trời ! tìm 3 chữ số tận cùng mà bít đc số dư cho 8 và 125 rồi thì còn gì phải bàn nữa !!(các mod xóa bài này cũng đc , em thấy hơi ngạc nhiên thoai)

Hihi, anh xin lỗi, anh chỉ scan qua thôi chứ không nhìn kĩ.
Bài đó mà phát triển lên sẽ rất hay vì kết hợp với giải phương trình nghiệm nguyên.
Thử bài này xem:
Tìm ba chữ số tận cùng: A=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?625^{19}+376^{99}.

Hichic, sao mấy cái em tìm thấy toàn kì hoặc không vậy.
Điều thứ nhất, dễ thấy rằng
.
Vậy chỉ cần chứng minh: .
Hãy thử a;b;c với giá trị 0.1;0.2;0.3 sẽ thấy không đúng. Vậy điều kiện đề bài cho chắc chắn là chìa khóa của bài toán. Nhờ các bạn giải típ!!!

Theo mình giải thế này mang tính lý luận nhiều hơn.
Trước hết cm x;y chia hết cho 2.
Thật vậy, cả hai trường hợp x;y cùng lẻ hoặc khác tính chẳn lẻ đều kh6ong thể xảy ra khi thay vào biểu thức. Vậy x;y cùng chẳn.
Thứ hai, cm x;y chia hết cho 5.
Nếu một trong hai x;y chia hết cho 5 thì không chia hết cho 5.
Xét trường hợp x;y đều không chia hết cho 5.
Nếu thì thay vào biểu thức có (vô lý). Vậy x và y khi chia cho 5 khác dư.
Ta luôn có với a không chia hết cho 5. Nếu thì thay vào biểu thức thấy vô lý. Vậy .
ta suy ra hai trường hợp sau: (chú ý rằng vai trò x;y đối xứng).
Nếu x chia 5 dư 1 thì y phải chia 5 dư 4. Thay vào biểu thức thấy không thoả.
Nếu x chia 5 dư 2 thì y chia 5 dư 3. Thay vào biểu thức cũng "not ok".
Vậy cả x;y phải chia hết cho 5 và 2 => dpcm.

Mà này, trong lời giải của duylong có vấn đề khi xét dư của tích xy cho 5.

hướng đi như sau
  8
chú ý  125

..

Sao Tuấn Anh không làm thẳng ra đi chứ. Bài này mà phát triển lên là kềt hợp với giải pt nghiệm nguyên nữa đó.

Bài toán trên quy về bài toán phân tích nhân tử của lớp 8 đấy mà:
.

Mấy em thích đồng dư quá nhỉ. Những bài đồng dư trên rất hay và quen thuộc.
Có một bài rất hay mình mún giới thiệu với các bạn. Đó là một bài thi vào chuyên Toán DHSP Hà NỘi 2001.
Tìm 3 chữ số tận cùng của: A=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?26^{6^{2001}}

có bác nào có đề thi Văn năng khiếu của trường PTNK HCM năm nay ko??? EM đang rất cần.

sao không ai pót vậy? Em vào ttvnol không có, trang web PTNK cũng ko. Hichichic!!!

Trong kì thi HSG HCM cũng có một bài mà đề tựa tựa như thế.
Cho các số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=\bar{1;k}. CM:
Nếu ... thì

các bạn có thể vào trang web của trường tìm và đọc:
http://www.ptnk.edu....&id=1&Itemid=26

Đã có kết quả PTNK HCM 2006-2007!!!! Chúc mừng các bạn thi đỗ vào chuyên Toán. Hy vọng đây sẽ là lực lượng hùng hậu cho miền Nam Tổ quốc!!! Muốn xem kết quả thì vào trang: http://222.255.73.50/ptnk.xls
"Cụ thể, điểm chuẩn các lớp chuyên như sau: chuyên Toán: 31 điểm và 30,75 điểm với điều kiện môn chuyên phải từ 18 điểm trở lên. Lớp 10 Tin (môn thi chuyên: Tin): 24,05; Lớp 10 Tin (môn thi chuyên: Toán): 28,75; Lớp 10 Lý: 28.00; Lớp 10 Hoá: 28,75; Lớp 10 Sinh: 26,25; Lớp 10 Anh: 27,20; Lớp 10 Văn: 24,75.

Lớp không chuyên có định hướng thi ĐH khối A: tổng điểm của hai môn Toán AB, Văn AB (không tính hệ số) đạt 14,5 điểm trở lên. Lớp không chuyên có định hướng thi ĐH khối D: tổng điểm của hai môn Toán CD, Văn CD (không tính hệ số) đạt 12,5 điểm trở lên.

Học sinh được tuyển phải có đủ điểm chuẩn, không có môn nào đạt dưới 2,0 điểm; điểm môn chuyên (cho các lớp chuyên) không dưới 6,0 và phải thoả điều kiện do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định: Tốt nghiệp Trung học cơ sở năm học 2005-2006 từ loại khá trở lên. Có điểm môn chuyên năm học lớp 9 khối Khoa học tự nhiên từ 8,0 điểm trở lên (riêng lớp Tin, môn xét điểm là môn Toán) và khối Khoa học xã hội từ 7,7 điểm trở lên.

Năm nay, nhà trường sẽ cấp 200 học bổng cho các HS trúng tuyển vào các lớp chuyên."

