Ta có

$ \dfrac{PA}{AN} = \dfrac{PB}{BC} =\dfrac{PB}{BD} $

$ \dfrac{PA}{AN} = \dfrac{CD}{DN} = \dfrac{BD}{DN}$

$ \Rightarrow \dfrac{PB}{BD}=\dfrac{BD}{DN} \Rightarrow \Delta BPD \approx \Delta DBN $

Từ đây dễ dàng =>DPCM

$ a,b,c>0 ; a+b+c=3 $
$ CMR: \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \geq ab+bc+ca $

Câu 1:vẽ $ \Delta ABI $đều(I thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C) từ đây dễ dàng suy ra DPCM
Câu 2:Sai đề rồi bạn AH=2IK và BH=2IP
Câu 3 Đường phân giác ngoài góc A
Câu 4: $\widehat{BDC} =45$

Bạn ơi,bài bạn tự chế à
vẽ các đường tròn tâm P bán kinh lần lượt là 3,4 và 5.Lấy các điểm A,B và C trên các đường tròn này thì thấy AB ko cố định
Sao CM

$S_{BMQ} +S_{CMP} \geq S_{AQMP} $
Đề vậy à

$\dfrac{S_{BMQ}}{S_{ABC}} = \dfrac{BM^2}{BC^2} $
$ \dfrac{S_{CMP}}{S_{ABC}}=\dfrac{CM^2}{BC^2} $
$S_{BMQ}+S_{CMP}=S_{ABC}(\dfrac{BM^2}{BC^2} +\dfrac{CM^2}{BC^2} ) $
$S_{BMQ}+S_{CMP} \geq S_{ABC} (\dfrac{ \dfrac{(BM+CM)^2}{2} }{BC^2}) = \dfrac{S_{ABC}}{2} $
Đến đây dễ rùi nhỉ

Đặt $\sqrt{x} =a ,\sqrt{y}=b ,\sqrt{z}=c,a+b+c=1 $
Ta có $P= \sum \dfrac{ab}{ \sqrt{a^2+b^2+2c^2} } \leq \sum \dfrac{ab}{\sqrt{ \dfrac{(a+c)^2}{2}+\dfrac{(b+c)^2}{2}}}$
$\leq \sum \dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \leq \sum ab( \dfrac{1}{2(a+c)}+ \dfrac{1}{2(b+c)}) $
$ =\dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{1}{2}$

$2\ sqrt{m+1} - 2\ sqrt{m} < \dfrac{1}{\sqrt{m}} <2\ sqrt{m} - 2\ sqrt{m-1} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{2m+2}{ \sqrt{m+1} } - \dfrac{2m}{ \sqrt{m} }<\dfrac{1}{\sqrt{m}}< \dfrac{2m}{ \sqrt{m}} -\dfrac{2m-2}{\sqrt{m-1} } $
$ \dfrac{2m+2}{ \sqrt{m+1} } - \dfrac{2m}{ \sqrt{m} }<\dfrac{1}{\sqrt{m}} $
Dể dàng chứng minh$\dfrac{2m+2}{ \sqrt{m+1} }<\dfrac{2m+1}{ \sqrt{m} }$
$ \Rightarrow \dfrac{2m+2}{ \sqrt{m+1} } - \dfrac{2m}{ \sqrt{m} }<\dfrac{1}{\sqrt{m}} $
Vế còn lại cm tương tự

Cho tam giác ABC.Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác.Lấy điểm D chính giữa cung BC có chứa điểm A
CMR $2DB \geq AB+AC$
bài này chắc dễ nhưng nghĩ hoài ko ra.Mong mọi người thông cảm

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (A=45) đường cao BD, CE cắt nhau tại H
a) tứ giác ADHE nội tiếp
b)HD=DC
c)tính tỉ số DE/BC
d) gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CM: OA vuông góc DE

câu a) và b) bạn tự CM
c) $ \dfrac{DE}{BC}= \dfrac{DH}{HC} = \dfrac{ \sqrt{2} }{2} $
d) OA cắt (O) tại K $ \Rightarrow \widehat{OAD} + \widehat{AKC} =\widehat{OAD} +\widehat{AKC} = \widehat{OAD} + \widehat{EDA} =90 ;\Rightarrow DPCM $
bạn kiếm "Nâng cao và phát triển" về làm thêm nhá

Tính chiều cao AH của tam giác ABC . Có AB=13 , AC=20, BC=21
. Note : Bài này em đã tìm ra được 1 cách đó là dùng định lý Heron.
Nhưng mà thầy em bảo tìm thêm 1 cách nữa tư duy nhiều hơn. Tình hình em nghĩ mãi chưa ra. Help hộ em ạ !
Chủ nhật này em nộp r�#8220;i !

