Chủ đề này có 3 trả lời

[supernatural1]

1, Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác. CMR:

$ a^{2}(\frac{b}{c}-1)+b^{2}(\frac{c}{a}-1)+c^{2}(\frac{a}{b}-1) \geq 0 $

2, Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$ \frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a} \geq a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{cb} $

3, Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 $. Chứng minh rằng:

$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{4}{3}(a+b+c) \geq 7 $

[ghostlove]

Câu 2:
Áp dụng bđt C-S ta  có : $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}=\frac{a^{4}}{ab}+\frac{b^{4}}{bc}+\frac{c^{4}}{ac}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{ab+bc+ca}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Mặt khác ta có 
$\frac{a^{3}}{b}+b^{2}+\frac{b^{3}}{c}+c^{2}+\frac{c^{3}}{a}+a^{2} =\frac{a^{3}+b^{3}}{b}+\frac{b^{3}+c^{3}}{c}+\frac{c^{3}+a^{3}}{a}\geq \frac{ab(a+b)}{b}+\frac{bc(b+c)}{c}+\frac{ca(c+a)}{a}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca$

Vậy $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$
Cộng vế theo vế ta được $2(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a})\geq ab+bc+ca+a^{2}+b^{2}+c^{2}= b^2+ba+c^2+cb+a^2+ac\geq 2b\sqrt{ba}+2c\sqrt{cb}+2a\sqrt{ac}$
Suy ra điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ghostlove: 13-07-2017 - 17:40

[ghostlove]

Câu 3
Ta chứng  minh $\frac{1}{a}+\frac{4}{3}a=\frac{4a^2+3}{3a}\geq \frac{7}{3}+\frac{1}{6}(a^2-1) (*)$
(*) <=> $\frac{a^3-8a^2+13a-6}{6a}\leq 0$
<=> $\frac{(a-1)^2(a-6)}{6a}\leq 0$ (**)
Mặt khác $3=a^{2}+b^{2}+c^{2}> a^{2} <=> 0\leq a\leq \sqrt{3}$
=> (**) luôn đúng 
Vậy $\frac{1}{a}+\frac{4}{3}a=\frac{4a^2+3}{3a}\geq \frac{7}{3}+\frac{1}{6}(a^2-1)$
Tương tự với b và c rồi cộng vế theo vế ta được 
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{4}{3}(a+b+c)\geq 7+\frac{1}{6}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-3)=7$ 
Dấu đẳng thức xảy ra khi  $a=b=c=1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ghostlove: 13-07-2017 - 17:40

[minhducndc]

bài này đợt trước m đăng xem ở đây nhé      https://artofproblem...munity/c6h77998