(Từ vietnamnet.vn)

Bài này khác quen thuộc. Nó cũng đã xuất hiện trong một kì thi HSG tp HCM (1994-1995). Hình như bạn đánh nhầm ở pt thứ tư, phải là y^3.
u+v=1 (1)
ux+vy=4 (2)
ux^2+vy^2=6 (3)
ux^3+vy^3=10 (4)
Nhân x cho (3) rồi lấy (4) trừ => 10-6x=vy^2(y-x). (5)
Nhân x cho (2) rồi lấy (3) trừ => 6-4x=vy(y-x) (6)
Tương tự với (2) và (1)=> 4-x=v(y-x). (7)
Pt (5) nhân pt (7) = pt (6) bình phương. Giải ra x.

Thế này xem có ok không?
. Đặt , với a;b là các STN. Phương trình đưa về : a+b=7.
Đến đây thì giải được rùi.

Hihi, nếu để ý thì đây là bài thi NK HCM năm nay. Bài này tôi đã giải bên box đề thi. Cách giải bài này theo cách của tôi chỉ cần một dòng khi giả sử $ a_{1} < a_{2}<...< . Dù sao có lời giải như Prince Be thì quá tốt, nhiều cách giải càng tốt !!! HIHIHI.

bài này đã có thảo luận bên mục Đề thi.
Theo tôi biết, zaizai dùng delta là số chính phương rồi giải pt nghiệm nguyên. Cách này nặng nề (zaizai nói thế).
Cách thứ hai là đổi vai trò biiến x thành tham số.

Giải thế là đúng rùi!!! \beer.
Còn mệnh đề thì làm như sau:
Để chứng minh mệnh đề, ta cần mộ6t định lý quenn thuộc khác: nều đa thức P(x) bậc kh6ong quá n mà có n+1 nghiệm thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?h(x)=P(x)-Q(x). Dễ thấy deg. Theo giả thiết ta suy ra h(x) có n+1 nghiệm. Áp dụng bổ đề thì . The réult follows.

trang web của trường khong có anh ạ. Mà ở ttvnol thì phải kiếm ở đâu anh?

hiHi, giải thế là tuyệt vời rồi !!! Sao tôi không để ý vụ phân tích nhân tử nhỉ???? Sao tôi cứ đi vào những cái phức tạp nhất vậy???
Cho các bạn bài này, không dễ cũng không khó, cách giải rất mỹ quan và tường minh:
Cho 13 số bất kì thỏa tổng 6 số bất kì nhỏ hơn tổng 7 số còn lại. Chứng minh tất cả các số đều dương.
Chỉ cần một dòng là ra.

Có thì xin các anh các chị , các bạn pót cho em lẹ lẹ lên.

xét
nếu tồn tại  chia 1000 dư 1 trong dãy trên thì xong

Tuấn Anh ơi, ta chỉ cần xét đến 3^1000 là được rồi. Tuy nhiên, xét như em cũng không hề hấn gì đâu vì như thế là dư rồi.
hichic, bài củ Prince Be nếu dương thì "fermat cuối cùng" cho xong.

em nghĩ sao về đa thức  nguyên tố?

Xin lỗi các bạn, lẽ ra phải có điều kiện. Mà mọi người ai cũng thừa biết là bậc nó phải khác 0 rùi.

nếu  thì ta có bđề :số ước Ntố của  là vô hạn vì thế theo thặng dư TH  có ít nhất  ƯSNT ĐPCM

Thực sự, em chưa hiểu cách chứng minh của anh. Anh nói rõ hơn được không. Nài này trong sách thầy Phan Huy Khải chứng minh cách khác.

em cần đề Văn CD và Văn chuyên 2006-2007 tuyển sinh lớp 10 của PTNK HỒ Chí Minh. PÓt cho em nhé!!!
Cám ơn.

EM đang cần gấp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Văn chuyên và văn CD 2006-2007 của trương PTNK Hồ Chí Minh. Bác nào có pót cho em lẹ lẹ nhé!!!
Em chân thành cảm ơn.

Bài này đã pót lên diễn đàn xưa xưa lắm rồi nhưng hình như không ai dòm ngó. Nay mình nhắc lại bài này vì nó rất hay và khó. Kèm theo đó, mình tặng các bạn một định lý về đa thức, chúc các bạn đậu hết vào trường chuyên và NK!!!
Bài toán cũ: Cho số tự nhiên lẻ p và các số a;b;c;d;e sao cho các tổng và chia hết cho p. CHứng minh rằng: .
Mệnh đề: Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bậc không quá n trùng nhau tại n+1 điểm khác nhau thì hai đa thức đó bằng nhau.

Hìhì, bài này mình đã có lời giải như khá dài dòng và không mỹ quan chút nào. Thôi kệ, có còn hơn không...

chứng minh rằng nếu tích của ba số bằng 1 và tổng của chúng lớn hơn tổng các số nghịch đảo của chúng thì một trong ba số đó lớn hơn 1.

Giải:
Với xyz=1, ta nhận xét rằng trong ba số x;y;z phải có ít nhất một số dương.
Nếu http://dientuvietnam....cgi?x^{2}<x<1.
Vậy trong x;y;z phải có một số âm. Giả sử số âm là z (lưu ý x dương).
Ta có: . Vì xz <0 nên . Điều này là vô lý vì dễ thấy xz<0<1;x<1;1-z>0. Vậy suy ra điều ta giả thiết là sai.
Hichic, dài quá...Không biết nó có đúng không. Mời các bạn kiểm tra, đánh giá và cho lời giải ngắn gọn hơn!!!