Từ f(x)=f(y) là giả thiết đấy bạn! Sau đó nó mới tương đương x=y

Bạn hãy đọc tính chất sau:
Nếu hàm số f(t) đồng biến hoặc nghịch biến trên miền D nào đó thì với 2 số x,y thuộc D và f(x)=f(y) thì suy ra x=y
Bạn hãy đọc và chịu khó suy nghĩ 1 chút nhé,hi!

ĐK:$\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế của hai phương trình suy ra $\sqrt{x^2+2x+22}+(x+1)^2+\sqrt{x}=\sqrt{y^2+2y+22}+(y+1)^2+\sqrt{y}$
Xét hàm số f(t)=$\sqrt{t^2+2t+22}+(t+1)^2+\sqrt{t}$.Hàm số này rõ ràng đồng biến với mọi $t\geq 0$
Suy ra f(x)=f(y)$\Leftrightarrow x=y$
Khi đó ta có:$\sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{x}=(x+1)^2 \Leftrightarrow \left (\sqrt{x^2+2x+22} -5 \right )-\left (\sqrt{x} -1 \right )=x^2+2x-3\Leftrightarrow \frac{\left ( x^2+2x-3 \right )}{\sqrt{x^2+2x+22} +5 }-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}= x^2+2x-3\Leftrightarrow (x-1)\left ( \frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+22} +5}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}-(x+3) \right )=0\Leftrightarrow x=1$
Phương trình còn lại vô nghiệm
Vậy hệ phương trình cónghiệm duy nhất là(x,y)=(1,1)

Dùng phương pháp hàm số đi bạn!

Dùng phương pháp hàm số đi bạn

(1)$\Leftrightarrow (x-1)^{3}+3(x-1)=(2-y)^{3}+3(2-y)$
Xét hàm số f(t)=$t^{3}+3t$ là Ok

Xét khai triển:
$(1+i)^{100}=\sum_{k=0}^{100}\binom{100}{k}i^{k}$
$=\sum_{k=0}^{50}\binom{100}{2k}i^{2k}+\sum_{k=0}^{49}\binom{100}{2k+1}i^{2k+1}=\sum_{k=0}^{50}\binom{100}{2k}(-1)^{k}+\sum_{k=0}^{49}\binom{100}{2k+1}(-1)^{k}.i$
Suy ra:
$$\sum_{k=0}^{50}(-1)^{k}\binom{100}{2k}=\Re (1+i)^{100}=\Re (2i)^{100}=-2^{50}$$
**********
Từ lời giải,ta cũng suy ra được $\sum_{k=0}^{49}(-1)^{k}\binom{100}{2k+1}=0$.

Bạn có thể làm theo cách của lớp 11 không, không dùng số phức!

Tính: $$C_{100}^{0}-C_{100}^{2}+C_{100}^{4}+...-C_{100}^{98}+C_{100}^{100}$$

$(1-1)^{100}=\sum_{k=0}^{100}C_{100}^{k} .(-1)^k=C_{100}^{0}-C_{100}^{2}+C_{100}^{4}+...-C_{100}^{98}+C_{100}^{100}$
$=>C_{100}^{0}-C_{100}^{2}+C_{100}^{4}+...-C_{100}^{98}+C_{100}^{100}=0$

Bạn xem lại đi,sai rồi!

-Với $x> 0\Rightarrow 2^x<4^x\Rightarrow \frac{1}{2^x+1}>\frac{1}{4^x+1}\Rightarrow VT>VP$
-Với $x=0$: $VT=3>VP$
-Với $x<0\Rightarrow 10^x>4^x\Rightarrow \frac{1}{10^x+1}>\frac{1}{4^x+1}\Rightarrow VT>VP$
Hay nói tóm lại: $VT>VP\forall x\in R$.
Phương trình vô nghiệm :')

Đánh giá với x<0 sai rồi bạn ạ!

Có lẽ đề bài là $$\frac{1}{\log _{\frac{1}{3}}\sqrt{2x^{2}-3x+1}}>\frac{1}{\log _\frac{1}{3}(x+1)}$$Đây là bất phương trình cơ bản.
Chú ý rằng nếu $0<a<1$ thì $\log _ab>\log _ac\Leftrightarrow b<c$
Từ đó ra có bất phương trình tương đương: $$\sqrt{2x^{2}-3x+1}>x+1$$Chú ý điều kiện: $\left\{ \begin{array}{1}0<2x^2-3x+1\neq 1\\0<x+1\neq 1\end{array} \right.$

Bất phương trình này sai ở chỗ Từ đó ra có bất phương trình tương đương: $$\sqrt{2x^{2}-3x+1}>x+1$$
Bạn không thể vứt được mẫu số một cách dễ dàng như vậy được!
Cô giáo của bạn nói đúng đấy!

