$P(x)=x-2$ nữa

$P(x)=\frac{x^n}{2^{2n-1}-1}$ với mọi số nguyên $n>1$ vẫn đúng

Rõ đi bạn

Giả sử $\text{deg P }=n\geq 2$ và đặt $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$ trong đó $a_i \in \mathbb{R}, \forall i = \overline{0,n},a_n\neq 0$

Trước hết so sánh hệ số của $x^{2n}$, ta được $(a_n.2^n)^2=2a_n^2+2a_n\Rightarrow a_n=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

Ta sẽ chứng minh $a_{n-i}=0,\forall i=\overline{1,n}$ bằng quy nạp

Thật vậy với $i=1$ thì ta so sánh hệ số của $x^{2n-1}$ thì thu được $$2a_na_{n-1}=2a_na_{n-1}.2^n.2^{n-1}\Rightarrow a_{n-1}=0$$

Giả sử khẳng định đúng với mọi $1\leq i\leq k$, ta sẽ chỉ ra $a_{n-k-1}=0$

Trường hợp $1$: $k$ chẵn khi đó ta sẽ so sánh hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong hai vế, dễ thấy $2P(x^2)$ chỉ chứa toàn đơn thức mũ chẵn mà $2n-k-1$ lẻ nên ta chỉ quan tâm đến hệ số trong hai đa thức $2P(x)^2$ và $P(2x)^2$

Rõ ràng trong khai triển của $2P(x)^2$ và $P(2x)^2$ thì số mũ của hạng tử $x^{2n-k-1}$ sẽ được xác định bởi $0\leq p,q\leq n$ thỏa mãn $p+q=2n-k-1$

Nếu có ít nhất một trong hai số $p,q\geq n-k$ thì một trong hai hệ số $a_p,a_q$ tương ứng sẽ bằng $0$ theo giả thiết quy nạp, do đó hệ số $a_pa_q$ của $x^{p+q}$ sẽ bằng $0$, do vậy ta có ngay điều phải chứng minh

Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp có một số bằng $n$ và số còn lại bằng $n-k-1$ (bởi vì nếu cả hai số đều không vượt quá $n-k-1$ thì vô lí)

Do đó ta xác định được hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong $2P(x)^2$ là $4a_na_{n-k-1}$. Tương tự thì hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong $P(2x)^2$ là $2.2^{n}.a_n.2^{n-k-1}a_{n-k-1}=2^{2n-k}a_na_{n-k-1}$ nên so sánh hệ số ta được $a_{n-k-1}=0$

Trường hợp $k$ lẻ mình không biết phải làm sao 

Chúc diễn đàn năm mới an khang, thịnh vượng và tất cả thành viên đạt được mục tiêu mình mong muốn trong năm $2023$ tới

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $$2P(x)^2+2P(x^2)=P(2x)^2,\forall x \in \mathbb{R}$$

Bất đẳng thức: 

Cho $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$ và a,b,c dương. Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2-bc+1}\leqslant 3$

Cho a,b,c dương và $abc\leqslant 1$. Tìm max: $\sum \sqrt[3]{\frac{a^2+a}{a^2+a+1}}$

Cho a,b,c dương. C/m $\sum(\frac{(a+2b)^3}{(a+2c)^3})\geqslant 3$

Cho x,y,z dương và $x+y+z=1$

Chứng minh: $\sum \frac{x}{y^2+z}\geqslant \frac{9}{4}$

Cho x,y,z dương thỏa mãn: $\frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}=2$

Chứng minh $x^3y^4z^2\leqslant \frac{1}{8^9}$

Cho a,b,c dương. C/m $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)+ (b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1) + (c+\frac{1}{a}-1)(a+\frac{1}{b}-1)\geqslant 3$

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $(x+y-z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z})=4$. Tìm GTNN: $(x^4+y^4+z^4)(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4})$

Cho hình thoi ABCD và một điểm M di động trên cạnh CD. Đường thẳng BM cắt đường thẳng AC, AD lần lượt tại G, E. Đường thẳng AM cắt CE tại F. Gọi Q là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh G,F,Q thẳng hàng

Tìm $m$ để phương trình $(m-1)x^2 -(m-5)x+(m-1)=0$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1

Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn: $3^x+2^y=1+2^z$

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.

a) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax,By lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng.

b) Vẽ đường tròn tâm (O') nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc với AB ở K. Chứng minh $S_{AMB}= AK.KB$

Giả sử phương trình
$\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=3$ có 3 nghiệm là bộ ba số ko đồng thời bằng nhau $(a;b;c);\left(\frac{a}{p};\frac{b}{q};\frac{c}{r} \right);(p;q;r)$
C/m bộ ba số $(ap^2;bq^2;cr^2)$ cũng là nghiệm của phương trình trên

Cho ngũ giác $ABCDE$ có $\widehat{B}=\widehat{D},\widehat{A}=\widehat{C}$. $H$ là giao điểm hai đường phân giác $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$. $G$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh $G,H,E$ thẳng hàng.