Nhận xét thêm về đề thi (chuyentoan chỉ dám nhận xét 2 bài là sở trường của mình ^^):
Bài 3: Bình tĩnh, vẽ hình chuẩn => thấy được ngay AI là tiếp tuyến ^^ (chuyentoan thì nhìn nhận điều này theo cách này: Rõ ràng B, D, C, E là hàng điểm điều hòa. I là trung điểm của DE, nên ID^2 = IB.IC => IA^2 = IB.IC => IA là tiếp tuyến)
Bài 5: Bĩnh tĩnh, nhận xét về đề bài. Thường bài kiểu này mà có nghiệm tổng quát toàn ra số n hoặc là số lớn, ở đây dùng bảng 3*3 thì nên thử cách tính "trầu bò" ^^ (cái này ai giải toán nhiều và biết tự nhận xét sẽ thấy ngay ^^)
Tóm lại là thi cử phải bình tĩnh, thoải mái. Đội của chuyên Hà Tĩnh có một bạn phải xuống phòng y tế 30 phút rồi lên làm tiếp. Cái này là do áp lực thi cử bị đè nặng. Không có khả năng giải tỏa sức ép (thầy cô, bố mẹ kỳ vọng, hoặc đơn giản là bài 1 thường rất dễ, tự nhiên khó, không làm được lại hoảng...).

Những ai đã làm tốt thì hãy sẵn sàng cho kỳ thi TST. Ai làm không tốt thì thoải mái, tham gia là thành công rồi ^^. Biết đâu cũng đc gọi thi TST thì sao. Còn không, là một lần thử thách bản thân.

học sinh VIỆT NAM càng ngày càng ít theo ngành toán là do co ý nghĩ kinh tế(nghèo!! )
và do ko thực sự đan ne chứ đã đam mê thì tiền lương ko quan trọng

Tiền lương rất quan trọng. Tất cả chúng ta, ai cũng phải lo cho bản thân, rồi lo cho gia đinh. Sau đó mới lo cho xã hội. Muốn người ta cống hiến cho xã hội người ta phải có cuộc sống tốt đã. Lấy ví dụ, lương Master mới ra trường, làm trợ giảng ở trường đại học của chuyentoan đang học tầm 3000 eur, sau trừ thuế còn lại tầm 1700 eur đến hơn 2000 eur (tùy theo bị áp mức thuế nào). Tiền ăn ở của một người bình thường bên này mỗi tháng hết 500 - 700 eur. Còn ở Hà Nội, tiền ăn ở một tháng hết bao nhiêu? Tiền lương của trợ giảng (tức là chưa phải người đi giạy chính thức) là bao nhiêu? Mình không so sánh giá trị tuyệt đối của đồng lương, vì như thế là không có ý nghĩa. Mình đang so sánh cái tỉ lệ giữa tiền lương với mức bình quân ăn ở. Rõ ràng lương ở nhà là chưa đủ cho ăn ở, lại còn muốn người ta đóng góp cho xã hội?

vào thi nghĩ bài 1 mà toát mồ hôi, đâm ra làm các bài khác trong 1 tâm trạng ko tốt khi còn vướng bài 1.hix.năm nay bộ chơi ác quá...làm đc mỗi 2 bài: hình và dãy.kiều này oạch rồi.

spam: khuyến cáo các thí sinh nên tập tạ và luyện thể lực trước khi thi ^^

Nói thật, trong một ngày mà làm 5 bài toán như thế thì đúng là mệt thật . Bài hệ đúng là khó nhằn so với thứ tự là "bài số 1". Bài cuối thì hiển nhiên đa phần là "hiếm người giải được". Những bài còn lại chuẩn. Chỉ có là, vẫn thích cấu trúc đề là 2 ngày 6 bài hơn như thế này. Còn nội dung đề năm nay thì hay

Ơ, cứ nghĩ Office 2010 đang beta mà nhỉ? Cấu hình thì cũng có cao lắm đâu

Thi quốc gia có được dùng máy tính ko thầy ơi ?
Nếu được thì loại FX 570 ES có được ko ?
À ko biết mấy cái định lý về hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa trong tài liệu thầy cho đó có được dùng ko chắng có lại chứng minh lại thì chịu thui. thà tìm cách khác còn ngon hơn !

