$a,b,c>0$, chứng minh rằng:

$\sum\limits_{cyc}\dfrac{4\sqrt{ab}}{2c+a+b}\le\sum\limits_{cyc}\sqrt{\dfrac{2a}{b+c}}$

 

Bạn nào giải giúp mình mấy câu này đk ạ?

Bài 12: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $I$. $L,S$ lần lượt là giao điểm của đường trung trực cạnh $AC, AB$ với $BC$. $D$ là giao điểm của $AI$ với $BC$. $M, N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC, ALS$. Chứng minh rằng $D,M,N$ thẳng hàng

Gọi giao điểm của $FM$ với $(O)$ là $L$, kẻ đường kính $FR$

Dễ thấy $MO$ là trục đối xứng của hình thang $ALEF$ nên $MO$ vuông góc $LE$ tại $T$

Ta có: $\angle TME=90^{\circ}-\angle AEL=90^{\circ}-\angle FRE=\angle RFE$ nên tứ giác $EMOF$ nội tiếp mà tứ giác $EOFS$ nội tiếp nên 5 điểm $E,M,O,F,S$ đồng viên

Vậy ta có điều phải chứng minh

Có mấy điểm vẽ thêm xàm mình tạo đường á, bạn đừng để ý, điểm $L$ trong đề bài rất vô dụng nên gọi điểm khác

Bạn chỉ rõ tại sao $OM$ là trục đối xứng được không, cảm ơn ạ ))

Bài 10: Cho tam giác $ABC (AB < AC)$ nội tiếp $(O)$. Tia phân giác trong $AM$ của tam giác $ABC$ cắt $(O)$ tại điểm $E$ khác $A$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc $OM$. Gọi $F$ là giao điểm khác $A$ của $(O)$ và $d$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $E$ và $F$ cắt nhau tại $S$. Gọi giao điểm của $EC$ và $MS$ là $N$, $L$ là giao điểm khác $A$ của $AN$ và $(O)$. Chứng minh rằng $OM$ vuông góc với $MN$.

Cho tam giác nhọn ABC với $AB \ne AC$ và có trọng tâm G. D là trung điểm BC, T là đường tròn tâm G, bán kính GD và E là giao điểm của I với BC $(E \ne D)$. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua E. Chứng minh rằng $GA' \perp BC$.

Cho tam giác ABC có O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Gọi M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của (O) và đường thẳng AI, BI. Lần lượt các đường thẳng AC và BC cắt dây cung MN tại D và E. Qua D kẻ đường thẳng song song với AM, qua E kẻ đường thẳng song song với BN, 2 đường thẳng cắt nhau tại H. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại P. Chứng minh các đường thẳng AN, BM, PH đồng quy hoặc song song.

Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O). Đường tròn (O) tiếp xúc BC,CA, AB lần lượt tại M,N,P. Chứng minh các trực tâm tam giác ABC, APQ, BOC thẳng hàng

Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC, BC lần lượt tại M,N,P. Gọi H là trung điểm AP, D là trung điểm BC. Chứng minh D, O, H thẳng hàng.

Câu $a)$ chắc khỏi cần nhỉ
Câu $b)$: $\Delta AMC\sim \Delta KQM(g-g), \Delta AMB\sim \Delta KPM(g-g)\Rightarrow \frac{KP}{MP}=\frac{AM}{BM}=\frac{AM}{CM}=\frac{KQ}{MQ}\Rightarrow KP.MQ=KQ.MP$
Câu $c)$: $\Delta KQP\sim \Delta ABC(g-g)\Rightarrow \Delta KPN\sim \Delta ACM(c-g-c)\Rightarrow \widehat{KNP}=\widehat{AMC}=\widehat{KQM}\Rightarrow \widehat{KNQ}=\widehat{OAK}=\widehat{OKA}\Rightarrow \widehat{ONK}=\widehat{OKM}=\widehat{OMK}\Rightarrow MNOK$ nội tiếp
Đến đây thì giả sử tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $PQ$ tại $S'$. Việc còn lại khá dễ dàng

Tại sao $\widehat{KNP}=\widehat{AMC}=\widehat{KQM}$ nhỉ ?

đoạn góc $\widehat{KQM}$ á

Cho $\delta ABC$ nhọn $(AB < AC)$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Đường tròn $(O)$ đường kính $AM$ lần lượt cắt cạnh $AB, AC$ tại $P,Q$ khác $A$.

1. Chứng minh rằng: $BP.BA + CQ.CA =\dfrac{1}{2}BC^2$

2. Đường thẳng qua $M$ và vuông góc với cạnh $BC$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $K$ khác $M$. Chứng minh rằng: $KP.MQ = KQ.MP.$

3. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn $PQ$, đường tròn ngoại tiếp $\delta MNK$ cắt đường thẳng $PQ$ tại điểm $S$ khác $N$. 

Chứng minh $SM, SN$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

$\Delta ABC$. Đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$

$M,N$ trung điểm $BC,EF$

Chứng minh $AH$ tiếp xúc $(HMN)$

Cho đường tròn (O); MA; MB tiếp tuyến; MCD cát tuyến; AA' đường kính; MO cắt A'C,A'D lần lượt tại P,Q chứng minh OP=OQ.