Chào các anh chị, anh chị có thể giúp em giải các bài tập sau được không ạ, em cảm ơn nhiều ạ

lim (x^2+y^2) e^-(x+y) khi (x,y) -> (+vô cùng, +vô cùng)

Dùng BĐT $e^u \ge \frac{u^3}{3!}$ với $u>0.$

Tính giới hạn (nếu có) :

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2}}$

Cho $(x,y)\to (0,0)$ dọc theo đường cong tham số $x^2+y^2=ky.$ Ta có thể đơn giản hóa $x=\sqrt{ky-y^2}$ với $k>0, 0<y<k.$

Đặt $f(x,y)=\frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2}.$

Khi đó,  $f(\sqrt{ky-y^2},y) =\frac{k}{1+k^2}.$ Suy ra $\lim_{y\to 0^{+}}(\sqrt{ky-y^2},y)$ phụ thuộc $k$. Do đó, giới hạn $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ không tồn tại.

Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}\right )$

Chú ý:

  $$\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}= \left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} -x\right )+\left (\sqrt{x^{2}+2x}+x\right ).$$

Nhân lượng liên hiệp, ta sẽ xử lý được giới hạn.

Chào mọi người,
Mình là sinh viên năm nhất chuyên ngành Toán, vào HKII này mình sẽ học môn Giải tích hàm nhiều biến. Mọi người có ai biết tài liệu (chủ yếu sách bài tập có hướng dẫn giải chi tiết) để tự học tốt môn này thì giới thiệu giúp mình với ạ.
Mình cảm ơn mọi người nhiều.
 

https://toantink10.w...p-giải-tich-a2/

cảm ơn nhiều ạ
mà tại sao cái link sách này: http://darknmt.wordp...p-giải-tich-a2/ em nhấn vào thì PAGE NOT FOUND ạ  

   

https://www.nguyenqu...ch-A2.ver4_.pdf

Giải các phương trình vi phân cấp $2$ sau:

$a)$ $y''=\frac{y'}{\sqrt{y}}$

$b)$ $y''(1+y)=y'^2+y'$

Giải chính xác là điều rất khó và gần như "không thể".

"Giải" a)

Lấy tích phân 2 vế theo biến $x$ (giả sử $y$ là hàm theo $x$), ta thu được

$y' =2\sqrt{y}+C.$

Vấn đề nhại cảm bắt đầu hiện ra từ đây. 

Tồn tại $x$ sao cho $2\sqrt{y}+C=0$? 

Nếu làm ẩu thì chia 2 vế cho $2\sqrt{y}+C$ để đưa về dạng tách biến.

(Làm như thế đã làm mất đi nghiệm hằng thỏa $2\sqrt{y}+C=0$ trên tập xác định hàm $y$. Như thế cũng chưa chắc đã đủ nghiệm).

"Giải" b)

Giải phương trình vi phân: $y'=(3x-5+y)^{2}$

Đổi ẩn hàm $u=3x-5+y.$

PTVP: $u'=u^2+3.$

Giải hệ phương trình   

   $\left\{\begin{matrix}13x^{2}+5x-7y^{2}+5y=0 \\ 3x^{2}-2y^{2}+5=0 \end{matrix}\right.$

Vì $13x^{2}-7y^{2}=-5x+5y$ và $-3x^{2}+2y^{2}=5$ nên 

Ta có $5(13x^{2}-7y^{2})^2=(-5x+5y)^2 (-3x^{2}+2y^{2}).$

Do đó, 

$$x= \frac{3\, y}{4}\vee x=-\frac{y}{2}\vee x= \frac{10\, \sqrt{3}\, y}{23} - \frac{y}{23}\vee x=  - \frac{y}{23} - \frac{10\, \sqrt{3}\, y}{23}.$$

Phương trình thứ 2 có thể giúp ta loại bớt trường hợp.

Giải hệ phương trình   

   $\left\{\begin{matrix}13x^{2}+5x-7y^{2}+5y=0 \\ 3x^{2}-2y^{2}+5=0 \end{matrix}\right.$

Hệ đẳng cấp!

mn giúp em bài 2,4,5,6 với cả nhà iu !!!

Em đã quen với cấp số cộng (CSC) và cấp số nhân (CSN):  tổng của chung?

Bài 2: Lập hiệu $2S_{n}-S_n$ (trừ các số hạng tương ứng), xuất hiện tổng CSN.

Bài 4: $\{u_n^2\}$ là một CSC.

Bài 5: Dãy tăng và $u_n \le \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}= 2+ \left( 1-\frac{1}{n}\right)<3.$

Bài 6: Đặt $v_n= u_n-\frac{n(n-1)}{2}$. Ta có $v_{n+1}=v_n+2^n.$

Từ đây, suy ra $v_n$ (tổng một CSN).
 

