Chứng minh đẳng thức đó mà cũng dùng đến định lý Hamilton Calley thì hơi kỳ cục!

Riêng quả viết "thay" $\lambda$ bởi $A$ và $1$ bởi $E$ là thấy bá đạo rồi. Chắc lại sách mấy trường kinh tế - kĩ thuật, toàn mấy ông lởm khởm viết. 

Đó là nội dung định lý Hamilton Caylley!

bạn có thể làm chi tiết được không ạ , mình cảm ơn 

Vì $u_{n+1}\ge 3 u_n>0, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim u_{n}=\infty.$

Đặt $f(x)= \sqrt{9x^2+11x+3}.$

Khi đó, $\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{f(u_n)-u_n}{f(u_n)+u_n}.$

Từ $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}= \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}-1}{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}.$

Suy ra 

$$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{1}{2}.$$

cho dãy số $u_{n}$ được xác định bởi $u_{1}= \sqrt{3}$ và $u_{n+1} =\sqrt{9u_{n}^{2} +11u_{n} +3}$

Tính $lim \frac{u_{n+1}-u_{n}}{u_{n+1}+ u_{n}}$

Dùng thông tin $\lim u_n=\infty$ để tính giới hạn cần tìm như giới hạn hàm số!

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{n}>0 & & \\ u_{n}^{2}\leq u_{n}-u_{n+1},\forall n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$

$a)$ Chứng minh: $u_{n}<\frac{1}{n}, \forall n\geq 1$

$b)$ Tính $limu_{n}$

Ý a) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Ý chính $u_{n+1}\le u_n-u_n^2< \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n+1}.$

Dạ chỗ này: $u_n-u_n^2< \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$

Tại sao em nghĩ thế? Ta sẽ xem xét điều đó với $n\ge 2, 0<u_n<\frac{1}{n}\le \frac{1}{2}.$

Hàm $ g(x)= x-x^2 $ là hàm đồng biến trên $ \left. \left(0,\frac{1}{2}\right.\right].$

(Thay vì dùng tính đồng biến, em có thể lập hiệu và phân tích thành nhân tử.)

Dạ đúng là như vậy huynh ạ ^^

Hình như người ra đề không biết "cộng". Không biết $15+1=?$.

Từ phương trình thứ 2, ta thu được $y=0 \vee 4y^3+3xy^2-10x=0.$

TH1: $y=0$. Khi đó,  $x=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.

TH2: $4y^3+3xy^2-10x=0$. Kết hợp PT thứ nhất, ta được phương trình đẳng cấp

$4y^3+3xy^2-2x(4x^2+y^2)=0$.

Dễ thấy $x\neq 0$. Đặt $t=\frac{y}{x},$ ta thu được phương trình 

$4t^3-2t^2+3t-8=0.$

Giải phương trình bậc ba theo cách giải tổng quát, ta thu được

\[t=\frac{\sqrt[3]{12 \sqrt{18633} + 1628}}{12} - \frac{\sqrt[3]{12 \sqrt{18633} - 1628}}{12} + \frac{1}{6}.\]

(Xấu thì làm theo "cách xấu" thôi!)

Hình như chỗ này bị ngược dấu thì phải?

Viết thế thì ai biết chỗ nào?

Ý em là $u_{n}^{2}< \frac{1}{n^{2}}$ $<=> -u_{n}^{2}>-\frac{1}{n^{2}}$ nên em nghĩ bđt trên chưa chắc đúng.

Em ĐOÁN sai ý!

Chứng minh trên không phải tiếp cận thông qua tổng BĐT!

 

xet pt $(2) \iff 2x^2=2+2xy^3 \iff x^2-y^2=2xy^3 (3)$

Nhận vế của pt$(1)$ voi $(3)\iff (x^2-y^2)(x^2+y^2)=4xy^3$

................................................................................................

 

Tiếp cận này cho cần giải PT bậc 4 theo $t=\frac{x}{y}$ "đẹp".

Ngược lại, hướng tiếp cận bên dưới  dẫn đến giải PT bậc 4 khó hơn!

Đặt $a=x^2, b=y^2$, Hệ không hoàn toàn theo $a, b:$

\begin{cases} \begin{matrix} a+b=2,\\ a-xy b=1. \end{matrix}\end{cases}

Khi đó, $a=\frac{2 xy + 1}{xy + 1}, b=\frac{1}{xy+1}.$

Từ đó, ta dẫn về phương trình theo $xy$:

$(xy)^2=ab= \frac{2 xy + 1}{xy + 1}.\frac{1}{xy+1}.$

Đặt $t=xy,$ ta có

$$ t^4 + 2t^3 + t^2 - 2t - 1=0.$$

Đề đúng ạ ^^

$15y^4+y^4$???

Cảm ơn huynh đài ^^!
Huynh có thể chỉ cho đệ rằng nếu gặp một số hệ khác đưa về pt t=x/y xấu thì có kinh nghiệm gì & phương pháp gì  để giải không ạ ^^
Ví Dụ đệ gặp bài hệ này  $\left\{\begin{matrix}
4x^2+y^2=5 &  & \\
 15y^4+y^4+12x^2y^2-40xy=0&  &
\end{matrix}\right.$  đệ cũng đưa về đ.c đồng bậc 4 nhưng  k bt làm thế nào nữa @[email protected]
 

Có phải em gõ nhầm ở PT thứ 2 không?

có đơn giản quá không nhỉ

Ý bạn là thế nào?

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$

Vậy làm sao định nghĩa số $(1+\frac{1}{x})^x$ khi $x$ là số vô tỷ?

Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?

