câu b :
trước hết phải xác định số cần tìm có 4 chữ số , vì nếu chỉ có 3 chữ số, thì lấy số lớn nhất 999 cộng với 3 chữ số của nó nhỏ hơn 2359
vậy gọi số cần tìm là abcd=1000a+100b+10c+d
Tổng của nó và các chữ số của nó biểu diễn được dưới dạng : G=1001a+101b+11c+2d = 2359 (a>0,b,c,d 0)
a phải nhỏ hơn 3 , vì nếu không, G 3003.
a=1 hoặc a=2.
Nếu a=1, xét số lớn nhất là 1999, G=1999+1+9+9+9 = 2027<2359 (loại)
Vậy a=2
G=2002 + 101b + 11c + 2d =2359 F=101b+11c+2d=2359-2002 = 357
Tương tự như trên, b < 4. Nếu b 2, F 202+9.11+2.9=319 <357 (loại)
Vậy b=3 H=11c+2d=357-303=54.
Lưu ý rằng a,b,c,d là các chữ số của 1 số cho nên nó nằm trong tập hợp {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
2d=54-11c c chẵn.
c=2 d=16 (loại)
c=4 d=5 (nhận)
c>4 thì d âm (vô lý ! loại)

Vậy tìm được số 2345
Thử lại : 2345+2+3+4+5=2359 (thỏa mãn đề)

A giup thì giúp cho chot di mak? Làm nốt mấy bài còn lại di ạ ? Bài 6a để e ? thầy giáo cách trình bày xem sao. Mak a có giỏi hình k bao giờ e upload bài lên anh chỉ giùm em nhé. OK?

Lâu quá anh làm lại mấy bài này chơi thôi em, kiến thức bay hết non nửa theo thời gian rồi. Vì kèm thằng em lớp 9 nên giờ quay lại làm mấy bài toán chơi . Em cứ post đi, giải được thì anh giải , không được thì còn các bạn khác chi em forum mình lắm người tài, em việc gì phải lo

OK, bài 7 tưởng khó mà dễ.

396=4.9.11

Ta chỉ cần CM số A (là số sau khi đã điền số vào dấu *) chia hết lần lượt cho 4,9 và 11.
A chia hết cho 4, vì 2 chữ số tận cùng của nó là số 56=14.4 4
A chia hết cho 9 vì tổng các chữ số của nó = 99 chia hết cho 9. (dù điền kiểu nào, vì tất cả các số điền vào * chỉ được dùng 1 lần, nên tổng các chữ số là ko đổi ).
Để cho văn minh hơn. ta sẽ ký hiệu các dấu * là , n từ 1 đến 10 , theo thứ tự từ phải qua trái .
Bây giờ để CM : A chia hết cho 11, ta sẽ tìm hiểu dấu hiệu chia hết cho 11.
abc=100a+10b+c=(99a+11b)+(c-b+a) (c-b+a) (mod 11)
abcd=1000a+100b+10c+d=1000a + (100b+10c+d) 1000a + (d-c+b) (mod 11) 1001a + (d-c+b-a) (mod 11) (d-c+b-a) (mod 11)

OK, đến đây, nếu bạn nào muốn thử thêm vài số nữa cũng ko sao, nhưng mình sẽ tổng quát lên, còn CM thì đương nhiên bằng quy nạp ( mà mình sẽ không CM đâu, mình nhường cho các bạn, dễ mà)
Với 1 số $A=a_{n}a_{n-1}...a_{3}a_{2}a_{1}$, $A \equiv a_{1}-a_{2}+a_{3}-...+(-1)^{n-1}$ $(mod 11)$
Đặt B=$ a_{1}-a_{2}+a_{3}-...+(-1)^{n-1}$
Vậy để A 11, B phải chia hết cho 11 .

Áp dụng vào bài,
B=6 -5 + a1 -2 +a2 -0 + 2 ... = (a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)-34 =(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)-34=45-34=11 11 (cái phần ..., các bạn tự ghi ra nhé, dài quá nên mình ngại gõ vào lắm )

A 11
A 396

Ua? a ơi điền số nào váo * cũng dk ạ miễn là sử dụg 1 lần ???? Bài 7 ý

uh. thay dấu * bằng các số thì cũng như thế

Giải luôn hộ e bài 6 đi

Bài 6 câu a, em vẽ cái biểu đồ ra ( cái biểu đồ biểu diễn tập hợp dưới dạng các hình bầu dục ấy, anh quên tên nó là gì rồi ), sau đó nhìn vào đấy em sẽ thấy là phần chung ( thích cả T lẫn V ) sẽ là : 30+25+2-40=17

