Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh:

$$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$

(với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\dfrac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)

Cho $m, n$ là các số không âm. Gọi $a_{m, n}$ là hệ số của $x^n$ trong khai triển đa thức $(1 + x + x^2)^m$. Chứng minh với $k$ bất kì không âm, ta có:

$$0 \leq \sum\limits_{i=0}^{{\left[\dfrac{2k}{3}\right]}} a_{k - i, i} (-1)^i \leq 1$$

Nhân tiện topic này cho em hỏi bộ 3 quyển của Polya ở trên TP.HCM chỗ nào bán (có bản photo cũng được) ạ, em đang kiếm bộ này mà mãi chẳng thấy đâu, ai biết chỉ em với.

cho số tự nhiên lẻ p và các số nguyên a, b, c, d, e sao cho: $ a+b+c+d+e , a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 $ chia hết cho p . cmr: $ a^5+b^5+c^5+d^5+e^5 - 5abcde $ chia hết cho p

Ta xét đa thức: $f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e)$

$\Rightarrow f(a) = f(b) = f© = f(d) = f(e) = 0$

Đặt $f(x) = x^{5} - Ax^{4} + Bx^{3} - Cx^{2} + Dx - abcde$

với $A = a + b + c + d + e$

và $B = ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de$

Ta có: $2B = (a + b + c + d + e)^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}) \vdots p$

mà $p$ lẻ $\Rightarrow B \vdots p$

Thay $x$ bởi $a, b, c, d, e$ vào sau đó cộng vế theo vế, ta được:

$a^{5} + b^{5} + c^{5} + d^{5} + e^{5} - 5abcde$

$= A(a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} + e^{4}) - B(a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} + e^{3}) + C(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}) - D(a + b + c + d + e)$

$\Rightarrow a^{5} + b^{5} + c^{5} + d^{5} + e^{5} - 5abcde \vdots p$

Thế này...

Let $m, n \in N , n \geq 2$ and numbers $a_i > 0 , i = 1...n$, such that $\sum a_i = 1$. Prove that:
$\dfrac{a_1^{2 - m} + a_2 + ... + a_{n - 1}}{1 - a_1} + \dfrac{a_2^{2 - m} + a_3 + ... + a_n}{1 - a_2} + ... $
$... + \dfrac{a_n^{2 - m} + a_1 + ... + a_{n - 2}}{1 - a_1} \geq n + \dfrac{n^{m} - n}{n - 1}$

bạn biết sao mà nó lại ra zậy không.Mình trích dãn có thấy sai ở đâu đâu

Chỉ số dưới bạn không cần cho vô { }, cho vô sẽ ra sai, bạn quote bài của mình so sánh thì thấy dễ thôi...

Bài này khá hay...

Nhớ không lầm thì có thể giải như sau:

Ta có $2a - 1, 2b - 1$ và $a + b$ là số nguyên tố $\Rightarrow a + b$ lẻ. Giả sử: $a$ chẵn, $b$ lẻ.
Do $b$ lẻ $\Rightarrow (a^{b} + b^{b}) \vdots (a + b)$
Giả sử $(a^{b} + b^{a}) \vdots (a + b) \Rightarrow (b^{|a - b|} - 1) \vdots (a + b)$ (1)
Theo định lí Fermat nhỏ, ta có: $(b^{a + b - 1} - 1) \vdots (a + b)$ (2)

Ta có bổ đề: với mỗi số nguyên tố $k > 2, m$ không chia hết cho $k, n$ là số nhỏ nhất thỏa $(m^{n} - 1) \vdots k$ thì với số $p$ bất kì thỏa $(m^{p} - 1) \vdots k$, ta có $p \vdots n$.

Trở lại bài toán: từ (1), (2) và áp dụng bổ đề, ta có: nếu tồn tại số $n$ nhỏ nhất thỏa $(b^{n} - 1) \vdots (a + b)$ thì $|a - b| \vdots n$ và $(a + b - 1) \vdots n \Rightarrow 2a - 1$ hoặc $2b - 1 \vdots n$.

