Cộng vế theo vế của 2 pt:

$ x^3+x+2+3(x^2+x)=2y+y^3-y\Leftrightarrow (x+1)^3+x+1=y^3+y $ (1)

Xét hàm số $ f(t)=t^3+t $

Có $ f(t)^{'}=3t^2+1>0 $ Suy ra hàm $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Từ (1) ta được $ f(x+1)=f(y) \Leftrightarrow x+1=y $ 

à bạn ơi f(t) là sao nhỉ? bạn giải chi tiết dễ hiểu hơn cho mình với

Cho góc nhọn xAy. Các điểm B, C thuộc tia Ay sao cho AB = a, AC= 4a (a>0). Xác định vị trí điểm M thuộc tia Ax sao cho góc BMC có số đo lớn nhất

Đề sai. Nếu x=y=z=1 thì $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}=3+\sqrt{12}> 1$

Thưa bạn đề không sai, bạn chưa hiểu đề bài phải không? Đó chỉ là khoảng giới hạn cho ba số x, y, z thôi, và x+y+z=1 mà, làm sao cả ba đều = 1 được.

Bài 1: Cho x, y > 0 và $x^{3}+y^{3}+6xy\leq 8$.

Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Bài 2: Cho HPT:

$\left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=m+1 & & \\ x+(m-1)y=2 & & \end{matrix}\right.$

Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất sao cho x + y nhỏ nhất

Bài 3: Chứng minh

$\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< \frac{1}{3}$

Bài 4: Cho a, b, c > 0. CMR:

$\frac{a^{2}}{b^{3}}+\frac{b^{2}}{c^{3}}+\frac{c^{2}}{a^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho nửa đường tròn $(O,R)$ đường kính $AB.$ Vẽ dây $MN=R(M$ ở trên cung nhỏ $AN).$ Hai dây $AN$ và $BM$ cắt nhau tại $I,AM$ cắt $BN$ tại $K.$

a) $\widehat{AMB}= \widehat{ANB}=90^0 \Rightarrow K,M,I,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KI.$

b) $KA.KM=KN.KB$ và bằng phương tích của $K$ tới $(O).$

c) Gọi $O'$ tâm $(KAB)$ thì theo kết quả quen thuộc $KI=2OO'.$

Lại có $\widehat{MAN}= \frac{ \widehat{MON}}{2}= \frac{60^0}{2}=30^0 \Rightarrow \widehat{AO'B}=2 \widehat{AKB}=120^0.$

Do đó $\widehat{AO'O}=60^0 \Rightarrow OO'= \frac{AO}{ \sqrt{3}}= \frac{R}{ \sqrt{3}} \Rightarrow KI= \frac{2R}{ \sqrt{3}}.$

d) Theo câu c) thì $\widehat{AKB}=60^0 \Rightarrow (AKB)$ cố định.

Vậy $K$ di chuyển trên $(AKB)$ cố định, lại có $AB$ cố định nên $S_{KAB}$ lớn nhất khi $K$ là trung điểm cung lớn $AB$ của $(AKB).$

Khi đó hiển nhiên $M,N$ là giao điểm $BO',AO'$ với nửa đường tròn $(O).$

$KI=2OO'.$ ???? Xin lỗi nhưng tại sao ạ? với lại, AO = R/2.

 

@halloffame:

_ $AO$ là bán kính của đường tròn $(O,R)$ thì nó phải bằng $R.$

_Cách chứng minh $KI=2OO':$ lấy $I'$ đối xứng $I$ qua $O.$ Khi đó thì $IBI'A$ là hình bình hành nên $I'A \parallel IB \perp KA.$

Tương tự $I'B \perp KB \Rightarrow K,A,I',B$ nội tiếp đường tròn đường kính $I'K \Rightarrow O'$ trung điểm $KI'.$

Do đó $OO'$ là đường trung bình $\Delta I'KI \Rightarrow KI=2OO'.$

Mọi người giúp mình với

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O;R)$ ($AB<AC$) có $AD, BE, CF$ là  ba đường cao cắt nhau tại $H$

a) Chứng minh tứ giác $BFED$ nội tiếp

b) Đường thẳng qua $H$ song song với $EF$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh $AP.AB=AQ.AC$

c) $AD$ cắt $(O)$ tại $K$, $OK$ cắt $BC$ tại $I$. Chứng minh $IB.IC=R^{2}-OI^{2}$

d) Đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $IQ$ cắt $AH$ tại $G$. CM $IP$ vuông góc với $PG$

Hãy chứng minh $15a^{2}+8a+6$ và $30a^{2}+21a+13$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 1: Cho $P=\frac{4x}{\sqrt{x}-1}$

