cho a,b,c>0. Dat x= a+b+c. CMR:
$\dfrac{a}{b}$ + $\dfrac{b}{c}$ + $\dfrac{c}{a}$ $\dfrac{341x+a}{341x+b}$ +$\dfrac{341x+b}{341x+c}$+$\dfrac{341x+c}{341x+a}$

$\sum {\dfrac{a}{b}} \ge \sum {\dfrac{{341x + a}}{{341x + b}}} $
$ \Leftrightarrow \sum {\left( {\dfrac{a}{b} - \dfrac{{341x + a}}{{341x + b}}} \right)} \ge 0$
$\Leftrightarrow \sum {\dfrac{{341x(a - b)}}{{b(341x + b)}}} \ge 0$
$\sum {\dfrac{{a - b}}{{b(341x + b)}}} = (b - a)(b - c)\dfrac{{341x + b + c}}{{bc(341x + b)(341x + c)}} + {(a - c)^2}\dfrac{{341x + (a + c)}}{{ac(341x + a)(341x + c)}}$
Không mất tính tổng quát giả sử b là số nằm giữa suy ra ĐPCM

CMR : Với $\forall n$ là số tự nhiên, x là số thực dương :
$\dfrac{x + x^2 + ... + x^{2n - 1} }{ ( 1 + x^n )^2 } \leq \dfrac{2n - 1}{4}$

$n = 1 \Rightarrow OK$
Giả sử BĐT đúng với $n = k$ ta sẽ CM BĐt đúng với $n = k+1$
hay ta phải CM
$\dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^{2k + 1}}}}{{{{(1 + {x^{k + 1}})}^2}}} \le \dfrac{{2k + 1}}{4}$
Thật vậy, ta có
$\dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^{2k + 1}}}}{{{{(1 + {x^{k + 1}})}^2}}} \le \dfrac{{\left( {\dfrac{{2k - 1}}{4}} \right){{(1 + {x^k})}^2} + {x^{2k + 1}}}}{{{{(1 + {x^{k + 1}})}^2}}}$
Ta còn phải CM
$\dfrac{{\left( {\dfrac{{2k - 1}}{4}} \right){{(1 + {x^k})}^2} + {x^{2k + 1}}}}{{{{(1 + {x^{k + 1}})}^2}}} \le \dfrac{{2k + 1}}{4}$
Cái này khai triển rồi CM

cho các số dương CMR:
$\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}} \le \sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} $

Chuẩn hóa cho ab+bc+ca=3 suy ra
$a + b + c \ge 3 $ và $ abc \le 1 \\ $
$\prod {(a + b)} = (\sum a )(\sum {ab)} - abc = 3(\sum a ) - abc \ge 8 $
$\Rightarrow \sqrt {\dfrac{{\sum {ab} }}{3}} = 1 \le \sqrt[3]{{\dfrac{{\prod {(a + b)} }}{8}}}$

Hôm trước em có đăng kí nhưng gia đình em bận việc đột xuất, không đi được, mong ban tổ chức thông cảm.

1.Họ và tên: Nguyễn Trường Sinh
2.Tuổi: 15
3.Quê quán: Quảng Trị
4.Nick trên diễn đàn (Nếu có): Lanyes
5.Đối tương (HS/SV/GV/?): HS
6.Đến từ trường (hoặc cơ quan)?: THCS Phan Đình Phùng
7.Nguyện vọng, mong ước: "cọ xát" các tiền bối
8.Số điện thoại: 0935232777
9.Email: [email protected]

1,Chứng minh rằng với hai trong 3 số $a;b;c$ không lớn hơn 1 và không âm; $ab+bc+ca=3$
ta có bdt:
$a^3+b^3+c^3+9abc \ge 12$
2,
cho $a;b;c$ không âm và $ab+bc+ca=3$,chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3+9abc \ge 6\sqrt{3}$

1/
$ \begin{array}{l}
a^3 + b^3 + c^3 + 9abc \ge 12 \\
\Leftrightarrow (a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) + 12abc - 12 \ge 0 \\
\Leftrightarrow p(p^2 - 3q) + 12r - 12 \ge 0 \\
\Leftrightarrow p^3 - 9p + 12r - 12 \ge 0 \\
\end{array}$
Sử dụng Schur bậc 3
$r \ge m{\rm{ax}}\{ 0;\dfrac{{p(4q - p^2 )}}{4}{\rm{\}$ là ra ngon ơ^^
2/ Vì theo câu 1
$a^3+b^3+c^3+9abc \ge 12\ge 6\sqrt{3}$
=> $a^3+b^3+c^3+9abc \ge 6\sqrt{3}$

Tim GTLNcua B=1-{x}^2+3x
Chox+2y=1 .Tim GTNN cua {x}^2+2{y}^2.Xin giai chi tiet

1/$1 - x^2 + 3x = - (x^2 - 3x + \dfrac{9}{4}) + \dfrac{{13}}{4} \le \dfrac{{13}}{4} $
2/ Theo BĐT Cauchy-Schwarz $\begin{array}{l}

(x + 2y)^2 = (1.x + \sqrt 2 .\sqrt 2 .y)^2 \le (1 + 2)(x^2 + 2y^2 ) \\
\Rightarrow x^2 + 2y^2 \ge \dfrac{1}{3} \\
\end{array} $

Cám ơn bạn.^^

Cái bài này inhtoan lấy nguyên văn của mình trên http://chihao.info/4...13543#post13543 đây mà. Câu 5 mình cũng nghĩ theo hướng là chứng minh hình ABCD là hình vuông nhưng nếu thế thì chỉ chứng minh được chỉ có duy nhất 1 hình vuông ngoại tiếp nó, do vậy đành phải dùng nguyên tắc cực hạn thôi. Bài này mình làm hơn 1 trang, mong là cũng kiếm được tí điểm :leluoi:

Chứng minh bđt sau với a,b dương:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2+\dfrac{2003.(a-b)^2}{a^2+4004ab+b^2}+\dfrac{2004.(a-b)^2}{a^2+4006ab+b^2}$

$\begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2 + \dfrac{{2003.(a - b)^2 }}{{a^2 + 4004ab + b^2 }} + \dfrac{{2004.(a - b)^2 }}{{a^2 + 4006ab + b^2 }} \\
\Leftrightarrow \dfrac{{(a - b)^2 }}{{ab}} - \dfrac{{2003.(a - b)^2 }}{{a^2 + 4004ab + b^2 }} - \dfrac{{2004.(a - b)^2 }}{{a^2 + 4006ab + b^2 }} \ge 0 \\
\Leftrightarrow (a - b)^2 (\dfrac{1}{{ab}} - \dfrac{1}{{a^2 + 4004ab + b^2 }} - \dfrac{1}{{a^2 + 4006ab + b^2 }}) \ge 0 \\
\\
\end{array}$
Cái trong ngoặc biến đổi tương đương nhá

GPT:
$\sqrt {\dfrac{{42}}{{5 - x}}} + \sqrt {\dfrac{{60}}{{7 - x}}} = 6$