AM-Gm điểm rơi

$a=b=c=1$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=3 (giả thiết có thể không dùng tới)

Chứng minh

$(\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}})^3[a^2b(b+2c)+b^2c(c+2a)+c^2a(c+2b)]\geqslant (\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3})^4$

Không được áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Holder mà phải chứng minh nó trước!

Bạn lên diendan xem cách cm Holder

P.s: Tên hay đấy 

Với a,b,c>0; a + b + c $\leq$ $\frac{3}{2}$, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} + \frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{c^{2}} + \frac{c}{a^{2}}$

AmGm 3 số

Ta có 

$LHS \geq 3(t+\frac{1}{t})$

với $t=\sqrt[3]{abc}$

Ta sẽ cm

$t+\frac{1}{t}\geq \frac{5}{2}$

tương đương 

$t\leq \frac{1}{2}$ (đúng)

xảy ra khi $a=b=c$

Với a,b,c>0; a + b + c $\leq$ 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} + \frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{c^{2}} + \frac{c}{a^{2}}$

bạn xem lại chỗ đk thử xem

Simple AmGm

$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$

Tương tự rồi Holder 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2=2(b^2+c^2)$. Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P= \sum \frac{a}{b+c}$.

 

Ps: Câu trên đều trích trong đề kiểm tra cuối học kì II LỚP 8 

Cách khác đổi biến $x=\frac{b}{a}$ và $y=\frac{c}{a}$ rồi biến đổi tương đương

Cho a,b,c>0.CM:$\sum \frac{a^3}{a^3+abc+b^3}\geq 1$

(P/s:Cô-si ngược dấu?)

Ta có Dùng Titu Lemma

$\sum \frac{a^3}{a^3+b^3+abc}\geq \sum \frac{\frac{a^2}{b^2}}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}}\geq \frac{(\sum \frac{a}{b})^2}{(\sum \frac{a}{b})^2}=1$

Cho a,b,c>0.CM:$\sum \frac{a^3}{a^3+abc+b^3}\geq 1$

(P/s:Cô-si ngược dấu?)

Cách khác nữa. Dùng chuẩn hóa và đưa về biến đổi tương đương

https://scontent-xsp...867&oe=60C65413

(Albanian National Math Olympiad 2012) Tìm tất cả các số nguyên tố p thỏa mãn p+2 và p2 +2p−8 là các số nguyên tố.

Th1 $p=3,2$ thì $p=3$ thỏa mãn

Xét $p>3$

Th2 p chia 3 dư 1 nên $p+2$ chia hết cho 3

Th3 p chia  3 dư 2 nên $p^2+2p-8$ chia hết cho 3

Vậy $p=3$

Đặt các mẫu bằng

$b+c-a=x$ rồi tương tự. biểu diễn $a,b,c$ theo $x,y,z$ và amgm

P.s: Tại sao master lại đăng nhiều bài vậy?

cho a,b,c dương

chứng minh

$\sum \frac{1}{a^2+bc}\geq \frac{a+b+c}{2abc}$

giải theo nhiều cách nếu có thể

Ngược dấu bạn

Sửa lại dấu thi là Am-Gm

Khỏi bàn cãi gì nữa vì bất đẳng thức này đã sai với $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4},c=\frac{23}{6}$

https://www.wolframa...,c>0,ab+bc+ac=3

ơ thế volfram sai à

em kiểm tra bằng gì vậy

Mình mới làm quen với phần bất đẳng thức cực trị đạt được tại biên.Nhìn các bạn biến đổi mà hoa mắt quá.Cho mình hỏi có phương pháp chung cho dạng bài này không?

VD: Cho $a,b,c\epsilon [1;2].CM $a^3+b^3+c^3\leq 5abc

không bạn

có phải cái gì cũng có công thức đâu

phần lớn ta làm theo kiểu thử - sai. Người có kinh nghiệm thì sẽ làm đúng nhanh hơn

ví dụ của bạn xuất hiện trên vmf rồi, bạn chịu khó tìm đi

Bạn có thể giải thích kỹ hơn giúp mình đc ko ạ? Đọc mãi ko hiểu

Bước đầu là AmGm

Cho a,b,c>1 và $\frac{1}{a^{2}-1}+\frac{1}{b^{2}-1}+\frac{1}{c^{2}-1}=1$. CMR: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$

Cách 2:

Đưa về CM

$\frac{1}{a+1}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4(a^2-1)}$

tương đương

$\frac{(a-2)^2}{4(a^2-1)}\geq 0$ luôn đúng với $a>1$

Thiết lâp tương tự và cộng lại ta được dpcm

Xảy ra tại $a=b=c=2$

2 cái đầu bậc 2, cái kia bậc 1 mà bác ?

chia thoải mái đi

Tử mẫu đồng bậc nên chia rồi đổi biến

Tương tự, ta cũng có 

Cho $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bất đẳng thức Holder là gì vậy bạn? Trên mạng ghi khó hiểu wa

Bạn cố gắng hiểu nó đi, hoặc vào cái của vmf mà xem

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn: $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geqslant 3$$

Đưa về cm $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn: $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geqslant 3$$

Nó giải như thế này, nhác gõ lại wa nên các bạn xem tạm đi. Dùng Holder

Cho x là số dương thỏa mãn $\frac{x^{3}+1}{x}=18\sqrt{x}$

Tính A=$\frac{x^{2}+1}{x}$

có thể giải đc x mà 

Dễ chứng minh :$a^{5}+b^5\geq ab(a^3+b^3)$ ( bn cm bằng chuyển vế rồi phân tích ra nhé !)

Ta có : $VT=3-\sum \left ( \frac{c^2}{a^5+b^5+c^2} \right )\geq 3-\sum \left ( \frac{c^2}{ab(a^3+b^3)+c^2} \right )=3-\sum \left ( \frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} \right )=2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 (đpcm)

Một cách cm cái bổ đề

Áp dụng Amgm 5 số

$a^5+a^5+a^5+a^5+b^5\geq 5a^4b$

$a^5+b^5+b^5+b^5+b^5\geq 5ab^4$

Cộng lại

cho các số thực dương a,b,c

chứng minh 

$\sum \frac{a^3}{a+2b}\geq \frac{\sum a^2}{3}$ 

Dùng Titu lemma hay Svacxo hay Caychy gì đó

$LHS=\sum \frac{a^4}{a^2+2ab}\geq RHS$