Ngày xưa làm bài TST anh cũng từng chứng minh nguyên cả một định lý của hàng điểm điều hòa rồi áp dụng vào bài toán, cũng không mất thời gian lắm, vì khi đã có hướng giải thì trình bày không mất nhiều thời gian (nếu đã trình bày quen), còn hơn là lọ mọ nghĩ cách khác trong kỳ thi. Đó là điều tối kị nhất trong khi thi, khi đã nghĩ ra một cách và chắc chắn đúng, thì phải làm ngay, khác với khi ôn luyện ở nhà.

Về trình bày, có hai cách áp dụng những bài toán, bổ đề, định lý mà ta đã biết (trong trường hợp phải chứng minh lại):
C1: Viết lại dưới dạng bổ đề (sẽ dễ cho người chấm hơn), nhưng mất thời gian phát biểu lại và vẽ hình mới
C2: Chứng minh lại bài toán đó ngay trong trường hợp cụ thể là bài đang làm, đỡ mất thời gian hơn (người chấm khó hiểu hơn).

Về kinh nghiệm bản thân thì có lời khuyên là nên chọn cách 1 ^^

Bổ sung một tí cho dễ hiêu, từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
$\dfrac{NI}{NC} = \dfrac{MB}{MC}$
$\dfrac{QK}{QA} = \dfrac{PB}{PA}$
$\dfrac{QD}{QA} = \dfrac{PJ}{PA}$
$\dfrac{ND}{NC} = \dfrac{MH}{MC}$

Từ đề bài dễ dàng suy ra các cặp góc sau bằng nhau
$\widehat{DAQ}$ và $\widehat{CAP}$ (1)
$\widehat{CAQ}$ và $\widehat{BAP}$ (2)
$\widehat{ACN}$ và $\widehat{BCM}$ (3)
$\widehat{DCN}$ và $\widehat{ACM}$ (4)

Gọi $H,I,J,K$ lần lượt là hình chiếu của $M,N,P,Q$ trên $AC$. $DE$ và $BF$ lần lượt cắt $AC$ tại $S,T$. Để chứng minh $DE,BF$ song song ta chỉ cần chứng minh $AS = CT$, hay $\dfrac{SA}{SC} = \dfrac{TC}{TA}$.

Theo định lý Xê-va ta có:
$\dfrac{SA}{SC}\cdot \dfrac{QC}{QD}\cdot \dfrac{ND}{NA} = \dfrac{TC}{TA}\cdot \dfrac{MA}{MB}\cdot \dfrac{PB}{PC} (=1)$

Nên ta chỉ cần chứng minh:
$\dfrac{QC}{QD}\cdot \dfrac{ND}{NA} = \dfrac{MA}{MB}\cdot \dfrac{PB}{PC}$

Ta có:
$\dfrac{QC}{QD}\cdot \dfrac{ND}{NA} = \dfrac{S(AQC)}{S(AQD)} \cdot \dfrac{S(CND)}{S(CNA)}$
$= \dfrac{S(AQC)}{S(CNA)} \cdot \dfrac{S(CND)}{S(AQD)} = \dfrac{QK}{NI} \cdot \dfrac{DN}{DQ} $
$= \dfrac{\dfrac{QK}{AQ}}{\dfrac{NI}{NC}} \cdot \dfrac{\dfrac{DN}{CN}}{\dfrac{DQ}{AQ}} $ (5)

