$\boxed{1}$Cho hình vuông $ABCD$, $I$ là một điểm bất kì trên cạnh $AB$ ($I$ khác $A$ và $B$). Tia $DI$ cắt $CB$ tại $E$. Đường thẳng $CI$ cắt $AE$ tại $M$. Chứng minh rằng $DE$ vuông góc với $BM$ 

$\boxed{2}$Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a,AD=b$ $(a>b>0)$. Tia phân giác của $\widehat{BAD}$ cắt $BD,CD$ lần lượt tại $E,K$. Trên cạnh $BD$ lấy điểm $H$ sao cho $AE$ là phân giác của $\widehat{CAH}$. Gọi $F$ là giao điểm của $HK$ và $AB$. Chứng minh rằng: $C,E,F$ thẳng hàng.

$\boxed{3}$Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$), các đường cao $BD$ và $CE$. $DE$ cắt $BC$ tại $K$. Các tia phân giác của các góc $BAC,DKB$ cắt nhau tại $S$. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BD,CE$. Chứng minh rằng $M,S,N$ thẳng hàng.

$\boxed{4}$Trên cạnh $AC,BC$ của tam giác ABC theo thứ tự lấy $M,K$, trên đoạn thẳng $MK$ lấy điểm $P$ sao cho $\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}$. Tính diện tích tam giác ABC, nếu diện tích tam giác AMP và BKP bằng S₁, S₂.

Anh cho Topic thêm mấy bài để em củng cố kiến thức chuyên đề này được không anh ?

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}(xy)^3+3xy^3+1=5y^2 & \\ 3xy^3=2y^2+1 & \end{matrix}\right.$

Giải.

Xét y = 0 thì thấy vô lí

Xét $y\neq 0$ thì ta viết hệ dưới dạng: $\left\{\begin{matrix}x^3+3x+\frac{1}{y^3}=\frac{5}{y} & \\ 6x=\frac{4}{y}+\frac{2}{y^3} & \end{matrix}\right.$

Cộng theo vế hai phương trình trên, ta được: $x^3+9x=\frac{9}{y}+\frac{1}{y^3}$

$\Leftrightarrow (x-\frac{1}{y})(x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}+9)=0$

Dễ có $x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}+9 > 0$ nên $x=\frac{1}{y}$

Thay vào phương trình (2) tìm được $y = 1$ hoặc $y = -1$

Vậy nghiệm của hệ là $(x,y) = (1,1)$ và $(x,y) = (-1,-1)$

Giải phương trình: $x^3-15x^2+78x-141=5\sqrt[3]{2x-9}$

$PT\Leftrightarrow (x-5)^3=5(5+\sqrt[3]{2x-9})-3x-9$

Đặt: $y=5+\sqrt[3]{2x-9}$ thì ta có hệ: $\left\{\begin{matrix}(y-5)^3=2x-9 & \\ (x-5)^3=5y-3x-9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x-5)^3-(y-5)^3+5(x-y)=0\Rightarrow x=y$

Góp cho topic một bài hệ phương trình thú vị: $\left\{\begin{matrix}x^3-y^3=35 & \\ 4x+y^3-2y^2=-4 & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Phương trình (2) tương đương với: $(y+2)(y^2-4y+8)=12-4x$

* Xét $y>-2$ thì $12-4x>0$ nên $x<3$

Và $x^3=y^3+35>-8+35=27\Rightarrow x>3$ (mâu thuẫn)

Tương tự với $y <-2$ thì cũng suy ra vô lí

Vậy $y = -2$ nên $x = 3$

Bạn thử nhé!

Giải phương trình: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\frac{3}{2}$

Lời giải.