Mà $2a -1, 2b - 1$ là số nguyên tố $\Rightarrow n = 1$. Vậy $(b - 1) \vdots (a + b)$, vô lí. Do đó $(a^{b} + b^{a})$ không chia hết cho $(a + b)$.

Nếu $(a^{a} + b^{b}) \vdots (a + b)$, tương tự trên, vô lí.

Vậy $(a^{b} + b^{a}), (a^{a} + b^{b})$ không chia hết cho $(a + b)$.

anh ơi là anh,tham gia vào topic của THCS
cách này cũng khá hay,còn ít nhất 2 lời giải nữa,các bạn lớp 9 cùng giải nhé

Hì, thì anh cũng mới lớp 10 thôi mà...
Tiếp tục đi nào...

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp tam giác bán kính bằng 1.
Cho: $\dfrac{sinA}{m_a} + \dfrac{sinB}{m_b} + \dfrac{sinC}{m_c} = \sqrt{3}$
$(m_a, m_b, m_c $là 3 đường trung tuyến)
CMR: $\delta ABC$ đều.

Bài này thú vị đấy.
Trước hết cần cm bổ đề:
Với mọi tam giác $ABC$, ta có: $2\sqrt{3}.a.m_a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Ta có: $2\sqrt{3}.a.m_a = (\sqrt{3}a)(2m_a) = \sqrt{3a^{2}(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})} \leq \dfrac{1}{2}[3a^{2} + (2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})] = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Tới đây ta có thể áp dụng vào bài toán để cm: $\dfrac{sinA}{m_a} + \dfrac{sinB}{m_b} + \dfrac{sinC}{m_c} \geq \sqrt{3}$
Vì $R = 1$ nên:
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{2m_a} + \dfrac{b}{2m_b} + \dfrac{c}{2m_c} \geq \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}}{2\sqrt{3}am_a} + \dfrac{b^{2}}{2\sqrt{3}bm_b} + \dfrac{c^{2}}{2\sqrt{3}cm_c} \geq 1$
BĐT đúng vì: $\dfrac{a^{2}}{2\sqrt{3}am_a} + \dfrac{b^{2}}{2\sqrt{3}bm_b} + \dfrac{c^{2}}{2\sqrt{3}cm_c} \geq \dfrac{a^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \dfrac{c^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = 1$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.

anh pirates ơi ko có lời giải à nản quá anh ơi mong anh post lời giải lên cho mọi người và em hiểu thanks anh !!!!!!!

Cái này anh cũng chỉ lấy trên các forum khác thôi, không có giải em à, cứ làm không giải xem sao nào....

Thấy trên mạng, post qua đây để thảo luận:

1. Tìm $8$ chữ số tận cùng của số: $5^{1995}$.

2. Cho dãy số $U_n$ được xác định bởi:
$u_1 = 2 ; u_2 = 20$
$U_{n + 1} = 2U_n + U_{n - 1}$

a) Viết quy trình ấn phím liên tục để tính giá trị $U_n$.
b) Áp dụng hãy tính các giá trị của: $U_{22} ; U_{23} ; U_{24} ; U_{25}$.

3. Tính (Ghi kết quả ở dạng hỗn số): $(357 + \dfrac{1}{579})(579 + \dfrac{1}{357})$.

4. Trong tất cả $n$ số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số, được viết ra từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ thì có $m$ số chia hết cho $2$ và $k$ số chia hết cho $5$. Hãy tính các số $n, m, k$.

5. Tìm chữ số thập phân thứ $4536274526472$ sau dấu phẩy trong phép chia: $13$ cho $23$.

6. Lập quy trình ấn phím liên tục để tìm một số có lập phương tận cùng là $4$ chữ số $1$.

7. Tìm chữ số thứ $41$ sau dấu phẩy của $\sqrt{2}$.

8. Tìm tất cả các số tự nhiên có $3$ chữ số $abc$, để tổng của $6$ số có hai chữ số khác nhau được viết từ các chữ số $a, b, c$ bằng $abc$.