$\dfrac{MA}{MB}\cdot \dfrac{PB}{PC} = \dfrac{S(CMA)}{S(CMB)} \cdot \dfrac{S(APB)}{S(APC)}$
$= \dfrac{S(CMA)}{S(APC)} \cdot \dfrac{S(APB)}{S(CMB)} = \dfrac{MH}{PJ} \cdot \dfrac{PB}{MB} $
$= \dfrac{\dfrac{MH}{MC}}{\dfrac{PJ}{AP}} \cdot \dfrac{\dfrac{PB}{AP}}{\dfrac{MB}{CM}} $ (6)

Từ (1), (2). (3), (4), (5) và (6) dễ thấy được chứng minh nên bài toán được chứng minh

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). M thay đổi trên (O) không trùng vào đỉnh tứ giác . Gọi A',B',C',D' là điểm đối xứng của M qua AB,BC,CD,DA .CMR: hoặc D' luôn là trực tâm tam giác A'B'C' hoặc không có v5 trí nào của M để D' là trực tâm giác này
--> Vẽ $MB_{1}$ $BD$ => A' , B1,D' thẳng hàng và B,C',B thẳng hàng (theo simson)
Giờ phải chứng mình nêu D' là trực tâm của A'B'C' thì ABCD là hình chữ nhật và ngc lại . Các bạn cm zùm tiếp

Có mấy vấn đề như sau:

Thứ nhất, nếu $A',B',C',D'$ là các hình đối xứng của $M$ qua các cạnh thì $A',B_1,D'$ không thẳng hàng mà là $A''.B_1,D''$ thẳng hàng, nếu ta ký hiệu $A'',B'',C'',D''$ là hình chiếu của $M$ trên các cạnh. Chắc là mat_lovely cũng muốn chứng minh bài toán với 4 điểm này. Ý tưởng này rất tốt, vì $A'',B'',C'',D''$ là ảnh của $A',B',C',D'$ qua một phép vị tự tâm $M$ với hằng số $\dfrac{1}{2}$, nên nếu ta chứng minh được bài toán đúng với 4 điểm $A'',B'',C'',D''$ thì cũng tương đương với điều phải chứng minh.

Thứ hai, chuyentoan chưa thử xem có phải thực sự là nếu $D''$ là trực tâm của tam giác $A''B''C''$ (hay tương đương là $D'$ là trực tâm của tam giác $A'B'C'$) thì $ABCD$ là hình chữ nhật và ngược lại. Nhưng theo "cảm giác" thì có vẻ không đúng lắm.

chuyentoan nghĩ theo một hướng tiếp cận khác và đã giải xong. Ý tưởng đơn giản là, chứng minh các góc giữa các cặp đường thẳng $A''B''$ và $C''D''$, $A''C''$ và $B''D''$, $A''D''$ và $B''C''$ luôn không đổi, khi đó ta sẽ dễ thấy là bài toán chỉ là hệ quả của điều này.

các bác giúp e bài này với....

Hướng dẫn câu c)

Gọi $F$ là đầu còn lại của đường kính qua $D$ của đường tròn tâm $O$. Chứng mình rằng $A,E,F$ thẳng hàng (có thể dùng phép vị tự). Từ đó suy ra $OM$ song song với $EF$ (do $OM$ là đường trung bình của tam giác $DEF$. Nên $OM$ cũng song song với $AE$ suy ra $OM$ đi qua trung điểm $AD$

Có vẻ đề sai, bạn xem lại đề cái^^

a)

Dễ thấy hai tứ giác $APMC$ và $BCMQ$ là hai tứ giác nội tiếp suy ra:
$\widehat{PAM}=\widehat{PCM}$ và $\widehat{QBM}=\widehat{QCM}$
Từ đó suy ra tam giác $PCQ$ vuông tại $C$. Suy ra tứ giác $MRCS$ là tứ giác nội tiếp. Nên:
$\widehat{MRS}=\widehat{MCS}=\widehat{MBQ}=\widehat{MAB}$ suy ra $RS$ song song với $AB$ (đpcm)

b)

Từ kết quả của câu a) suy ra $\dfrac{RM}{RA}=\dfrac{SM}{SB}$ (1)
Giả sử rằng $RC\cdot RP = SC\cdot SQ$ thì dễ thấy $RA\cdot RM = SB \cdot SM$ (2)
Nhân vế theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được $RM^2 = SM^2$. Từ đó dễ dàng suy ra $RM = SM$ và $RA=SB$.