Dễ thấy điều kiện xác định của phương trình là $-3<x<\frac{-1}{3}$ hoặc $x>0$

+) Nếu $-3<x<\frac{-1}{3}$ thì $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}=\frac{1}{\sqrt{4+(x-1)(x+2)^2}}>\frac{1}{2}$

và $2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\sqrt{\frac{4x}{3x+1}}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{x-5}{4(3x+1)}}>\sqrt{\frac{5}{4}}>1$

Suy ra: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}>\frac{3}{2}$ (vô lí)

Vậy $x>0$

Xét $0<x\leqslant 1$ thì $3x^2+x^3\leqslant 3x^2+x$ nên $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}\geqslant \frac{2x+1}{\sqrt{x(3x+1)}}$

Mà ta dễ có: $\frac{2x+1}{\sqrt{x(3x+1)}}\geqslant \frac{3}{2}$ do biến đổi tương đương nên dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Nếu $x>1$ thì ngược lại điều trên ta có điều vô lí

Vậy $x=1$

Anh ơi anh có thể chỉ viết đề được không hoặc đáp án để ở bài viết sau hoặc ẩn đi được ko ?

P/s : Em muốn thức sức vs các bài này 

Bạn thử nhé!

Giải phương trình: $\frac{1}{\sqrt{3x^2+x^3}}+2\sqrt{\frac{x}{3x+1}}=\frac{3}{2}$

Bài 169: Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $ab=c(a+b)$ và $(a,c)=1$. Chứng minh rằng $abc$ là số chính phương

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Đặt $(a,b)=d$ thì tồn tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $a=dx,b=dy$ và $(x,y)=1$

Như vậy ta được: $dxy=c(x+y)\Rightarrow y|cx\Rightarrow y|c$ do $(x,y)=1$. Ta đặt $c=my$

Thay trở lại phương trình: $dx=m(x+y)\Rightarrow x|my\Rightarrow x|m\Rightarrow x|c$

Mà $x|a$ và $(a,c)=1$ nên $x=1$  khi đó $a=d$

Mặt khác cũng có: $d=m(x+y)\Rightarrow m|d$

Ta có dãy đánh giá sau: $1=(a,c)=(d,c)=(d,m)\Rightarrow m=1$ nên $c=y$ 

Lúc đó: $abc = d.dy.y=(dy)^2$ là số chính phương

Bài 168: Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $x^2(y^2z-x^2-5)=y(x^4+z)$

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Từ giả thiết: $yz(x^2y-1)=x^2(x^2y+x^2+5)\Rightarrow x^2y+x^2+5\vdots x^2y-1\Rightarrow x^2+6\vdots x^2y-1\Rightarrow x^2+6+6(x^2y-1)\vdots x^2y-1\Rightarrow x^2+6x^2y\vdots x^2y-1\Rightarrow 6y+1\vdots x^2y-1$ vì dễ có: $(x^2,x^2y-1)=1$

Khi $x^2\geqslant 9\Rightarrow x^2y-1\geqslant 9y-1>6y+1$ nên chỉ còn trường hợp $x=1,x=2$.

Từ đây dễ kết luận $(x,y,z)=(1,2,4)$

Bài 163: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn:$p=\sqrt{\frac{a^2-4}{b^2-1}}$

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Dễ thấy khi $p=2$ thì tồn tại $a=4,b=2$ thỏa mãn

Xét $p>2$ thì $p^2(b^2-1)=(a+2)(a-2)\Rightarrow b^2p^2=p^2+a^2-4$ (1)

Mặt khác dễ thấy chỉ có một trong 2 số $a+2$ hoặc $a-2$ chia hết cho $p^2$ nên $a+2\geqslant p^2$

Từ (1) ta có: $a^2<b^2p^2<a^2+a-2<(a+1)^2$, mâu thuẫn

Vậy $p=2$

Bài 178: Cho $a,b$ là các nguyên dương phân biệt và $(a,b)=1$. Chứng minh rằng $2a(a^2+b^2)$ không chia hết cho $a^2-b^2$

~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Khi $(a,b)$ thì $(a,a^2-b^2)=1$ nên ta đi chứng minh $2(a^2+b^2)$ không chia hết cho $a^2-b^2$

Giả sử $2(a^2+b^2)$ chia hết cho $a^2-b^2$

Đặt $(a^2+b^2,a^2-b^2)=d$ thì $\left\{\begin{matrix}d|2a^2 & \\ d | 2b^2 & \end{matrix}\right.$