9. Tìm số dư trong phép chia sau: $1776^{2003}$ cho $4000$.

10. Tìm chữ số thứ $15$ của: $\sqrt{2003}$.

11. Cho tam giác nhọc $ABC$ có $AB = 32.25$ cm ; $AC = 35.75$ cm, góc $A = 63^{o}25'$.
a) Tính diện tích tam giác $ABC$.
b) Tính $BC$.
c) Tính góc $B$, góc $C$.

12. Tính $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ biết $a + b + c = 3 , ab = -2 , b^{2} + c^{2} = 1$.

13. Cho 2 đường tròn tâm $A, B$ cắt nhau. Biết rằng điểm $A$ nằm trên đường tròn tâm $B$ và diện tích phần chung của $2$ đường tròn bằng nửa diện tích hình tròn tâm $B$. Tính tỷ số diện tích $2$ hình tròn đã cho.

14. Tìm chữ số hàng nghìn của: $ 3^{9^{9}}$.

15. Tính: $S = \dfrac{2^{2}}{1.3} + \dfrac{3^{2}}{2.4} + \dfrac{4^{2}}{3.5} + ... + \dfrac{2007^{2}}{2006.2008}$.

16. Tìm ƯCLN, BCLN của hai số sau: $19051890$ và $30042005$.

17. Tìm chữ số thứ $18$ sau dấu phẩy của $\sqrt{2}$.

18. Tìm chu kì của phân số $\dfrac{3}{49}$.

19. Tính chính xác: $123456^{3}$.

20. Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: $A = (1976^{1976} - 1974^{1974}).(1976^{1975} + 1974^{1973})$.

21. Nếu $n$ chia cho $7, 11, 13$ đều dư $5$ và $n < 2005$. Tính $n$.

22. Tính $S = 1234567.456789$.

23. Tính $P = 9 + 99 + 999 + ... + 99...99 - 3423456^{2}$. (Có $16$ số $9$ trong $99...99$)

24. Tính xem ngày $9$ tháng $9$ năm $9999$ là thứ mấy?

25. Tính tổng: $]S= 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + ..........n(n+1)....... + 98.99 + 99.100$

26. Tính tổng: $P = 1.99 + 2.98 + 3.97 + 4.96 + ...... n(100-n)......... + 98.2 + 99.1$

27. Cho dãy số : $]U_n = ( 5 + \sqrt{6})^{n} + ( 5 - 2\sqrt{6})^{n}$
a ) Tính $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5$.
b) Lập công thức truy hồi tính $U_{n + 2}$.
c) Lập quy trình ấn phím tính $U_{20}$.

28. Cho : $P(x) = x^{5} + ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$. Biết : $P(1) = -1 ; P(2) = 2 ; P(3) = 7 ; P(4) = 14 ; P(5) = 23$. Tính $P(7) ; P(8)$?

29. Tìm số dư của phép chia: $123456789012345$ cho $4756$.

30. Tính:

$S_1 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +.........+ 98.99.100$

$S_2 = 1^{2} + 2^{2} +.............+ 99^{2}$

$S_3 = 5 + 5^{2} + 5^{3} +.......................+ 5^{25}$

$S_4 = \dfrac{1}{5^{2}} + \dfrac{1}{5^{2}} +..................+ \dfrac{1}{5^{20}}$.

31. Một khu chung cư được bán với giá $300$ triệu đồng ở tầng $1; 250$ triệu đồng ở tầng $2$. Bán theo phương trả góp. Một người mua và trả mỗi tháng $3$ triệu đồng sau bao lâu anh ta trả hết số tiền mua căn hộ tầng $2$. Nếu anh ta phải chịu lãi xuất tiền chưa trả là $0.075%$/tháng và mỗi tháng kể từ tháng thứ $2$ anh ta vẫn trả $3 $ triệu đồng sau bao lâu anh ta trả hết căn hộ tầng $1$.

32. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho: $n^{2} = \overline {2525******89}$.

33. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà bình phương của nó là số bắt đầu bằng $19$ và kết thúc bằng $89$.

34. Cho đa thức $P(x) = x^{5} + ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + 132005$. Biết $P(1) = 8 ; P(2) = 11 ; P(3) = 14 ; P(4) = 17$. Tính $P(x)$ với $x = 11,12,13,14$.

35. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $x \leq y$ và $ƯCLN(x ; y) = 5 ; BCNN(x ; y) = 50$?

36. Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất có dạng $\overline {1x2y3z4}$ và chia hết cho $13$.

37. Tìm tất cả các số có dạng $\overline{12x45679y4z}$ chia hết cho $24$.

38. Tìm ước nguyên tố của $215^{2} + 314^{2}$.

39. Giải pt $\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{2} + … + \sqrt[3]{(x^{3} - 1)} = 855$

40. Cho hình thang $ABCD , (AB \parallel CD)$ có đáy lớn $AB = AC = BD$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Biết $\hat{MBC} = \hat{CAB}$.Tính các góc của hình thang.

41. Tìm số tự nhiên $N = \overline {1235679x4y}$ sao cho $N$ chia hết cho $24$.

42. Tìm ước số nguên tố của số: $M = 1897^{5} + 2918^{5} + 3523^{5}$.

43. Tìm số nhỏ nhất lớn nhất trong các số có dạng $\overline {1x2y3z4}$ chia hết cho $7$.

44. Có bao nhiêu số nguyên tố bé hơn $2007^{2008}$?

45. Giả sử $x_1 , x_2$ là $2$ nghiệm thực của pt: $x^{2} – ax + 1 = 0 (a \in Z)$.
a. Chứng minh: ${x_1}^{5} + {x_2}^{5}$ nhận giá trị nguyên.
b. Tìm $a$ là số tự nhiên nhỏ nhất để ${x_1}^{5} + {x_2}^{5}$ chia hết cho $5$.

46. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, vẽ đường tròn tiếp xúc với các cạnh của tam giác. Gọi tiếp điểm của cạnh huyền $AB$ với đường tròn là $D$.
a. Viết công thức tính diện tích tam giác $ABC$ biết $AD = a$ và $BD = b$.
b. Tính diện tích tứ giác $CMDK (M \in BC , K \in CA)$ biết $a = 3.6$ và $b = 4.2$.

47. Cách tìm số thập phân thứ $n$ sau dấu phẩy của $\sqrt{x}$.

48. Tìm chu kì của phân số: $\dfrac{10000}{29}$.

49. Tìm các chữ số $a, b, c, d, e, f$ trong mỗi phép tính sau. Biết rằng $2$ chữ số $a, b$ hơn kém nhau $1$ đơn vị:
a. $\overline {ab5} . \overline {6def} = 2712960$
b. $\overline {a0b} . \overline {cdef} = 600400$
c. $\overline {ab5c} . \overline {bac} = 761436$.

50. Tính chính xác giá trị của: $A = 1414213562^{2}$.

anh ơi có lời giải ko??em cũng thấy bên maths.vn cũng có 50 bài ko biết có giống ko
cái $ \sum\limits_{i=1}^{n}$ gì gì đó áp dụng để tính tổng đc ko anh??

Cái này $\sum\limits_{i=1}^{n}$ chính là kí hiểu của tổng đó em, lên lớp 11 mới có cái này...

Nguyễn Ngọc Trung lớp 12 đúng rồi còn Trần Thái Hưng lớp 11.

Hai người của Đà Nẵng: Phạm Việt Cường lớp 12, Nguyễn Kiều Hiếu lớp 12.

