Với mình, mình không có nhiều hiểu biết về cái giả thiết quái đảng kia...............

Xạo đấy, mình thừa biết là tanA.tanB.tanC = tanA + tanB + tanC ......................... hề

Nhưng nếu bạn không biết đẳng thức lượng giác trên thì thế nào ????

Đơn giản thôi, chúng ta sẽ nhìn vào phát biểu của P để làm, đơn giản mà.............

Thấy y và z bình đẳng. Lập tức nghĩ rằng ... à đẳng thức xảy ra thì y = z, như vậy công việc cần làm là đánh giá cho hai phân thức cuối cùng

Khi dấu "=" xảy ra thì y^2 = y.y = yz = z^2

Khi đó: P = "phân thức 1" + 2 / căn( 1 + yz)

Có phải bài toán bảo tìm MAX không nhỉ

Vậy thì ta đổi một tí: P <= "phân thức 1" + 2 / căn( 1 + yz) 

Chứng minh bất đẳng thức trên bạn có thể tìm được trên mạng

Tới đây............. dùng giả thiết, rút x theo yz.......... vậy là ta đưa về được một ẩn thôi........khỏe 

Rốt cục mình thấy bạn khá là hài, người HL nhất m biết (hài lắm còn nghĩa khác tự suy)

chốt lại từ lời giải của bạn mình rút ra, lên mạng sớt và easy to prove đpcm

còn về bài toán m nghĩ chia cả tử và mẫu cho x,y,z và đặt 1/x, 1/y, 1/z bằng a,b,c

Đặt P= biểu thức cần cm

BT2 có x/(3-yz)= 2x/(6-2yz)

có 2yz <= y²+z² => 6-2yz >= x²+3 >= 2x+2 => 2x/(6-2yz) <= x/(x+1)

=> P <= x/(x+1) +y/(y+1) + z/(z+1)

=> P <= 3- 1/(x+1)-1/(y+1)-1/(z+1)

mà 1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1) >= 9/(x+y+z+3)

easy cm x+y+z <=3  => 1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1) >=3/2

=> P<= 3/2

Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 

 $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

Bạn nói đề vậy thì easy quá rồi, m nghĩ đề đúng vậy mới khoai

Bạn có cách khác ko giải bằng kiến thức lớp 7

Đường thẳng Ơ-le có thể cm bằng KT lớp 7 nhé 

BT1:Tìm các số thực x,y,z thỏa mãn cả 3 điều kiện sau

         1,$\sum \sqrt{x}=14$

         2,$\sum x^{2}=18$

         3,$\sum x=6$

BT2:CMR tồn tại duy nhất 1 bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn tính chất:tích hai số bất kì cộng với 1 chia hết cho số còn lại.

Bài 1 có nhầm lẫn gì ko bạn

có $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2} <= 3(x+y+z)$

=>14²<=3*6 ?????????

      làm sao vậy bạn

BĐT cần cm <=> a(1/b+1/c-4/(b+c))+b(1/c+1/a-4/(c+a))+c(1/a+1/b-4/(a+b)) >=0

mà 1/x+1/y >= 4/(x+y) với mọi x,y>0 => đpcm

Đặt $x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{2016}{c}$.

Điều kiện trờ thành $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$, hay $ab+bc+ca=1$.

$$P=\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}$$

$$=\sum \frac{a^2}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}$$

$$=\frac{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

$$=1-\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Ta có $(a+b)(b+c)(c+a) \geq (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})=8abc$, nên $\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \frac{1}{4}$.

Do đó $P \geq \frac{3}{4}$.

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$, hay $x=y=\sqrt{3}$ và $z=2016\sqrt{3}$.

Mình sẽ chỉnh lại lời giải của bạn chút nhé

Ở dòng thứ 6, ko dùng coooossi luôn mà xét 2 TH

nếu abc=<0 ta => P>=1

nếu abc>0 => có 2 số dương, 1 số âm , giả sử a>0, b<0, c<0

=> mà 1/a+1/b+1/c=1/abc >0

=> 1/a>1/(-b); 1/a>1/(-c) => a<-b, a<-c => a+b<0, a+c<0 mà b+c<0 => (a+b)(b+c)(c+a) <0

abc> 0 => ở dòng thứ 6 => P>1

mà bạn cm dc P>=3/4 => minP =3/4

chia hết cho là chc

Có 4^y-(3^z-3^x)=7^z-3^z

=> 4^y-3^x(3^z-x-1) =7^z-3^z

có 4^y chc 4 ; 7^z-3^z chc 4

=> 3^z-x-1 chc 4 nếu z-x lẻ => 3^z-x+1 chc 4 => 2 chc 4 vô lý

=> z-x chẵn

nếu z,x chẵn => z=2a, x=2b (a,b là SND)

2^2y= 7^2a-3^2b

2^2y= (7^a-3^b)(7^a+3^b) 2 số trên cùng chắn

=> phân tích 2^2ythành tích 2 số chẵn = 2^m * 2ⁿ (m,n là SND và m>=n)