Nếu $d|a$ thì $d|b$ và ngược lại nên $d=1$

Vì vậy $d=1$ hoặc $d=2$

* Xét $d=1$ thì hiển nhiên $a^2-b^2 | 2$ (Không tồn tại $a,b$ nguyên dương để $a^2-b^2=1$ hoặc $a^2-b^2=2$)

* Xét $d=2$ thì $a^2+b^2=2x$ và $a^2-b^2=2y$ với $(x,y)=1$ thì $4x\vdots 2y\Rightarrow 2x\vdots y\Rightarrow y \in \left \{ 1,2 \right \}$

Như trường hợp 1 thì cũng thấy vô lí

Ta có điều phải chứng minh

Bài 179: Tìm các số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p(p-1)^2+1$ là lũy thừa của $3$

~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

* Xét $p=2$ thì $p(p-1)^2+1$ là lũy thừa của $3$

* Xét $p>2$ thì $p$ lẻ nên $p(p-1)^2+1\equiv 1(\text{mod 4})$

Đặt $p(p-1)^2+1=3^n(n>2)\Rightarrow 3^n\equiv 1(\text{mod 4})\Rightarrow (-1)^n\equiv 1(\text{mod 4})$ nên $n$ chẵn. Đặt $n=2k(k>1)$

Khi đó phương trình được viết lại thành: $p(p-1)^2=(3^k-1)(3^k+1)$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $p|3^k-1$ hoặc $p|3^k+1$

** Nếu $p|3^k-1$ thì phương trình viết lại dưới dạng: $\frac{3^k-1}{2p}.\frac{3^k+1}{2}=(\frac{p-1}{2})^2$

Ta có nhận xét: $(3^k+1,3^k-1)=2\Rightarrow (\frac{3^k+1}{2},\frac{3^k-1}{2})=1\Rightarrow (\frac{3^k+1}{2},\frac{3^k-1}{2p})=1$

Do vậy $\frac{3^k+1}{2}$ là số chính phương mà $3^k+1\equiv 4(\text{mod 3})\Rightarrow \frac{3^k+1}{2}\equiv 2(\text{mod 3})$ (Vô lí)

** Nếu $p|3^k+1$ thì phương trình viết lại dưới dạng: $\frac{3^k+1}{2p}.\frac{3^k-1}{2}=(\frac{p-1}{2})^2$

Tương tự như trên thì ta cũng có $\frac{3^k+1}{2p}$ là số chính phương nên ta đặt $3^k+1=2pt^2$

Nếu $k$ lẻ thì $2pt^2=3^k+1\equiv 0(\text{mod 4})\Rightarrow t^2\equiv 0(\text{mod 2})\Rightarrow t^2\equiv 0(\text{mod 4})\Rightarrow 3^k+1\equiv 0(\text{mod 8})$ (Vô lí do $3^k+1\equiv 4(\text{mod 8})$)

Vậy $k$ chẵn nên ta đặt $k=2s$ do đó $\frac{3^{2s}-1}{2}$ là số chính phương 

Đặt $(3^s-1)(3^s+1)=2w^2\Rightarrow \frac{3^s-1}{2}.\frac{3^s+1}{2}=2(\frac{w}{2})^2$

Do đó trong hai số $\frac{3^s-1}{2}$ và $\frac{3^s+1}{2}$ có một số là số chính phương và một số gấp hai lần một số chính phương nhưng $\frac{3^s+1}{2}$ không là số chính phương nên ta đặt $3^s+1=4y^2\Rightarrow 3^s=(2y+1)(2y-1)\Rightarrow 2y-1=1\Rightarrow y=1\Rightarrow s=1\Rightarrow k=2\Rightarrow p|10\Rightarrow p=5$