Xét hai tam giác $RAC$ và $SBQ$
$RA=SB$
$\widehat{RAC}=\widehat{SBQ}$
$\widehat{CRA}=\widehat{MSC}=\widehat{QSB}$
Suy ra hai tam giác này bằng nhau nên $RC=SQ$, đẳng thức còn lại chứng minh bằng cách xét hai tam giác tương tự hoặc dùng đăng thức $RC\cdot RC = RA\cdot RM = SB\cdot SM = SC\cdot SQ$

Sửa lại đề là $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $E$ chứ không phải tại $R$ nhé.

Coi như câu (a) và câu (b) đã được chứng minh.

Chứng minh câu c:

Do $M$ là điểm chính giữa cung bé $CD$ của đường tròn tâm $O'$ nên $AM$ là phân giác trong góc $\widehat{CAD}$. Suy ra $N$ là điểm chính giữa cung bé $AD$ của đường tròn tâm $O$. Suy ra $N$ thuộc đường trung trực của $AD$ (chú ý khi câu (a) đã được chứng minh, rõ ràng $AD$ là đường cao từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$). Mặt khác $O$ và $O'$ cũng thuộc đường trung trực này, suy ra $O,O',N$ thẳng hàng.

Dễ thấy $O'M$ vuông góc với $CD$, mà $CD$ song song với $O'N$ (do $O,O',N$ thẳng hàng và $CD$ song song với $OO'$) nên tam giác $MO'N$ vuông góc tại $O'$. Tam giác đó có $O'I$ là đường trung tuyến tương ứng với cạnh huyền suy ra $O'I=IN$. Từ đó suy ra:
$\widehat{IO'O}=\widehat{IO'N}=\widehat{INO'}=\widehat{ANO}=\widehat{NAO}=\widehat{IAO}$
Suy ra tứ giác $AOIO'$ là tức giác nội tiếp nên góc $\widehat{OIO'}$ vuông (đpcm)

$x,y,z$ là các số thực dương cho trước. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trong các hình chữ nhật $ABCD$ thỏa mãn tồn tại điểm $P$ nằm trong và $PA,PB,PC$ lần lượt bằng $x,y,z$

đánh các số tùy ý từ 1 đến 2000 lên một đường tròn
chứng minh rằng có thể chọn 1000 điểm liên tiếp trên đường tròn sao cho có đúng 500 số lẻ, 500 số chẵn

Gọi các số được đánh theo vòng tròn là $a_1,a_2,...,a_{2000}$. Trong chứng minh này, các chỉ số của $a_i$ luôn được tính theo modulo $2000$. Gọi $S_i$ là các tập hợp được định nghĩa như sau:
$S_i = \{a_i,a_{i+1},..., a_{i + 999}\}$
Và định nghĩa hàm $f(S)$ là hiệu số các phần tử chẵn của trừ đi số các phần tử lẻ của tập $S$.

Xét $f(S_1),f(S_2),...,f(S_{1001})$. Trước hết ta thấy $f(S_i)$ luôn có giá trị chẵn và
Rõ ràng $f(S_1) + f(S_{1001})=0$, do số chẵn và số lẻ trên đường tròn bằng nhau.
Và $S_{i + 1}$ chỉ có thể nhận một trong ba giá trị $S_i,S_i + 2,S_i -2$.
Từ đó suy ra tồn tại một chỉ số $j$ sao cho $S_j=0$, hay bài toán được chứng minh.

Em thấy bình thường,không có gì là khó chụi cả.Có 2 nút Ctrl ở gsc trái bên dưới và nút bên phải đều tiện.Hầu như chỉ dùng tới cái góc trái dưới thui.