=> 7^a+3^b=2^m ; 7^a-3^b=2ⁿ => 2^m-2ⁿ=2*3^b => 2^m-1-2^n-1= 3^b => n-1=0 =>n=1 => 7^a-3^b=2 => 7^a-1-3^b=1 . VT chc 3, VP ko chc 3

nếu z,x lẻ => z=2a+1, x=2b+1

pt trở thành 3*3^2a+4^y=7*7^2b

<=> 3*(9^a-1)+ 4^y-4= 7*(49^b-1)

có 9^a-1 chc 8 ; 49^b-1 chc 8, => 4^y-4 chc 8 (1)

nếu y>=2 => 4^y chc 8 => (1) sai

=> y=1 => 3*(9^a-1)= 7*(49^b-1)  => a=b=0 => x=z=1

Bài 2 chia hết cho là chc

Sử dụng quy nạp cm P= 1²+2²+...+n²=  n(n+1)(2n+1)/6

                                => P/n=(n+1)(2n+1)/6

do P/n là SCP =>(n+1)(2n+1)/6 =a² (a là SND)

^{có (n+1)(2n+1) chc 6 => n lẻ, n không chia hết cho 3}

^{=> n có dạng 6k+1 hoặc 6k+5}

nếu n=6k+1 => (3k+1)(4k+1)=a²  mà UCLN(3k+1,4k+1)=1 =>3k+1 và 4k+1 là SCP từ đó tìm k

nếu n=6k+5 => (k+1)(12k+11)=a² mà UCLN(k+1,12k+11)=1 => 12k+11 là SCP vô lý vì 12k+11 chia 4 dư 3 ko thể là SCP

Bài 1

m viết chia hết cho là chc nhé

c và d là 2 nguyên liên tiếp =>c =d+1 hoặc d=c+1

TH1 c=d+1

=> a-b=a²(d+1)-b²d

=> (b-a)(d(a+b)-1)=a²

giả sử tồn tại UC nguyên tố của b-a và d(a+b)-1

=> a² chc d => a chc d mà b-a chc d => b chc d

=> d(a+b) chc d => 1 chc d =>d=1 vô lý

=> b-a và d(a+b)-1 NTCN mà a² là SCP => abs(a-b) là SCP

TH còn lại hoàn toàn tương tự

Đề bài là x²+3y và y²+3x là số chính phương nhé

 vai trò như nhau không mất TTQ giả sử x>=y

=>x²<x²+3y<(x+2)²

=> x²+3y=(x+1)²

=> 3y=2x+1

y²+3x là SCP => y²+3x=a²  (a là STN)

                     => (2x+1)²/9+3x=a²

                     => 4x²+31x+1=9a²

                    => 64x²+496x+16=144a²

                    => (8x+31)²-144a²=945

                    => (8x+12a+31)(8x-12a+31)=945

Phân tích 945 thành tích 2 số nguyên dương chia 4 dư 3 tìm đc x và a

còn lại tự làm nhé

pt <=> x+y+2* căn((x+1)*(y-1)) = 2(x-y+2)²+2(x+y)

<=> x+y-2*căn((x+1)*(y-1)) + 2(x-y+2)²=0;

<=> (căn(x+1)-căn(y-1))²+2(x-y+2)²=0

VT >= VP Pt xảy ra <=> x+1=y-1 <=> y=x+2;

thay vào P= x⁴+x²-6x+2014

có x⁴+1+1+1 >=4x

   x²+1>=2x

=>P>=2010

AD BĐT bunhia co A² =< (4²+3²)*(3-x+x+1)

  => A =< 10

A²=16*(3-x)+9*(x+1)+ 24*căn(3-x)*căn(x+1)

A²=57 -7x+24*căn(3-x)*căn(x+1)

theo đkxđ x=<3; 24*căn(3-x)*căn(x+1)>=0 

=>A²>=36 mà A>=0

=> A>=6

m=0 <=> n=0

m,n >0

Vai trò như nhau giả sử m>n;

Gọi d=ƯCLN(m,n) => m=da; n=db; ƯCLN(a,b)=1 (1);  (a>b; a,b là SND)

(da)^db  = (db)^da

a^b=d^a-b*b^a

^=> a^b chia hết cho b^a

=> a^bchia hết cho b^b   do a>b

=> a chia hết cho b kết hợp đk (1) => b=1 =>  m=a*d=a*n,  có m>n => a>1;

đề bài => (an)ⁿ=n^an

=>aⁿ=n^(a-1)n

=>a= n^a-1

^{nếu n=1 =>a=1=> m=1 loại}

^{nếu n>=2} 

         nếu a=2=> n=2 =>m=4

         nếu a>=3 sử dụng quy nạp cm n^a-1>a => vô lý

vậy (2;4) và (4;2) là bộ tm bài

a, có (n-1)^2 < n^2-n+2 < (n+2)^2 mà lại là SCP => n^2-n+2 ={n^2 ; (n+1)^2}

b, có (n^2-2)^2 <n^4-n+2 < (n^2+2)^2 mà là SCP => .....

Đề bài là r/R =<1/2 nhé (1) S là diên tích, a,b,c là 3 cạnh tg

đây là lời giải

(1) <=> S/(2r) >= S/R

      <=>1/4 *(a+b+c) >= (4*S^2)/(abc)      (do 2S/r= a+b+c, R=abc/(4S)

      <=> (a+b+c)abc >= 16*S^2

      <=> (a+b+c)abc >= (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)     (AD công thức Hê-rông)

      <=> abc>= (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

      <=> luôn đúng