Vậy $p=2$ hoặc $p=5$

Bài 185: Giải phương trình nghiệm nguyên: $7^m=5^n+24$

Ta có nhận xét sau: $7^m\equiv 4(\text{mod 5})$

Nếu $m$ lẻ thì ta đặt $m=2k+1$ khi đó $7^m=49^k.7$

* Nếu $k$ lẻ thì $49^k.7\equiv -7\equiv 3(\text{mod 5})$

* Nếu $k$ chẵn thì $49^k.7\equiv 7\equiv 2(\text{mod 5})$

Ta thấy mâu thuẫn rõ ràng nên $m$ phải là số chẵn. Đặt $m=2l$

-) Nếu $n$ là số lẻ thì đặt $n=2u+1$ khí đó $5^{2u+1}\equiv 4(\text{mod 7})\Leftrightarrow25^u.5\equiv 4(\text{mod 7})$

$\Leftrightarrow 4^u.5\equiv 4(\text{mod 7})$

Ta xét $u=3v,3v+1,3v+2$ đều thấy vô lí nên $n$ phải là số chẵn. Đặt $n=2r$

Vậy ta được $7^{2l}=5^{2r}+24$

Bài 184: Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $xy=z^2$ và $2p=x+y+6z$. Chứng minh rằng $p+4x,p+4y$ là các số chính phương.

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Đặt $(x,y)=d$ thì tồn tại các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x=da,y=db$ và $(a,b)=1$

Lúc này $d^2ab=z^2\Rightarrow d|z\Rightarrow z=dk(k \in \mathbb{Z}^+)$

Vậy ta được: $k^2=ab$ mà $(a,b)=1$ nên $a=u^2,b=v^2$ lúc đó $k=uv$

Từ giả thiết có: $2p=d(a+b+k)$ nên $d|2p\Rightarrow d\in\left \{ 1;2;p;2p \right \}$

* Nếu $d=1$ thì hiển nhiên $2p=u^2+v^2+6uv=(u+3v)^2-8v^2\Rightarrow 2|(u+3v)^2\Rightarrow 4|(u+3v)^2\Rightarrow 4|2p\Rightarrow p=2$

Vô lí vì nếu như vậy thì $4=u^2+v^2+6uv\geqslant 8$

* Nếu $d=2$ thì $p=a+b+k=u^2+v^2+6uv\Rightarrow p+4x=u^2+v^2+6uv+8u^2=(3u+v)^2$

Tương tự $p+4y$ cũng là số chính phương

* Nếu $d=p$ thì $2=u^2+v^2+6uv$ (vô lí)

* Nếu $d=2p$ thì $1=u^2+v^2+6uv$ (vô lí)

Bài 180: Cho $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt thỏa mãn $ab(a+b)$ chia hết cho $a^2+ab+b^2$. Chứng minh rằng: $|a-b|>\sqrt[3]{3ab}$

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Đặt $(a,b)=d$ thì tồn tại các số nguyên dương phân biệt $x,y$ thỏa mãn $a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$

Lúc này thì $d^2(x^2+xy+y^2)|d^3xy(x+y)\Rightarrow x^2+xy+y^2|dxy(x+y)$

Ta chứng minh các kết quả sau:

* $(x,x^2+xy+y^2)=1$

Thật vậy, đặt $(x,x^2+xy+y^2)=s$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2\vdots s & \\ x\vdots s & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\vdots s & \\ y\vdots s & \end{matrix}\right.\Rightarrow s=1$

Bài 161: Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $3^x-2^y=5$

~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Xét $y=1$ thì thấy không thỏa mãn

Xét $y>1$ thì $2^y$ là một bội của 4 nên từ giả thiết ta có: $3^x\equiv 1(\text{mod 4})\Rightarrow (-1)^x\equiv 1(\text{mod 4})$ nên $x$ chẵn

Ta cũng có: $2^y\equiv 1(\text{mod 3})\Rightarrow (-1)^y\equiv 1(\text{mod 3})$ nên $y$ cũng là số chẵn

Đặt $x=2a,y=2b$ thì $(3^a+2^b)(3^a-2^b)=5\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3^a+2^b=5 & \\ 3^a-2^b=1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=1$ nên $x=y=2$