Ừ, thì có phải là cái Ctrl thường nằm ngoài cùng đúng không? Ai dùng quen đều lấy ngón út tay trái với ra góc đó. Nhưng cái vị trí đó của máy Lenovo là phìm Fn ^^

Lenovo


Sony


HP


Dell

Thường thì các latop mà em đã dùng có 2 nút Fn. 1 cái bên trái Ctrl trái. 1 cái bên phải.

Anh đang nói tớ 2 cái phím bên trái phía dưới ấy. Nút Ctrl bên phải rất ít khi được dùng đến ^^ Nút Ctrl bên trái được dùng nhiều hơn, và theo thói quen là nút ở góc trái phía dưới luôn, nhưng ở máy Lenovo chỗ đó là phím Fn^^

Nếu để ý kĩ cái máy này có phím Fn bên trái phím Ctrl, rất khó chịu khi sử dụng. Kô tin mua về dùng mà xem

Nhận xét chuẩn. Các lap khác, Fn nằm bên phải Ctrl, riêng Lenovo vẫn rập khuôn nút Fn của IBM ngày xưa, rất khó chịu với những người có tần suất dùng Ctrl nhiều ^^

math_lovely cứ nói thẳng ra là một phần do chuyentoan đi. Toán học nói riêng, khoa học nói chung, không thể chấp nhận những điều dối trá. Đừng có bày đặt giận dỗi trên diễn đàn làm gì! Hãy chứng tỏ mình là một con người đứng đắn, có ích cho cộng đồng đi đã. Những gì mà MG đang thể hiện chẳng khác gì dỗi hờn vớ vẩn cả. Nếu như MG bỏ kiểu post bài lung tung vớ vẩn thế này, xây dựng những topic nghiêm túc, bạn luận đúng nghĩa, thì có phải tốt cho tất cả không. Đằng này còn bày đặt dỗi hờn, vớ vẩn!!!

chuyentoan xin lỗi năm mới làm mọi người không vui.

Bây giờ em hãy forward lại cài bài viết 1 + 1 = 1.
Gửi email của chị em bên US.
Cho anh contact của thầy Trí.

Anh sẽ tự kiểm chứng những điều em nói trên diễn đàn. Nếu anh đã sai trong những bài post của mình. Anh sẽ đứng ra thay mặt mọi người xin lỗi em.

Cám ơn em!!!

à mà nếu anh không tin em đã thực sự học trước gần 2 lớp, cứ thử em, nhưng anh đừng có lôi mấy bài HSG vào, em giải cả tháng cũng chẳng ra đâu. Anh đừng lâu lâu chọt vào chửi xéo em, có lẽ vì anh nghĩ rằng em như những đứa khác, lên chỉ để thu lấy sự sùng bái, tôn trọng người khác. Em thì khỏi cần danh vọng chi, mọi người chỉ tin vào cái mọi người muốn tin chứ những cái khó tin đâu phải là không đáng tin. Nói chung, anh thoải mái thử em

Em tưởng em là cái gì cơ chứ? Chửi xéo em á! Anh nói thật, anh mà k còn tâm huyết với diễn đàn, không còn mong muốn diễn đàn là một môi trường "trong sạch" để các bạn vào trao đổi niềm đam mê toán học, thì anh mất công hàng ngày vào đây để post bài làm gì. Em nghĩ anh được gì khi post những bài như thế này? Anh được vàng à? Được tiền à?

Em nghĩ học vượt lớp mà đã to tát lắm à? Sao topic nào em cũng khoe em vượt lớp thế? Vượt để được cái gì? Học để cho biết, mà k hiểu, k nắm vững thì cũng là đồ bỏ đi!!! Anh chẳng cần thử em làm gì cả. Diễn đàn đang cần những bài viết chất lượng để vực dậy, còn em thì hàng ngày post những bài vô bổ, không ra gì, không có giá trị gì, rồi nói là anh chửi xéo!!!