K bận j thì chỉ giùm e luôn dk k

OK,
11 chia 10 dư 1, vậy thì 11 mũ n (với n nguyên dương bát kì) chia 10 dư 1 mũ n tức là 1.

ok thanks
tớ giải nốt bài 8
Để CM cái biểu thức ấy là nguyên, thì cần CM cái biểu thức trong ngoặc chia hết cho 10
$1983^{1983}-1997^{1917} \equiv 3^{1983}-7^{1917} (mod 10)$
$3^{1983}-7^{1917}=3^{1980}.3^3-7^{1916}.7=9^{990}.27-7^{1916}.7$
Tiếp theo, CM rằng :
$9^{2n}$ tận cùng là 1 (CM bằng quy nạp)
$7^{4m}$ tận cùng là 1 (CM bằng quy nạp)
Như vậy thì
$9^{990}.27$ tận cùng là 7
$7^{1916}.7=7^{479.4}.7$ tận cùng là 7
Vậy hiệu của 2 số này tận cùng là 0, chia hết cho 10.
vậy $1983^{1983}-1997^{1917}$ chia hết cho 10

Có thể giải chi tiết hơn và có kèm lời giải thick' ở bài 8 dk k? Minh k hiểu cho lăm' vì bài này lần đầu minh mới dk làm wen

Em phải nói rõ là phần nào, phần đồng dư thức (mà cái này em xem sách đi, xem sách dễ hiểu hơn là nghe người khác nói ), hay là cái phần CM quy nạp ( nếu là phần này thì em cứ liệt kê ra giấy ấy , ví dụ mũ bằng 1 thì nó ra sao, bằng 2 , bằng 3 ... , rồi từ đó em sẽ nhìn thấy quy luật )

Giải mấy bài dạng này luôn phải có giấy để ghi ra em à, em đọc không trên máy thì khó tiếp thu lắm, lần sau gặp dạng bài tương tự nhưng khác số lại bối rối cho xem .

Nhưng e k có sách để đọc có thể bảo e dk k ạ? E sắp thi oy huhu. Em sợ mình k làm được bài. Tâm lý e dang k vững vàng làm j cũng nản mak hixhix. Làm ơn chỉ giùm em di??????????

Nếu là về phần đồng dư thức, đơn giản là thế này. Nếu a chia b có số dư là k, thì $a^n$ chia b có số dư là $k^n$. Còn kí hiệu a chia b có số dư k, người ta viết
$a \equiv k(mod b) $

Mak gõ căn thức kiểu j ạ?

\sqrt{ a}

Bài 1 :
Giả sử tồn tai n thỏa đề bài , như vậy ta có :
$2n+2 \vdots 49 \Rightarrow n+1 \vdots 49$
$n^2+3n+39=(n+1)^2+(n+1)+37$
$(n+1)^2 \vdots 49$
$(n+1) \vdots 49$
mà 37 ko chia hết cho 49 (tớ ko biết code latex của ko chia hết, ai biết thì chỉ nhé )
do đó $n^2+3n+39$ ko chia hết cho 49
Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ko tồn tại n thỏa 2 biểu thức ... cùng chia hết cho 49

OK,
Vấn đề là phân tích cái mẫu số thành nhân tử :
$16n^4-32n^3+24n^2-8n+5=(4n^2-8n+5)(4n^2+1)$

$\dfrac{2n-1}{16n^4-32n^3+24n^2-8n+5}=\dfrac{2n-1}{(4n^2-8n+5)(4n^2+1)}$
$=\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{4n^2-8n+5}-\dfrac{1}{4n^2+1})$

Rồi, đến đây phần còn lại là dễ rồi nhé

ta co:$\dfrac{a}{bc}+ \dfrac{b}{ac} = \dfrac{1}{c}(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}) \geq \dfrac{2}{c} $(co si)
tuong tu ta co:
$\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ab} \geq \dfrac{2}{a} $
$\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc} \geq \dfrac{2}{b} $
cong tung ve cua ca BDt tren ta duoc dieu fai chung minh!

Sai rồi em, lúc đầu anh cũng tưởng là làm thế.

giup em bai nay:
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$. Tìm GTLN:
$A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Bài này bảo giải theo cách THCS thì chưa tìm ra, nhưng nếu giải theo cách THPT, thì :
xét $f(x)=\sqrt{1+x^2}+3\sqrt{x}$
có $f''(x)=\dfrac{1}{\sqrt{(1+x^2)^3}}-\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{\sqrt{x^3}} <0$ (dùng Cauchy)
Suy ra hàm lồi.
Suy ra
$A=f(x)+f(y)+f(z) \leq 3f(\dfrac{x+y+z}{3})=3.(\sqrt{2}+3)$

giup em bai nay:
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$. Tìm GTLN:
$A=\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{1+z^{2}}+3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Hôm nay nhìn lại bài này, đột nhiên thấy nó cực dễ, chẳng qua là do mình làm cho nó phức tạp lên thôi.