Kẻ đường cao AH của $ \Delta ABC $ Đặt $ AH=a$
$ \Rightarrow \sqrt{13^2-a^2}+ \sqrt{20^2-a^2} =21$
giải Pt $ \Rightarrow a \Rightarrow S $

Chắc cm thêm tam giác ABC =tam giác BDF= tam giác EFC là được chứ gì

ai giải đi !!!!!!!!!!

Cho tam giác ABC, góc A nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BI và CH cắt đường tròn lần lượt tại E và F.
a. Chứng minh tứ giác BHIC nội tiếp
b. Chứng minh tứ giác HIEF là hình thang
c.Chứng minh OA vuông góc với IH
d. Cho B, C cố định, A di chuyển trên BC lớn. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIH không đổi.

câu d:gọi số đo cung nhỏ BC là $2\alpha $
$ \Rightarrow \widehat{BAC} = \alpha$
$ \Rightarrow sd cung FAE =360-2(90- \widehat{ABC} +90-\widehat{ACB})= 360- 2 \alpha $
$ \Rightarrow sd cung FAE const \Rightarrow EF const $
Theo các câu trên ta có $ \Rightarrow HI const$
gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp $ \Delta ABC , \widehat{HMI}=2 \alpha $
$\widehat{HMI} const ,HI const \Rightarrow HM=MI const, \Rightarrow DPCM$

Bài này chỉ cần kẻ đường cao AH của$ \Delta _{ABC}$

Cho hình thang vuông ABCD , vuông đỉnh A và D ,AB<CD .Gọi DM, BN là các đuờng cao của tam giác BCD
a> CHứng minh BMND là tứ giác nội tiếp,
b> Chưgns minh $\widehat{NMC} = \widehat{NAB} $
c> Chứng minh CN.CD = CM.CB

câu a và c mình làm đc rồi, nhưg câu c khó quá, mọi người giúp với nhé

a)dễ rồi
b)gọi H là gđ của BN và DM $\Rightarrow :\widehat{NMC} = \widehat{NHC} = \widehat{BDC}= \widehat{NAB} $
c) $ \Delta MNC \approx \Delta DBC $ Dễ dàng DPCM

Các bạn tự vẽ hình
vẽ phân giác MI của $\widehat{AMK} $
OE MK
OF AD
Đặt $AM=a,\Rightarrow AK=\dfrac{4}{3}a,MK=\dfrac{5}{3}a $
$ \Rightarrow \dfrac{AI}{IK} = \dfrac{3}{5} $
$\Rightarrow AI= \dfrac{1}{2}a= \dfrac{1}{2} AM$
$ \Rightarrow \Delta IAM \approx \Delta MFO$
Từ đó dễ dang $\Rightarrow \Delta MOE= \Delta MOF$
ĐPCM\[

bài 2/cho tứ giác ABCD có AB=BC=BD.CMR:AC đi qua trung điểm BD

bài 2 hình như sai rồi bạn

khaitam làm đúng rồi đó

Tìm tất cả các sô x,y,z nguyên dương sao cho:
$ (x+y+z)^2 -2x+2y $ là số chính phương
Mình cám ơn trước

bạn nói rõ đi

Đặt cả lũ này là A

Ta thấy :

$(x+y+z-1)^2 < A < (x+y+z+1)^2 $

$ => A = (x+y+z)^2 $

$ => (x;y;z)=(m;m;n) $ với m,n nguyên dương

$A=(x+y+z)^2-2x+2y=(x+y+z)^2 \Rightarrow x=y$

mọi người chỉ giúp bài này di

Số mảnh giấy đồng dư 1 mod 8 mà ở đây 1968 chia hết cho 8=>vô lý
Đúng ko nhỉ???

giúp mình 2 bài hình rắc rối này nhé. Thanhks trước nhiều!!!!!!
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao. Gọi $R,r, {r}'$ lần lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC,ACH,ABH. CMR: $R+r+{r}'=AH$
Bài 2: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AD>BC. 2 đường chéo AC,BD cắt nhau ở I. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác AID cắt các cạnh AB,CD lần lượt tại E,F. E nằm giữa A và B, F nằm giữa C và D. Đường thẳng EF cắt AC, BD thứ tự tại M,N
a) CMR: I là trung điểm $\widehat{EF}$
b)$BC\parallel EF$
c) Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC. CMR: PI vuông góc với AD

Câu 1:
$ 2r= AH+CH-AC $
$ 2r'=AH+BH-AB $
$ 2R =AB+AC-BC $
Cộng tất cả lại DPCM