Em đừng tưởng là em cao siêu lắm, cao siêu mà một mình mình biết cái sự cao siêu đó, không giúp ích gì cho đời thì em cũng chỉ là một thằng bỏ đi thôi. Lại suốt ngày gặm nhấm cái mớ lí thuyết mà em tự tưởng tượng ra thôi. Em bỏ cái điệp khúc post bài kiểu nà lên diễn đàn đi. Chẳng được tích sự gì đâu.

Mấy cái chứng mình 1 + 1= ? trên diễn đàn chỉ mang tính "hù dọa" thôi. Khi người ta đã mang "đơn vị" vào phía sau con số 1 thì nó đang mang tính chất khác. Không mang tính chất là con số trong toán học nữa.

Cụ thể khi nói 1 quả cam, người ta hiểu là 1 * quả cam. 1 quả táo, tức là 1 * quả táo. Thì khi cộng hai cái này lại ta được là 1 * quả cam + 1 * quả táo, không thể thu gọn biểu thức được nữa.
Còn 1 * kilogram cộng với 1 * lạng. Thì lại có thể rút gọn được, vì kilogram và lạng là hai "đơn vị" tròng cùng một hệ để biểu diễn khối lượng!!!

Rất mong chờ chứng mình 1 + 1 = 1 của em. Và contact của thầy Trí. Mong em giúp đỡ!!!

Theo anh biết thì kiến thức toán của em cao siêu lắm mà MathGeek, em không nhận biết được những điều trên là đúng hay sai sao, hay là em cao siêu đến mức có thể xây dựng lên một hế thống toán học mới mà trong đó những điều em đã khoe khoang, nói lăng nhăng trên diễn đàn đều đúng. Nhưng em hãy giữ cái suy nghĩ đó của riêng em. Đừng nói ra những cái lung tung vô bổ như một người điên trên diễn đàn nữa.

P.S. Nếu có thể, anh biết là khó, vì lần trước anh cũng xin địa chỉ email của chị em làm tiến sỹ bên US cũng không được, em cho anh số điện thoại của thầy gì đó mà em nhắc đến đi. Anh rất muốn được học hỏi kinh nghiệm dạy toán của thầy. Anh từng được rất nhiều thầy chỉ giáo nhưng chưa gặp ai có trình độ như thế này cả, mong em giúp anh lần này. Cám ơn em

Bài tập về tết mà tết thì chưa đến, kỳ nghỉ tết cho học sinh ở Việt Nam chắc cũng vừa bắt đầu. Vậy mà đã post lên hỏi. Đành rằng diễn đàn là nơi để trao đổi, nhưng khi đọc những topic kiểu này, chuyentoan thực sự thấy buồn...

Bài viết được dịch từ cuốn sách "How Mathematicians Think" của tác giả "William Byers"