Nghe nói anh Trung trước đây cũng là ở KHTN nhưng sau đó chuyển về PT, nếu vậy thì KHTN năm nay coi như có 3 người, đúng là quá khủng... Chúc đoàn IMO năm nay đoạt kết quả cao...

Hồi đó thi TST ,lúc đầu anh Hùng cũng tạch,ko được vào đội tuyển.
Năm đó lẽ ra anh Lê Đình Huy ở Hải Dương được đi.Nhưng về sau bộ phát hiện đề thi TST có bài giống đề thi ở Hà Nội,vi phạm quy chế nên ban chấm thi ko tính điểm bài đó,tổ chức thi lại TST lần 2 cho mấy người dự bị.Và lần này thì anh Hùng dẫn đầu danh sách

Link đây http://vietbao.vn/Gi...p/20453189/202/

Hải Dương mấy năm liền có người đi năm nay lại không có, cũng tiếc anh nhỉ... Đội VN năm nay cũng mạnh đấy chứ, dự đoán IMO tới VN được 3V 2B 1Đ...

Năm nay buồn quá IMOers Việt Nam chẳng có huy chương vàng nào cả, nhưng dù sao cũng chúc mừng, đặc biệt là anh phong than

Ơ hay, thế em không biết à, cái anh mà em chúc mừng trên kia kìa, được HCV đó. Anh Trung là thành viên duy nhất được HCV của đoàn VN.

Tính tổng $S = [\dfrac{1}{3}] + [\dfrac{2}{3}] + [\dfrac{2^{2}}{3}] + ... + [\dfrac{2^{2005}}{3}] $
Trong đó [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x (phần nguyên của x)

Đây là một bài trong đề thi dề thi Olympic 30/4 toán 11 năm 2005, các bạn làm thử đi.

Bạn có thể post nguyên đề thi Olympic 30/4 năm 2005 lên được không?

Em nghĩ chỉ có Gauss là xứng đáng với danh hiệu này, từ trước đến nay người ta vẫn gọi ông là "ông hoàng của toán học" đó.

Còn như anh hoangviet nói thì theo em biết Perelman là nhà Vật lí mà.

Cái này là shoutbox đó mà. Theo mình là không cần thiết, diễn đàn mình đang chạy rất tốt và nhanh, thêm cái đó vô sẽ chậm đi nhiều và tốn dung lượng diễn đàn. Còn việc trao đổi giữa các thành viên, nếu liên quan đến kiến thức nào đó thì cứ post vào box thích hợp, còn nếu không phải kiến thức tức là chỉ trò chuyện thì có thể lên yahoo nói cũng được mà.

anh ấy nói ở đâu khi nào vậy
cậu gửi link bài đó nha

Link bài đó đây: http://diendantoanho...showtopic=45467

Bài này mấy em bàn luận sôi nổi thế, TV ngày càng tiến bộ nhỉ.

Đề thi HSG lớp 10 tình Hà tĩnh năm 2008

 ______thi_ch___n_hsg_to__n_10_t___nh_H___T__nh_2008.doc   33.5K   257 Số lần tải

sao mình hok sem đc bn?
bạn cho mình biết bn lấy từ đâu đc kô? thanks n`

Xem được bình thường mà đâu bị gì đâu, mình lấy từ các diễn đàn khác ấy mà.

có nữa hok bn?
thanks n`

Uh, nè, cái này đề tuyển sinh năm nay nè, 2009-2010:


 ______thi_v__o_l___p_10_THPT_chuy__n_t___nh_H___T__nh_n__m_2009.doc   32K   111 Số lần tải

Đề thi HK làm trong 90' mà như này thì không giỏi sao được, đúng là KHTN, toàn nhân tài...

cần thêm dk của quả táo giả,nhẹ hay nặg hơn táo thật!

Không cần đâu Janie à, đề như vậy mới là đề chứ...

Có 1 bài giống trong đây, mình đã giải: http://diendantoanho...?...19287&st=30 (xuống cuối cùng ấy)