Cho a,b,c,d nguyên thay đổi thỏa mãn $1\leq a< b< c< d\leq 50$
CMR:$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq \frac{53}{175}$

Cho a,b,c dương thoả mãn a+b+c=3.
CM: $\frac{ab}{1+c^2}+\frac{bc}{1+a^2}+\frac{ac}{1+b^2}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{cos^{3}x-cos^{2}x}{sinx+cosx}=2(1+tanx)$

Hướng dẫn:
Tách ra hai tích phân $\int_{0}^{\frac{\prod }{2}}\frac{x^{2}}{2cos^{2}\frac{x}{2}}dx+\int_{0}^{\frac{\prod }{2}}2xtan\frac{x}{2}dx=\int_{0}^{\frac{\prod }{2}}x^{2}d(tan\frac{x}{2})+\int_{0}^{\frac{\prod }{2}}2xtan\frac{x}{2}dx$
Sau đó dùng tích phân từng phần !

Ta có $$\left ( 26-x \right )\sqrt{5x-1}-\left ( 13x+14 \right )\sqrt{5-2x}+12\sqrt{(5x-1)(5-2x)}=18x+32
\Leftrightarrow \left( \sqrt {5\,x-1}-\sqrt {5-2\,x}-2 \right) ^{3}=0$$
Đến đây đơn giản rồi...

Ta có $$\left ( 26-x \right )\sqrt{5x-1}-\left ( 13x+14 \right )\sqrt{5-2x}+12\sqrt{(5x-1)(5-2x)}=18x+32
\Leftrightarrow \left( \sqrt {5\,x-1}-\sqrt {5-2\,x}-2 \right) ^{3}=0$$
Đến đây đơn giản rồi...

Bạn nhầm rồi! x =2 không phải là nghiệm của phương trình ban đầu

Giải hệ phương trình:
$\left (1-\frac{12}{y+3x} \right )\sqrt{x}=2;\left (1+\frac{12}{x+3y} \right )\sqrt{y}=6$

Phương trình (1)$\Leftrightarrow (x-1)^{3}-3(x-1)-2=y^3-3y-2$
Sau đó xét f(t)=$t^3-3t-2$ đồng biến hoặc nghịch biến theo điều kiện x,y ở phương trình (2) la được.Đến đây chắc là ổn rồi!

Lấy phương trình (1)-(2) ta được $e^{x-y}=x+y+1$
Hệ đã cho tương đương với $\left\{\begin{matrix} e^{x-y}=x+y+1\\ e^{x+y}=x-y+1 \end{matrix}\right.$
Cộng vế với vế của hệ mới suy ra $e^{x-y}+x-y=e^{x+y}+x+y$
Xét hàm f(t)=$e^{t}+1$ là hàm đồng biến.Từ đó suy ra $f(x-y)=f(x+y)\Leftrightarrow x-y=x+y\Leftrightarrow y=0$
Suy ra :$e^x-x=1$.Phương trình có ngiệm duy nhất x=1(bạn có thể tự chứng minh dễ dàng bằng pp hàm số)
Vậy nghiệm của hệ phương trình (1;0)

Chia hai vế của phương trình hai cho $y^{2}$ sau đó đặt ẩn phụ là xong ngay!Có lẽ vậy chứ!

Ý tưởng nhé dạng phương trình đẳng cấp bạn làm bằng cách đặt y=tx(trước khi đặt xét x=0 hoặc y=0)

Giải:
Xét xy = 0 thay vào hệ phương trình suy ra không tồn tại (x,y).
Với xy$\neq 0$ từ phương trình (2)$\Rightarrow xy=\frac{1+3y}{5y-1}$ thế vào phương trình (1)
Khi đó:
$\frac{2y^3}{5y-1}\left ( \frac{8^3}{2(5y-1)^2} -30y+14\right )=0$
$\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=1$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1;1).

thiếu TH x=-y anh ơi

Mình cũng nhầm,mình nghĩ rất nhiều người nhầm chỗ này!

Giải phương trình:
$(1+cosx)^{log_{cosx}{sinx}}=(1+sinx)^{log_{sinx}{cosx}}$

Thầy ơi em thắc mắc chút. Biểu thức cuối cùng ở dạng vô dịnh nhưng rõ ràng : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0$

Hai số hoặc hai biểu thức bằng nhau thì trừ đi bằng 0 nhưng theo mình nghĩ giới hạn lại không có 1 ĐN như vậy!