{c}+c^{2}+\frac{c^{3}}{a}+a^{2} =\frac{a^{3}+b^{3}}{b}+\frac{b^{3}+c^{3}}{c}+\frac{c^{3}+a^{3}}{a}\geq \frac{ab(a+b)}{b}+\frac{bc(b+c)}{c}+\frac{ca(c+a)}{a}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca$

Vậy $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$
Cộng vế theo vế ta được $2(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a})\geq ab+bc+ca+a^{2}+b^{2}+c^{2}= b^2+ba+c^2+cb+a^2+ac\geq 2b\sqrt{ba}+2c\sqrt{cb}+2a\sqrt{ac}$
Suy ra điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Đặt  : $\sqrt{1-x}-3\sqrt{x+1}=t$ 
Ta có $t^{2}=1-x -6\sqrt{1-x^{2}}+9(1+x)=10+8x-6\sqrt{1-x^{2}}$

$<=> 6\sqrt{1-x^{2}}=8x+10-t^{2}$
Thay vào (1) ta được 

$mt+2(8x+10-t^{2})\geq 16x+3m+15$

$<=> -2t^{2}+mt+16x+20-16x-3m-15\geq0$

$<=> -2t^{2}+mt-3m+5\geq 0$

Đặt cos(x)=t 
Biến đổi phương trình ta được $32t^{8}-80t^{6}+48t^{4}-1=0$
đến đây chưa nghĩ được cách giải tiếp. 
 

Đk: $1\leq y\leq 6$ ; $2x+3y-7\geq 0$
Ta có (1) $<=> x(y-1)-(y-1)^{2}=\sqrt{y-1}+\sqrt{x}$
$<=> (y-1)[x-(y-1)]=\sqrt{y-1} +\sqrt{x}$
$<=>\begin{bmatrix} \sqrt{y-1} +\sqrt{x}=0 & \\ (y-1)[\sqrt{x} -\sqrt{y-1}]=1& \end{bmatrix}$
TH1: y=1 ; x=0 ta thấy 2x+3y =3 <7 ( loại )
TH2: $(y-1)[\sqrt{x} -\sqrt{y-1}]=1$ <=>...........

Mình thắc mắc ở phương trình (2)
$(\frac{2x+7}{3})^{2}\leqslant 2.(6-y+2x+y-7)=2.(2x-1)$
$<=> \frac{4x^{2}+28x+49}{9} \leq 2(2x-1)$
$<=> 4x^{2}+28x+49\leq 36x-18$
$<=> 4x^{2}-8x+67\leq 0$ (vô nghiệm )
vậy hệ vô nghiệm

Cho a;b;c>0 thỏa mãn: $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3$
Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{\sqrt{b^{3}+8}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{c^{3}+8}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{a^{3}+8}} \leq 1$