Bài 160: Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+1,y^2+1$ là các số nguyên tố và $(x^2+1)(y^2+1)=z^2+1$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Do tính đối xứng giữa $x$ và $y$ nên ta có thể giả sử $x\geqslant y$

$\Rightarrow z^2+1=(x^2+1)(y^2+1)\leqslant (x^2+1)^2<(x^2+1)^2+1\Rightarrow z<x^2+1\Rightarrow z\leqslant x^2$

Và $z^2+1>x^2+1\Rightarrow z>x$

Vậy ta có được: $y\leqslant x<z\leqslant x^2$

Từ giả thiết ta có: $y^2(x^2+1)=(z+x)(z-x)$

Vì $x^2+1$ là số nguyên tố nên một trong hai số $z+x$ hoặc $z-x$ chia hết cho $x^2+1$

+) Nếu $z-x$ chia hết cho $x^2+1$ thì ta thấy vô lí do $0<z-x<z\leqslant x^2<x^2+1$

+) Nếu $z+x$ chia hết cho $x^2+1$ thì $x^2+1\leqslant z+x\leqslant x^2+x< 2x^2+2\Rightarrow z+x=x^2+1\Rightarrow z-x=(x-1)^2$

Vậy ta được: $y^2(x^2+1)=(x^2+1)(x-1)^2\Rightarrow y=x-1$ khi đó $(y+1)^2+1$ và $y^2+1$ đồng thời là các số nguyên tố. Mà dễ thấy hai số này khác tính chẵn lẻ nên $y^2+1=2$ nên $y=1$ tìm được $x=2,z=3$

Vậy có hai bộ số $(x,y,z)\in\left \{ (2,1,3);(1,2,3) \right \}$

 

Bài 131: Số nguyên dương $n$ được gọi là điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước nguyên dương của nó ( kể cả $1$ và $n$ ) đúng bằng $(n+3)^{2}$

a) Chứng minh rằng 287 là số điều hòa 

b) Chứng minh rằng số $n=p^{3}$ với $p$ là số nguyên tố lẻ không phải là số điều hòa

c) Chứng minh rằng nếu $n=pq$ với $p;q$ là 2 số nguyên tố là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương 

a) Các ước dương của $287$ là: $1;7;41;287$

Ta có: $1^2+7^2+41^2+287^2=(287+3)^2=84100$ nên $287$ là số điều hòa

b) Giả sử $n=p^3$ là số điều hòa 

Vì $p$ là số nguyên tố nên các ước dương của $p^3$ là $1;p;p^2;p^3$

Ta có: $(p^3+3)^2=1^2+p^2+p^4+p^6\Leftrightarrow p(p^3-6p^2+p)=8$ $\Rightarrow 8\vdots p$ nên $p=2$ (vô lí vì $p$ lẻ)

Vậy điều giả sử là sai tức số $n=p^3$ không là số điều hòa (đpcm)

c) $n=pq$ là số điều hòa nên $(pq+3)^2=1^2+p^2+q^2+(pq)^2\Leftrightarrow 4(pq+2)=(p-q)^2\Rightarrow p-q\vdots 2\Rightarrow \frac{p-q}{2}\in Z$

Do đó $n+2=pq+2=\frac{(p-q)^2}{4}=(\frac{p-q}{2})^2$ (là số chính phương,đpcm)

Ví dụ như $p^2+1=xy$ thì cũng có thể $q+1=p^3.x$ và $q-2=y$ có sai gì đâu đúng k?

Như thế này thì e nghĩ khoảng cách giữa $q+1$ và $q-2$ sẽ lớn hơn 3?

Tại sao TH3 lại có thể chia ra như vậy. Như thế là không chặt chẽ bởi vì $p^2+1$ có thể là hợp số

Là sao a? $q+1>q-2$ mà một trong hai số chia hết cho $p^3$ nên $q+1=p^3$ còn $q-2=p^2+1$ (Ý kiến riêng của em)

Em xin góp một bài!

