Cho a,b,c,d>0. Chứng minh: $\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\geq \frac{2}{3}$

tìm số nguyên dương n lớn nhất để $A=4^{27}+4^{2016}+4^{n}$ là số chính phương

Nếu $x\geq 27$ thì $T=4^{27}(1+4^{989}+4^{a-27})$
Do $4^27$ chính phương nên T chính phương khi $1+4^{989}+4^{a-27}$ chính phương.
Đặt $1+4^{989}+4^{a-27}=n^2$
Có $ n^2 > 4^{a-27} = (2^{a-27})^2$ nên $ n^2 \geq (2^{a-27}+1)^2$
Suy ra $1+4^{989}+4^{a-27} \geq (2^{a-27}+1)^2 = (2^{a-27})^2+2^{a-26}+1 $
Vạy $4^{989} \geq 2^{a-26} $
HAy $ 989.2 \geq a-26 $
vậy $ a \leq 2004$
Thay a =2004 có $ T = 4^{27}+4^{1016}+4^{2004} = 4^{27}.(1+2^{1977})^2 $ là số chính phương.
Vậy a lớn nhất bằng 2004.

bạn ơi thế nếu $0\leq a<27$thì sao hả bạn?

giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-1}.\sqrt[4]{4y-3}=x^{2} & \\ \sqrt{2y-1}.\sqrt[4]{4x-3}=y^{2}& \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} xy(x+2)(y+2)=9 & \\ x^{2}+y^{2}+2(x+y)=6 & \end{matrix}\right.$