Có tính đc CTTQ của dãy: x^2 + x^4 + ... + x^2n (n thuộc N*) ?

Cấp số nhân nhen!

bài 1. CMR $\lim_{x->0}\frac{\sqrt[n]{1+ax-1}}{x}=\frac{a}{n}$

$\lim_{}$

Bài 2. Cho dãy số Un: $\left\{\begin{matrix}x_{1}=2016, x_{2}=2017 & \\ x_{n}(x_{n-1}+x_{n+1})=2x_{n-1}x_{n+1} (n\geq 2)& \end{matrix}\right.$ Tìm $lim$ $x_{n}$

Bài 1: Gõ đề nhầm! Có thể dùng đạo hàm, đổi biến hoặc trực tiếp (nhân lượng liên hiệp).

Bài 2: 'chia-chia', ta nhận được dãy truy hồi tuyến tính cho dãy $\left\{ \frac{1}{x_n}\right\}.$

cho hỏi một câu không liên quan là bạn đặt tiêu đề kiểu gì vậy mình đặt toàn bị sai nên không đăng được bài

Bạn tìm đến mục "hướng dẫn sử dụng diễn đàn" (không phải tên gọi chính xác) để đọc qui định nhen! 

 

 

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?

Cho dãy số: $x_{1}=1;x_{n+1}=\frac{1}{x_{n}+1}$ với n>=1. Cmr: dãy số trên giới hạn hữu hạn

 $\{x_{2n}\} , \{x_{2n+1}\}$ là các dãy đơn điệu và bị chặn. Do đó, chúng hội tụ; và hội tụ cùng một giới hạn. Suy ra ĐCPCM. 

anh ơi chứng minh nó là dãy đơn điệu kiểu gì ùng

Em dùng các gợi ý sau:

1) $x_n\in (0,1] \forall n\in \mathbb{N},$

2) $x_{n+1}= f(x_n)$ với $f(x)=\frac{1}{x+1}$ là hàm giảm trên $(0,1].$

Chứng minh bằng qui nạp: $\{x_{2n+1}\}$ là dãy giảm; $\{x_{2n}\}$ là dãy tăng.

$$x_3<x_1 \Rightarrow x_4=f(x_3)> f(x_1)=x_2\Rightarrow  x_5=f(x_4)<f(x_2)=x_3, ...$$

ai giúp mình với

Nghịch đảo sẽ thấy dãy đơn giản theo dãy $\left\{\frac{1}{u_n}\right\}.$

"Ngịch đảo" ta sẽ dẫn ra dãy truy hồi tuyến tính $2v_{n+2}=v_{n+1}+v_{n}, n\ge 1,$ trong đó $v_n= \frac{1}{u_n}.$

Giải tìm $v_n$ theo $n$. Từ đó, ta xác định được $\lim u_n.$

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{n}>0 & & \\ u_{n}^{2}\leq u_{n}-u_{n+1},\forall n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$

$a)$ Chứng minh: $u_{n}<\frac{1}{n}, \forall n\geq 1$

$b)$ Tính $limu_{n}$

Ý a) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Ý chính $u_{n+1}\le u_n-u_n^2< \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n+1}.$

Ý em là $u_{n}^{2}< \frac{1}{n^{2}}$ $<=> -u_{n}^{2}>-\frac{1}{n^{2}}$ nên em nghĩ bđt trên chưa chắc đúng.

Em ĐOÁN sai ý!

Chứng minh trên không phải tiếp cận thông qua tổng BĐT!

Dạ chỗ này: $u_n-u_n^2< \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$

Tại sao em nghĩ thế? Ta sẽ xem xét điều đó với $n\ge 2, 0<u_n<\frac{1}{n}\le \frac{1}{2}.$

Hàm $ g(x)= x-x^2 $ là hàm đồng biến trên $ \left. \left(0,\frac{1}{2}\right.\right].$

(Thay vì dùng tính đồng biến, em có thể lập hiệu và phân tích thành nhân tử.)

Hình như chỗ này bị ngược dấu thì phải?

Viết thế thì ai biết chỗ nào?

Cho $x\to +\infty$. Chứng minh rằng: $\frac{arctan(x)}{1+x^2}=O(\frac{1}{x^2})$

Điều này dễ thấy vì $\lim_{x\to \infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}.$

 

$0\leq U_n \leq 2$ va $U_{n}+U_{n+2}\geq 2U_{n+1}$ , $n \leq 1$

cmr $0 \leq n(U_n-U_{n+1}) \leq 2$ 

 

Vì dãy $\left\{u_k-u_{k+1} \right\}$ là dãy giảm nên 

$$n(u_{n}-u_{n+1})\le (u_1-u_2)+(u_2-u_3)+...+(u_n-u_{n+1})=u_1-u_{n+1}\le 2.$$