Cho dãy $(Un)$: $\left\{\begin{matrix}u_{1}=4 & \\ 4U_{n+1}=5U_{n}+3\sqrt{U_{n}^{2}-16} & \end{matrix}\right.$

Tính giới hạn của:$\sum_{n=1}^{2017}=\frac{U_{n}}{2^{2018-n}}$

Gõ đề sai rồi!

S

??? đề đúng thưa anh

Sai ở mức độ nghiêm trọng! 

....

Tính giới hạn của:$\sum_{n=1}^{2017}=\frac{U_{n}}{2^{2018-n}}$

 

 

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

Kết hợp sao vậy bạn? Giải thích rõ hơn dùm mình nha! Cảm ơn!

1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau:

                    $\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\cos{n}}{n}}.$

2) Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét tính hội tụ của dãy số sau:

$S_n=\frac{\cos{1^n}}{2^1}+\frac{\cos{2^n}}{2^2}+...+\frac{\cos{n^n}}{2^n}.$

$T_n=\frac{|\cos{1^n}|}{2^1}+\frac{|\cos{2^n}|}{2^2}+...+\frac{|\cos{n^n}|}{2^n}$. Dãy $\left\{ T_n\right\}$ hội tụ vì dãy này tăng và bị chặn trên bởi 1. 
Tìm ra chặn trên của dãy nhờ đánh giá $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}<1.$

Suy ra $\left\{ S_n\right\}$ hội tụ.

Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_{n}$

Đề sai rồi!

Tìm giới hạn dãy $1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}$

P/s:Mong mọi người bỏ ra chút thời gian giúp mình với ạ!

Dùng đánh giá $\ln{(1+x)}\le x,$ ta có 

$\frac{1}{k}\ge \ln\left( 1+\frac{1}{k}\right)=\ln{(k+1)}-\ln k. $

Suy ra 

$$1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}\ge \ln{(n+1).}$$

Do đó, 

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}\right)=\infty.$$

Lời giải:

 

Bài này cũng có thể giải được sao? Ngay cả $u_2$, mình cũng không biết xác định như thế nào!

Để cho dễ hiểu, cái đề cần phải sửa lại thế này :

Cho $(u_n)$ là một dãy số hữu hạn gồm n+1 số hạng : $u_0,u_1,u_2,...,u_n$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix}u_0=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_k+\frac{1}{n}\ u_k^2,\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Cho $n$ tiến đến vô cùng, hãy tính $\lim u_n$ ?

 

(Tức là với mỗi giá trị của $n$, ta có một dãy số hữu hạn khác nhau (với số hạng cuối cùng là $u_n$). Cần tính xem khi $n$ tiến đến vô cùng thì số hạng cuối cùng đó tiến đến bao nhiêu ?)

Vậy đó là một đề bài khác, không phải đề bài này.

Xét sự hội tụ của các tích phân

1. $\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}}lnx}{x(2-x)}dx$

[Tìm hàm $g$ để áp dụng tiêu chuẩn so sánh]

TPSR tại $0$.

Chú ý phân tích các số hạng mà tử và mẫu bằng 0 hoặc tiến về 0, tiến về  $\infty$ khi $x\to 0.$

(Khi các số hạng mà hàm số xác định tại 0 hoặc giới hạn của "số hạng đó" khi $x\to 0$ là một số thực hữu hạn thì loại chúng khỏi "hàm" g. )

Ta sẽ tạm ký hiệu $f\sim g$ nếu $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ là một số thực khác 0 nào đó.

Khi đó, $\sqrt[5]{x^2+x^5} \sim x^{2/5}\ln x$, và $x(2-x) \sim x.$ 

Xét $f(x)= \frac{\sqrt[5]{x^2+x^5}\ln x}{x(2-x)}$

Chính vì thế ta chọn hàm $g(x):= \frac{x^{2/5}\ln x}{x}=\frac{\ln x}{x^{3/5}}.$

Đến đây, ta có thể có làm theo một trong hai hướng khác nhau để tìm ra lời giải.

Lời giải 1 (phần đầu+ phần tiếp theo sau).

Ta nhận thấy $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|= \frac{1}{2}\neq 0.$

Áp dụng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn, các TPSR $\int_0^1 |f(x)|dx$ và  $\int_0^1 |g(x)|dx$ cùng tích chất hội tụ. Do đó, nếu $\int_0^1 |g(x)|dx$ hội tụ thì $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

Đến đây, dùng tích phân từng phần, dùng quy tắc l'Hospital, ta có thể kiểm chỉ ra $\int_0^1 x^{-3/5}\ln xdx$ hội tụ.

Lời giải 2 (phần đầu+ phần tiếp theo sau).

Hàm $g$ vẫn chưa đơn giản. Ta có thể thấy $|\ln x|\ll x^{-\alpha}$, với bất kỳ số thực dương $\alpha$.

Như vậy, ta sẽ cố tình 'đa thức hóa' một cách triệt để (thật ra là 'lũy thừa hóa').

Vì thế ta có thể chọn $h(x)= \frac{1}{x^{3/5+\alpha}}.$ Ngoài ra, ta mong muốn áp dụng được thì chọn $\alpha>0$ sao cho $3/5+\alpha<1$. Thí dụ chọn $\alpha=\frac{1}{5}.$

Vì thế, khi chọn $h(x)= \frac{1}{x^{4/5}},$ ta có

i) Ta nhận thấy $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{h(x)}\right|=0.$

ii) $\int_0^1 h(x)dx$ hội tụ.

Áp dụng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn,  nếu $\int_0^1 |h(x)|dx$ hội tụ thì $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

Suy ra $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ. 

Em thử áp dụng để giải bài 2!

$\lim_{x \to \infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$

Đề bài: $x\to \infty$ hay $x\to -\infty$?