Với $x>9$, tìm GTNN của P

Bài 2: Giải phương trình

$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$P=\frac{\sqrt{1+a^{2}}}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{\sqrt{1+b^{2}}}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{\sqrt{1+c^{2}}}{\sqrt{1+a^{2}}}\geq 3$

Tìm x, y > 0 sao cho:

$(x^{2}+y+\frac{3}{4})(y^{2}+x+\frac{3}{4})=(2x+\frac{1}{2})(2y+\frac{1}{2})$

Cho điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ của $(O)$. Một đường thẳng $d$ ở ngoài $(O)$ và vuông góc với $OM$; $CM,BM$ cắt $d$ lần lượt ở $D,E$. Chứng mình $BCED$ nội tiếp.

 

Cho $(O)$ và $A$ ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ của $(O)$. $OA$ cắt $BC$ tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm $BH$, đường thẳng vuông góc với $OK$ tại $K$ cắt $AB,AC$ lần lượt ở $D,F$. Chứng minh $F$ là trung điểm $AC$. (Có thể sử dụng tam giác $ODF$ cân tại $O$)

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O')$ tại $B$, tiếp tuyến tại $M$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh tứ giác $MAPB$ nội tiếp.

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại E và F, tiếp tuyến chung ngoài AB, EF cắt AB tại H, chứng minh HA = HB.

HELP! MÌNH ĐỘT NHIÊN QUÊN CÁCH CHỨNG MINH RỒI!

$(x^{2}+x)^{2}+4(x^{2}+x)=12$ $<=>  $(x^{2}+x)^{2}+4(x^{2}+x)+4=16$  <=> $(x^{2}+x+2)^{2}=16$

<=> $\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+2=4 & & \\ x^{2}+x+2=-4 & & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} x^{2}+x-2=0 & & \\ x^{2}+x+6=0 & & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} (x-1)(x+2)=0 & & \\ (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{23}{4}>0 & & \end{matrix}\right.$

<=> $\begin{bmatrix} x=1 & & \\ x=-2 & & \end{bmatrix}$

Cho A = $\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+2}$

Tìm GTNN của A

Cho 1 < x < 2. Tìm GTNN của:

$M=\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{(2-x)^{2}}+\frac{1}{(x-1)(2-x)}$

Bài 4: Cho x > 1, y > 1. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}$

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Điểm E chuyển động trên đoạn BC. Nối AE cắt cung BC tại H. Nối BH cắt AC tại K. Nối KE cắt AB tại M.
a/ CM: Tứ giác KCEH nội tiếp
b/ CM: Góc CHK không đổi

c/ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AE và BK. CM: IJ vuông góc CM

Mọi người giúp mình câu c với!

Từ một điểm $A$ ở ngoài $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$ ($B,C$ là tiếp điểm). Kẻ đường kính $BE$ của $(O)$, $AE$ cắt $(O)$ tại $F$.

a) Chứng minh $AB^{2}=AF.AE$

b) Kẻ đường kính $FH$, $HC$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $K$ là trung điểm $EF$

c) Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh $IC$ là tia phân giác của góc $EIF$

d) Gọi $P$ là giao điểm của $OK$ và $BC$. Chứng minh $PE$ là tiếp tuyến của $(O)$

Mình đang mắc câu c và d, mọi người chỉ cho mình hướng giải hai câu cuối nhé! 

Cho $(O; AB)$ và $C$ di chuyển trên nửa đường tròn. Tia phân giác $ACB$ cắt $(O)$ tại $M$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AC, BC$. Gọi giao điểm của $CM$ và $HK$ là $I$. Khi $C$ di chuyển trên $(O)$ thì $I$ di chuyển trên đường nào? (Được phép sử dụng các kết quả sau: $H, O, N, K$ thẳng hàng; $CKMH$ là hình vuông; các tứ giác $AOMH, MOKB$ nội tiếp)

Cho $x=y$ hoặc $x=-y$

Tính min M=$2x^{4}-y^{4}+6xy+8y^{2}-10x-2y+2024$

Cho $(O; AB)$ và $C$ di chuyển trên nửa đường tròn. Tia phân giác $ACB$ cắt $(O)$ tại $M$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AC, BC$. Gọi giao điểm của $CM$ và $HK$ là $I$. Khi $C$ di chuyển trên $(O)$ thì $I$ di chuyển trên đường nào? (Được phép sử dụng các kết quả sau: $H, O, K$ thẳng hang; $CKMH$ là hình vuông; các tứ giác $AOMH, MOKB$ nội tiếp)