Cho các số thực a, b (a>b) và hai dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ và $\begin{Bmatrix} v_{n} \end{Bmatrix}$ xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a; v_{1}=b\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}; v_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}} \end{matrix}\right.$ với mọi $n\in N^{*}$
Chứng minh rằng hai dãy trên co giới hạn hữu hạn và $\limu_{n}=\lim v_{n}$
Một số nhận xét dẫn đến lời giải cho bài toán:
1) Dùng qui nạp và bất đẳng thức Cauchy, ta nhận được $u_n\ge v_n \forall n\in \mathbb{N},$
2) Từ 1), ta thu được $ \left\{u_n\right\} $ là dãy giảm bị chặn dưới bởi $v_1=b$ và $\left\{v_n\right\}$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $u_1=a.$
3) Từ 2), ta thu được cả hai dãy hội tụ. Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$, ta suy ra hai dãy hội tụ về cùng giới hạn.