DECIMAL NUMBERS
Xét ký hiệu thập phân của các số thực. Ví dụ, chúng ta được dạy ở trường là phân số $\dfrac{1}{3}$ đượcviết dưới dạng thập phân là $0.3333...$ , ở đây dấu ba chấm thể hiện rằng dãy các chữ số $3$ là vô hạn. Tức là
$\dfrac{1}{3}=0.333...$
Nhân cả hai vế với $3$ ta được
$1=0.9999...$
Vậy phương trình này nghĩa là sao? Đâu là ý nghĩa đích thực của dấu "="? Nó chắc chắn không có nghĩa là số một đồng nhất tới cái mà được biểu diễn bởi ký hiệu $0.999...$ . Có vấn đề ở đây, bằng chứng là hầu hết những sinh viên toán không tin vào đẳng thức này. Tôi đã từng đặt câu hỏi "có phải $1=0.999... ?$" tới các sinh viên trong môn học giải tích thực (real analysis). Có một điều gì đó của biểu diễn này làm cho các sinh viên bối rối. Họ không dám nói rằng $0.9999...$ là bằng
$1$ , nhưng họ đều đồng ý rằng nó "rất gần" với $1$ . Nhưng gần như thế nào? Một số nói rằng "cực kỳ gần" ("infinitely close"), nhưng họ không chắc chắn được ý của họ qua câu nói này là gì.
Theo tôi, có sự không rõ ràng chứa đựng trong việc cho một số thập phân vô hạn bằng một số nguyên.
Ký hiệu $0.9999...$ là ký hiệu cho tổng vô hạn. Tức là
$0.9999...= \dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{100}+\dfrac{9}{1000}+...$
Một tổng vô hạn thì luôn phức tạp hơn một tổng hữu hạn phần tử, và sự phức tạp này được ẩn dưới ký hiệu dễ gây hiểu nhầm. Vậy là ký hiệu này đại diện cho thứ nhất là quá trình (process) cộng từng phần tử cụ thể của dãy và cho đối tượng (object) là kết quả của quá trình đó. Rõ ràng số $1$ là một đối tượng toán học (mathematical object), một con số. Vậy phương trình $1=0.9999...$ gây tranh cãi bởi vì nó có vẻ như nói rằng một quá trình bằng (hay đồng nhất?) một đối tượng. Làm sao một quá trình lại bằng một đối tượng, cũng giống như là sao nói một đồng từ (động từ thường dùng để mô tả một quá trình) là một danh từ (danh từ thường được dùng để mô tả một đối tượng). Tương tự như vậy, tất cả các số thập phân vô hạn đều không rõ ràng. Các sinh viên đã lúng túng bởi vì họ nghĩ là $0.999...$ chỉ là một quá trình. Họ tự cộng từng phân số của dãy vô hạn đó và nghĩ rằng quá trình này không bao giờ ngừng lại. Như vậy tại mọi bước hữu hạn (hay là sau hữu hạn bước) tổng "rất gần" với $1$ nhưng không bằng $1$ . Họ không thấy rằng quá trinh vô hạn này có thể được hiểu như là một con số.
Bạn có thể cùng làm một "chứng minh" với họ, chẳng hạn như
Đặt $x=0.999...$
Thì $10 x=9.999...$
Suy ra $9 x=10x-x=9,999...-0.999...=9$
Vậy $x=1$
Các sinh viên hầu hết đều thấy ngạc nhiên và thú vị. Hầu hết các sinh viên đều lập tức đồng ý rằng $1$ thực sự bằng $0.999...$ . Tức là, bây giờ họ đã chấp nhận nó, nhưng, theo tôi, vẫn có một chút ít của sự nghi ngờ vẫn còn đọng lại. Họ vẫn chưa giải quyết được sự không rõ ràng. Họ vẫn chưa "hiểu" được biểu diễn số thập phân vô hạn. Hiểu yêu cầu cao hơn so với chấp nhận sự đúng đắn của một sự việc nhất định. Nó yêu cầu những hoạt động sáng tạo, những thứ mà tôi muốn nói khi tối nói đến việc giải quyết của một sự không rõ ràng. Hiểu biểu diễn số thập phân vô hạn nghĩa là có thể linh động giữa hai cách nhìn, là một đối tượng hay là một quá trình. Khi đó, sự hiểu đó sẽ bao gồm cả việc nghĩ ra rằng có "một đối tượng" ("one single idea") mà có thể được biểu diễn dưới dạng $1$ hay $0.999...$ , tức là có thể hiểu như là một quá trình cộng một chuỗi vô hạn hay là một quá trình hữu hạn của việc tính toán cũng như là một đối tượng cụ thể, một con số. Sự sáng tạo, linh động này cần phải có trước khi ai đó nói rằng hiểu việc biểu diễn số thực dưới dạng thập phân vô hạn.
Trích : How Mathematicians Think (William Byers)

Đặt $x=1+1$ $x-1=1$ $(x-1)^2=1$ $x^2-2x+1=1$ $x(x-2)=0$
$x=2$ hoặc $x=0$...

Cái này sai này $x-1=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=1$