$\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2x}+\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{2y}+\sqrt{1+z^{2}}+\sqrt{2z}$
$\leq \sqrt{2}\sqrt{1+x^2+2x}+\sqrt{2}\sqrt{1+y^2+2y}+\sqrt{2}\sqrt{1+z^2+2z}$
$=\sqrt{2}(3+x+y+z)=6\sqrt{2}$ (1)

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \leq \sqrt{3}\sqrt{x+y+z}=3$
$(3-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}) \leq 3(3-\sqrt{2})$ (2)
Cộng (1) với (2) ra :
$A \leq 6\sqrt{2} + 3(3-\sqrt{2})=9+3\sqrt{2}$
DTXR khi x=y=z=1

Bài 2 coi lại , thấy dễ quá trời.
Quy đồng lên hết ,chuyển vế, bdt trở thành :
$(a+b-c)^2 \geq 0$ hiển nhiên đúng.

Bài 1 đưa về kiểu pt bậc 2 :
bdt đã cho tương đương :
$(1-b)a^2 -a.c^2+(b^2+c^2-b^2c-1) \leq 0$
$ \Leftrightarrow (1-b)a^2 -a.c^2+(1-c)(b^2-c-1) \leq 0$
Ta có :
$1-b \geq 0 ,1-c \geq 0.b^2-c-1 \leq 0$
Như vậy nếu coi VT là 1 đa thức f(a) bậc 2 biến a, thì f(a) có 2 nghiệm , 1 âm 1 dương, và hệ số cao nhất không âm (Nếu muốn có thể xét riêng TH b=1)
Lại có :
$f(1)=1-b-c^2+b^2+c^2-b^2c-1=b^2-b-b^2c \leq 0$ vì $b \geq b^2$
Gọi 2 nghiệm của f(a) là m, n(m âm, n dương). Vậy với mọi a [m,n] thì f(a) 0
Suy ra được 1 [m,n]
Suy ra [0,1] [m,n]
Vậy f(a) 0 với mọi a thuộc [0,1]

Bài 2 dùng Cauchy bình thường thôi mà :
$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca} \geq \dfrac{2}{c}$
Làm tương tự cho 2 cặp còn lại, xong cộng tất cả lại, ra đpcm

Chết nhầm

Bài 2 dùng Cauchy bình thường thôi mà :
$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca} \geq \dfrac{2}{c}$
Làm tương tự cho 2 cặp còn lại, xong cộng tất cả lại, ra đpcm

Bài 5b
kết luận trên ko còn đúng, ta sẽ chỉ ra có 1 cách sắp xếp trận đấu thỏa mãn cứ chọn 3 đội bất kỳ thì có 2 đội đã đấu với nhau.
Chia 12 đội ra làm 2 phe, mỗi phe 6 đội.
Cho mỗi đội đấu với 5 đội còn lại trong phe của mình.
Như vậy nếu chọn ra 3 đội tùy ý, sẽ có 2 đội cùng 1 phe, mà theo cách sắp trận đấu, 2 đội cùng phe luôn có trận đấu với nhau.

Vậy, kết luận ở câu 5a ko còn thỏa mãn ở câu 5b

Cái này là đề thi vào lớp chuyên của trường PTNK mà
p/s: Mọi người giúp mình bài cuối đi

Bài 5a
Ta sẽ CM bằng phản chứng : giả sử trong 12 đội, lựa chọn 3 đội bất kỳ thì luôn tồn tại 1 trận đấu giữa 2 trong 3 đội

Vì mỗi đội chỉ thi đấu 4 trận, nên tồn tại 2 đội chưa đấu với nhau, đặt là A và B
10 đội còn lại đặt là C1, C2, ... C10
Theo giả thiết phản chứng , cứ mổi bộ (A B C1) , (A B C2) , ... (A B C10) thì tồn tại 1 trận đấu
Nhưng mà vì cách chọn A với B, nên chỉ có thể tồn tại trận đấu giữa A hoặc B với Ci.
Có 10 đội Ci , chia vào 2 lồng A và B , theo Dirichle, tồn tại 1 lồng chưa nhiều hơn 4 đội Ci ( >=5)
Vô lý, vì mỗi đội chỉ đấu với 4 đội còn lại
DPCM

Bài này đề sai !!
đẳng thức đúng với n=0 , 1 , 2, tức là ta có hệ :
$ \left\{\begin{array}{l}x+y+z=a+b+c\\x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + b^2 + c^2\end{array}\right. $
TH n=0 thì ra 3=3, ko cần xét
Chọn a=0, b=c=3, x=4, y=z=1
thế vào thấy thỏa mãn hệ trênn, nhưng với n=3 thì đẳng thức sai !!!