$\boxed{124}$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $a^b+b^a=a!+b!$

$\boxed{Problem 118}$Tìm các số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $4^x+4^y+4^z$ là số chính phương.

Bài 159: Tìm các số nguyên không âm $a,b$ phân biệt thỏa mãn $a^4-b^4=p(a^3-b^3)$ với $p$ là một số nguyên tố

Lời giải.

Đặt $(a,b)=d$ thì tồn tại các số nguyên không âm $x,y$ sao cho $a=dx,b=dy$ và $(x,y)=1$

Lúc đó phương trình trở thành: $d(x+y)(x^2+y^2)=p(x^2+xy+y^2)$ do dễ thấy $x$ khác $y$

Dễ thấy khi $(x,y)=1$ thì $(x^2+xy+y^2,x+y)=(x^2+xy+y^2,x^2+y^2)=1\Rightarrow d\vdots x^2+xy+y^2$

Đặt $d=k(x^2+xy+y^2)\Rightarrow k(x+y)(x^2+y^2)=p$

Dễ thấy nếu $k=1$ thì không thỏa mãn nên một trong hai số $x+y$ hoặc $x^2+y^2$ phải bằng 1. Chỉ có trường hợp $x=1,y=0$ hoặc $x=0,y=1$

Vậy $a=p,b=0$ hoặc $a=0,b=p$

$\boxed{105}$Chứng minh $2^a+29^b$ không chia hết cho 23 với $a,b$ nguyên dương

$\boxed{101}$ Tìm các số nguyên tố a, b, c sao cho $a^{c-b}+c,c^a+b$ là các số nguyên tố

Mình sẽ sol luôn:

Các số $a,b,c$ nguyên tố nên $a^{c-b}+c\geqslant 3$ và $c^a+b\geqslant 6$, điều này chứng tỏ $a^{c-b}+c,c^a+b$ là các số lẻ

Suy ra trong hai số $c^a$ và $b$ có một số lẻ, một số chẵn

* Nếu $b$ lẻ thì $c^a$ chẵn suy ra c chẵn ($c=2$) nên $a^{c-b}$ lẻ, mà dễ có $c\geqslant b$ nên $b = 2$ (loại vì $b$ lẻ)

* Nếu $b$ chẵn thì $b=2$ và $c^a$ lẻ hay $c$ lẻ suy ra a chẵn nên a = 2. Ta cần tìm số $c$ sao cho $2^{c-2}+c,c^2+2$ là các số nguyên tố

Nếu c > 3 thì $c^2$ chia 3 dư 1 nên $c^2+2$ chia hết cho 3 (loại). Vậy c = 3, thử vào $2^{c-2}+c$ ta thấy thỏa mãn

Vậy ta có bộ ba số nguyên tố (a,b,c) = (2,2,3)

Tiếp tục: $\boxed{103}$ Tìm các số nguyên tố $p, q$ sao cho $p + q$ và $p + 4q$ là các số chính phương.

$\boxed{135}$ Tìm các số nguyên dương $(p,q)$ thỏa mãn $p$ là số nguyên tố và $p^5+p^3+2=q^2-q$

P.s: Một bài hơi giống 134

Ta có: $p^3(p^2+1)=(q-2)(q+1)$

$\blacksquare $ Xét $p=2$ thì $(q-2)(q+1)=40\Rightarrow q=7$

$\blacksquare $ Xét $p=3$ thì $(q-2)(q+1)=270\Rightarrow q=17$

$\blacksquare $ Xét $p>3$ thì $(q+1)-(q-2)=3<p$ do đó $p+1$ và $p-2$ không thể cùng chia hết cho $p$

Nên chỉ có $q+1$ hoặc $q-2$ chia hết cho $p^3$ mà $p^3>p^2+1$ nên $\left\{\begin{matrix}p^3=q+1 & \\ p^2+1=q-2 & \end{matrix}\right.\Rightarrow p=2;q=7$

Vậy có 2 cặp số $(p;q)$ thỏa mãn là $(2;7)$ và $(3;17)$