Đề đúng phải là đẳng thức trên đúng với n=1 , 2 , 3
khi đó, suy ra được hệ :
$ \left\{\begin{array}{l}x+y+z=a+b+c=m\\xy+yz+zx=ab+bc+ca=p\\xyz=abc=q\end{array}\right. $
Theo Viet thì x,y,z và a,b,c là nghiệm của pt bậc 3 :$t^3 -mt^3 + pt -q =0$
Suy ra được (x,y,z) chỉ là 1 hoán vị của (a,b,c) do đó đẳng thức đã cho đúng với mọi n

Mình có cách giải khác, các bạn xem có được không nhé:
*) Ta có: $ sqrt{n+1} - sqrt{n}= $ $ \dfrac{1}{ sqrt{n+1}+ sqrt{n} } $ (cái này CM đơn giản)

*) Có :B-A=$2( sqrt{2}- sqrt{1})+2( sqrt{4}- sqrt{3})+....+ 2( sqrt{18}- sqrt{17})+2( sqrt{5}- sqrt{19}) $
$\dfrac{B-A}{2}= \dfrac{1}{ sqrt{1}+ sqrt{2} }+ \dfrac{1}{ sqrt{3} +sqrt{4} }+....+ \dfrac{1}{ sqrt{17} +sqrt{18} } + ( sqrt{5}- sqrt{19}) $ (1)
+)Mà $sqrt{5}- sqrt{19}= \dfrac{(sqrt{5}- sqrt{19}) (sqrt{5}+sqrt{19})}{sqrt{5}+ sqrt{19}} $
= $ \dfrac{-14}{sqrt{5}+ sqrt{19}} $
(1) $\dfrac{B-A}{2}= \dfrac{1}{ sqrt{1}+ sqrt{2} }+ \dfrac{1}{ sqrt{3} +sqrt{4} }+....+ \dfrac{1}{ sqrt{17} +sqrt{18} } + \dfrac{-14}{sqrt{5}+ sqrt{19}} $
$\dfrac{B-A}{2} $ $ \dfrac{9}{ sqrt{17} +sqrt{18} }- \dfrac{14}{sqrt{5}+ sqrt{19}} $ (2) (Sai ở đây)
+) Áp dụng BDT : $ sqrt{a}+ sqrt{b}$ $ sqrt{a+b} $ (tự CM)
$ sqrt{17} +sqrt{18}$ $sqrt{35}$
$ \dfrac{9}{ sqrt{17} +sqrt{18} } $ $ \dfrac{9}{ sqrt{35} }$
Mặt khác :$ sqrt{5}+ sqrt{19} $ $2sqrt{19}$
$ \dfrac{14}{sqrt{5}+ sqrt{19}}$ $\dfrac{14}{sqrt{76}}$

(2) $\dfrac{B-A}{2} $ $ \dfrac{9}{ sqrt{35} }$- $\dfrac{14}{sqrt{76}}$
$ \dfrac{9}{ sqrt{35} }$- $\dfrac{14}{sqrt{76}}$ 0 (quy đồng để so sánh)

$\dfrac{B-A}{2} $ 0
$B-A$ 0
B A

(Bạn nào thấy có ích thì thanks mình cái nhá )

$\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} > \dfrac{1}{\sqrt{17}+\sqrt{18}}$
Tương tự cho các số sau, nên bdt (2) ngược chiều.
Nói chung là bài giải sai.

Xem lại đề nhé, ln1 =0, vậy số hạng đầu tiên là $\dfrac{1}{0} = + \infty $

Ngoài ra, để xét tính hội tụ của 1 dãy, có nhiều cách, dùng tỉ số, dùng căn, hoặc dùng tích phân.
Trong bài này dùng tích phân là đơn giản nhất, tính :
$ \int\limits_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x.lnx}dx$, thấy được kết quả ko hội tụ, vậy dãy đã cho ko hội tụ.

cho x chạy từ 2 mà!

Mình xem post của Thái Hà, thấy là chạy từ 1.